Procedimenti risolutivi per esercizi di geometria

Procedimenti esercizi coniche 2

Procedimenti esercizi con quadriche 4

Procedimenti esercizi geometria lineare 7

PROCEDIMENTI ESERCIZI GEOMETRIA: CONICHE

- FASCIO DI CONICHE PASSANTE PER 4 PUNTI.

1) Determiniamo 4 rette (passano ognuna per due punti tramite l’equazione parametrica o mediante y= m(x-x1) + y1 dove “m” è il

rapporto tra y2-y1 e x2-x1)

l’unione di due rette identifica una conica spezzata due coniche spezzate identificano un fascio di coniche in quanto un fascio

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di coniche è la totalità delle coniche data dalla combinazione lineare di due coniche.

2) Si scrive il fascio esplicitandolo con h=lamba/mi (che va moltiplicata per una delle due coniche spezzate) ed una volta esplicitato

lo trattiamo come se fosse l’equazione di una conica, che andremo a studiare se richiesto tramite la B e la A.

- ASSEGNATA UNA CONICA C, DETERMINARE:

a) Equazione canonica

b) Centro di simmetria

c) Assi di simmetria

d) Asse focale

e) Punti base

a) L’equazione canonica è unica in base al tipo di conica, pertanto bisogna prima studiare la conica, capire di che si tratta, e di

conseguenza scrivere la sua equazione di tipo “alpha Beta gamma” ricavare quella canonica effettuando le conversioni tra a e

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alpha e b e beta…

b) Il centro di simmetria è quel punto che ha coordinate tali da soddisfare l’intersezione tra le prime due righe della matrice B.

c) Gli assi di simmetria si determinano attraverso le equazioni degli autospazi associati agli autovalori di A alle quali bisogna aggiungere

un’incognita “k” da trovare imponendo il passaggio per il centro di simmetria.

d) Asse focale è la retta passante per i due fuochi, è cioè quella che congiunge i vertici “maggiori”.

si trova l’intersezione tra l’equazione polinomiale della conica e uno dei due assi di simmetria, trovandoci prima due punti y1 e y2,

dopo x1 e x2 abbiamo trovato due punti aventi due coordinate ciascuno (siamo nel piano) dopodiché vediamo quanto vale in

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modulo il vettore che congiunge questi due punti attraverso pitagora il numero trovato corrisponderà o a 2a o a 2b. tenendo poi

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conto di quale fra a e b è più grande traiamo le dovute conclusioni.

e) Punti base sono quei punti che le due coniche generatrici di un fascio hanno in comune basta intersecarle.

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- DETERMINARE E STUDIARE FASCIO DI CONICHE CHE SONO TANGENTI IN DUE PUNTI DI DUE RETTE.

Ci servono, per scrivere il fascio di coniche, due coniche spezzate.

La 1° conica spezzata è data dall’unione delle equazioni delle due rette (si intende il “per”)

 La 2° conica spezzata è data dal quadrato dell’equazione della retta passante per i due punti. (perché in questa il fascio di

 coniche vi passa due volte)

Dopodiché si esplicita l’equazione del fascio, NON studiando B, perché giunge subito alla conclusione che per h=

(h o comunque qualsiasi lettera usi per esplicitare il fascio) vi sono solo coniche irriducibili segue che studi solo A.

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