Processi stocastici

P(M

∞ Per una martingala non negativa = ] = ] Allora

|] ∞.

<

Dimostrazione. E[|M E[M E[M

n n 0

sup = ]

|] ∞.

<

E[|M E[M

n 0

n∈N

La tesi segue dal Teorema precedente.

Per la dimostrazine del Teorema di Convergenza quasi certamente, utilizziamo la disuguaglianza

prima di enunciarla però, introduciamo l’idea alla base.

di upcrossing di Snell:

Siano = una sequenza reale fissata e [a, un intervallo reale. Un upcrossing di

{m }

m b]

n n∈N

0

[a, da parte di è un attraversamento nella direzione verso l’alto.

{m }

b] n n

Poniamo = min{n : = min{n : e, ricorsivamente

≤ ≥

T m a}, T > T m b}

n n

1 2 1

= min{n : e = min{n :

≤ ≥

T > T m a} T > T m b}.

n n

2k−1 2k−2 2k 2k−1

Osserviamo che [T ] è il upcrossing e definiamo

, T k−esimo

2k−1 2k

• (a, come il numero di upcrossing di [a, fino al tempo

U b, m) b] n;

n

• (a, = lim (a,

U b, m) U b, m).

n→∞ n 27

Teoremi di convergenza delle martingale

Figura 1: Esempio di upcrossing.

Proposizione (Disuguaglianza di upcrossing). : = (M )

∈

a, b a < b M

Siano e una

R n n≥0

martingala. Allora ]

+

− a)

E[(M

n

(a, )] ≤

b, M ,

E[U

n −

b a

(M = max{0,

+

− −

a) M a}.

dove n n

Per la disuguaglianza di Jensen, = (Z ) = ((M ) è una submartin-

+

−

Z a)

Dimostrazione. n n n n

gala, cioè ] . Osservo che

| ≥

Z , . . . , Z Z

E[Z

n+1 n n

1

upcrossing di [a, da parte di upcrossing di [0, da parte di

⇐⇒ −

b] Z b a] M

e quindi (a, ) = (0, Definiamo le variabili (I ) come segue

−

U b, M U b a, Z).

n n i i≥0

 1, se [T ]

∈

i , T

2k−1 2k



=

I

i 0, altrimenti

 (Z )I (segue dal fatto che ogni upcros-

e dimostriamo che (b (0, ni=1 −

− − ≤ P Z

a)U b a, Z)

n i i−1 i

sing contribuisce almeno per (b Prendiamo l’aspettazione

− a)).

)I ] = )I ]]

− − |

Z Z Z , . . . , Z

E[(Z E[E[(Z

i i−1 i i i−1 i i−1

1 ]

= ) ]

· − |

Z Z , . . . , Z

E[I E[(Z

i i i−1 i−1

1

{z }

| ≥0 perchè (Z ) è submartingala

n n

) ]] = ] ].

≤ − | −

Z Z , . . . , Z

E[E[(Z E[Z E[Z

i i−1 i−1 i i−1

1

Sommando su tutti gli ottengo

i,

(b (0, ] ] ].

− · − ≤ − ≤

a) b a, Z)]

E[U E[Z E[Z E[Z

n n n

0

Procediamo con la dimostrazione del teorema di convergenza quasi certamente.

28 Definisco l’insieme dove non c’è convergenza

Dimostrazione - Convergenza quasi certamente.

Λ = Ω : (ω) non converge ad un limite finito}

{ω ∈ M

n

= Ω : lim inf (ω) lim sup (ω)}

{ω ∈ M < M

n n

n→∞ n→∞

= Ω : lim inf (ω) lim sup (ω)} = Λ

[ [

{ω ∈ M < a < b < M .

n n a,b

n→∞ n→∞

a,b∈Q: a<b a,b∈Q: a<b

Si ha Λ Ω : (a, (ω)) = Dimostro che = 0, infatti si verifica che

⊆ {ω ∈ ∞}.

U b, M P(Λ)

a,b n (a, )]

b, M

Markov E[U

n

(a, ) ≥ ≤

b, M x)

P(U n x

] + +

+ |a| |a|

c

ipotesi

Snell E[M

n

≤ ≤ .

(b (b

− −

a)x a)x

Allora (a, ) = 1 e perciò

∞)

b, M <

P(U (a, ) = 0 =⇒ ) = 0.

≥

b, M x)

P(U P(Λ

n a.b

Con il Lemma di Fatou dimostro che = 1:

∞)

<

P(M

∞ Fatou

= inf lim inf

|] |M |] ≤ |] ≤ ∞.

c <

E[|M E[lim E[|M

∞ n n

n→∞ n→∞

Perciò = 1.

∞)

<

P(M

∞

Ho anche una versione di convergenza per le martingale.

2

L ]

Teorema (Convergenza ). (M ) sup

2 2 ≤ ∞.

c <

L Sia una martingala tale che E[M

n n≥0 n∈N n

2

L lim ) ] = 0.

: 2

−→ −

∃M M M

M , cioè

Allora E[(M

∞ ∞

∞ n→∞ n

n La funzione è convessa, perciò (M ) è una sub-

2 2 2

7→

L x x

Dimostrazione - Convergenza . n≥0

n

] è una sequenza non decrescente.

martingala, cioè ] ]. Allora 2

2 2

≥ 7→

n

E[M E[M E[M

n n

n+1

Per ipotesi ] (E[M ]) converge per monotonia.

