Problemi di massimo e minimo - Geometria analitica e piana

Problemi di max e min - Geometria piana

Determinare il triangolo con perimetro massimo

Determinare tra tutti i triangoli inscritti in una semicirconferenza di raggio 2 quello avente perimetro massimo.

ρ = x + y + 4

y = √16 - x² (Pitagora).

P(x) = x + √16 - x² + 4

con 0 ≤ x ≤ 4.

Passaggi per la risoluzione

• Identificare oggetto da massimizzare o minimizzare.
• Esprimerlo in funzione di una sola variabile.

P'(x) = 1 + ^-2x/_2√16-x² = ^√16-x2-x/_√16-x².

Per trovare il massimo studio il segno (siccome è razionale studio il segno del numeratore, del denominatore e poli di incrocio).

N ≥ 0

√16-x² - x ≥ 0

√16-x² ≥ x

16-x² ≥ x²

2x² ≤ 16

x² ≤ 8

-2√2 ≤ x ≤ 2√2

Studio del segno della derivata

D ≥ 0

√16-x² > 0

Dunque il triangolo avente ρ_max è quello isoscele.

P_max quando x = 2√2

y = √16-(2√2)² = 2√2

Ripetizione del problema

Problemi di max e min - Geometria piana

Ripetizione della procedura

Determinare tra tutti i triangoli inscritti in una semicirconferenza di raggio 2 quello avente perimetro massimo.

1. Identificare l'oggetto da massimizzare o minimizzare: ρ = x + y + 4
2. y = √(16 - x²)
3. Esprimerlo in funzione di una sola variabile: P(x) = x + √(16 - x²) + 4, con 0 ≤ x ≤ 4.

P'(x) = 1 + ^-2x/_{2√(16 - x²)} = ^{√(16 - x2) - x}/_{√(16 - x²)}.

Per trovare il massimo, studio il segno (siccome è razionale studio il segno del numeratore, del denominatore e poli in croce).

N ≥ 0

√(16 - x²) - x ≥ 0

√(16 - x²) ≥ x

16 - x² ≥ x²

2x² ≤ 16

x² ≤ 8

-2√2 ≤ x ≤ 2√2

Conferma del risultato

D ≥ 0

√(16 - x²) > 0

P_max quando x = 2√2

y = √(16 - x²) = √(16 - (2√2)²) = 2√2.

Dunque il triangolo avente P_max è quello isoscele.