2 2

≤ ∞ ⇒

c <

E[M n∈N

n n 0

Dimostriamo che (M ) è una sequenza di Cauchy in , cioè lim ) ] = 0,

2 2

−

L M

E[(M

n n≥0 n→∞ n+k n

pe ogni Infatti

∈

k N. ) ] = + 2M ]

2 2 2

− −

M M M

E[(M E[M n+k n

n+k n n+k n

= ] + ] 2E[M ] = ] ] 0,

2 2 2 2

− − −→ ∀k ∈

M

E[M E[M E[M E[M N.

n+k n

n+k n n+k n n→∞

| {z }

2

2E[M ]

n

Giustifico l’ultimo passaggio mostrando che ].

] = ]] = ]] = 2

| |

M M M , . . . , M M , . . . , M

E[M E[E[M E[M E[M E[M

n+k n n+k n n n n+k n

0 0 n

Osservazione . Osserviamo che

• sup ] =⇒

2 2

∞ →

< M M L

sia quasi certamente che in .

E[M ∞

n

n n 29

Teoremi di convergenza delle martingale

• 0), sup

1 − |] −→ |] ∞

L M <

Per la convergenza in (cioè l’ipotesi che non

E[|M E[|M

∞

n n

n

n→∞

integrabilità,

è sufficiente, ma bisogna richiedere l’uniforme cioè

sup 1 ] 0.

· −→

E[M {|M |≥a}

n n a→∞

n S

n =

Esempio (Martingala di De Moivre). = q n

P X X

S

M con I.I.D.,

,

Siano i i

n

n i=1

p

= 1) = = = 0,

−1) ≥

p q. M

e Siccome dal Corollario

P(X P(X

i i n

lim =: ) = 1;

M M

finito

P(∃ ∞

n

n→∞

• = = = 1

1

p q M n;

se allora per ogni

n

2

k

• = : [0, 1) = :

q

1

̸ ∈ ∈

p p M A k M

se allora prende valori in e non può

Z

n n

p

2 A; M

convergere a nessun punto di perciò deve convergere ad un punto limite finito.

n 

S +∞, 1

! n p >

se

q q.c. q.c. 

lim = 0 =⇒ lim = 2

S

n

p 1

n→∞ n→∞ −∞, .

p <

se

 2

0

M

Si vede facilmente che non converge a in media, infatti

n 0|] = = ] = ] = 1.

− |]

E[|M E[|M E[M E[M

n n n 0

Esempio (Urna di Polya). a b

Sia data un’urna contenente palline rosse e palline blu. Si

estrae a caso una pallina e la si re-immette nell’urna insieme ad un’altra dello stesso colore.

= a+K a+K

M

Mostro che è una martingala, dove è la probabilità di pescare una pallina

n n

n a+b+n a+b+n

n.

rossa al tempo Infatti (a + +

(a + + + 1 b n)M

b n)M n

n + (1 ) =

] = −

| M M .

M , . . . , M M

E[M n n

n+1 n n

0 + + +1 + + +1

a b n a b n

0,

≥

M

Siccome dal Corollario

n lim =: ) = 1.

M M

finito

P(∃ ∞

n

n→∞

Ha senso stabilire la proporzione limite (asintotico) di palline rosse nell’urne. Si può far vedere

M Beta(a, b):

che ha una distribuzione

∞ Γ(a + b)

Z

= (1

a−1 b−1

∈ −

A) x x) dx.

P(M

∞ Γ(a)Γ(b)

A

= = 1 1).

⇒ ∼

a b M U ni(0,

In particolare ∞

30

5. Teorema di arresto

5.1 Analisi asintotica del Branching process

Ricordiamo com’è definito un branching process:

 = 1,

X 0

 (n)

X

= n−1

P Y

X

 n i=1 i

(n)

dove sono copie I.I.D. di una variabile aleatoria tale che ] = +∞ e Var(Y ) = .

2

Y Y µ < σ

E[Y

i

Per descrivere il comportamento asintotico di un branching process è interessante la probabilità

di estinzione = lim = 0}), che è la più piccola soluzione dell’equazione =

η η G(η),

P({X

n→∞ n

dove = ] (funzione generatrice della probabilità di ). Il processo si estingue con

Y

G(s) Y

E[s

probabilità

• = 1 se e solo se 1 (numero medio di figli di ciascun individuo è 1);

≤ ≤

η µ

• 1 se 1 (numero medio di figli di ciascun individuo è 1).

η < µ > >

Inoltre, il comportamento medio della taglia della popolazione è esponenziale

 0, se 1 (caso sotto-critico)

µ <









] = 1, se = 1 (caso critico)

n −→

µ µ

E[X n n→∞  +∞, se 1 (caso super-critico).



 µ >



In modo analogo si può calcolare la varianza. Infatti,

 2 (µ 1), se = 1

σ n n − ̸

µ µ



Var(X ) = µ(µ−1)

n se = 1.

2

nσ , µ



Se definisco anche per la funzione generatrice della probabilità di (s) = ], si mostra

X

X G n

E[s

n n

.

che (s) = ◦ ◦ · · · ◦

G G G G

n {z }

| n volte

Alla luce del Teorema di convergenza, essendo 0 allora = 0 e quindi, per il

X

≥ ≥

X M n

n n n

µ

Teorema di Convergenza quasi certamente, q.c.

−→

M M ,

∞

n

dove = 1.

∞)

<

P(M

∞

Cosa possiamo dire di ?

M

∞

Sapendo che le martingale hanno aspettazione costante, ] = ] = 1 per ogni 1.

≥

n

E[M E[M

n 0 31

Teorema di arresto

Posso pensare che anche ] = 1; d’altra parte, se 1 allora il processo muore, = 0

µ < M

E[M

∞ ∞

q.c. e perciò 0 = ] = lim ] =