Problema di Saint Venant- parte 9

CASO SV. (1a) SFORZO NORMALE ECCENTRICO

FLEX SEMPLICE

S.N.E.

x e y sono sempre AFCL

S.N. ECCENTRICO

e = eccentricità

• Se P > 0 TRAZIONE = SOLLECITAZIONE DI "TENSOFLESSIONE" (centro di trazione in C)
• Se P < 0 COMPRESSIONE = SOLLECITAZIONE DI "PRESSOFLESSIONE" (C = centro di pressione)

Il solido di Saint-Venant si dice sollecitato a "SFORZO NORMALE ECCENTRICO" quando le forze agenti sulle basi, equivalgono a due forze uguali ed opposte di modulo P, aventi come retta d'azione una retta // a z l’asse del cilindro, ma distinta dall’asse del cilindro stesso.

1. Vettore C a G (il centro sollecitato con il baricentro) lungo l’asse di sollecitazione.
2. e = eccentricità dello sforzo rappresenta il segmento | C G |

e = √(x_e² + y_e²) (svolgo formula pitagorica)

3. H contiene in G sopra l’asse di sollecitazione verso l’altro perché P>0

JOIA: LO STATO DI TENSIONE PER LO S.N.E. QUAL È MONOASSIALE

Importante passaggio per determinare il momento.

Trasportando \( \vec{P}^{C} \) in \( G \) ho un momento di trasporto nel baricentro dato che:

\( P = N \) (sforzo normale eccentrico) + Coppia trasporto

H = (C - G) ∧ P =

\( \begin{vmatrix} \hat{e}_x & \hat{e}_y & \hat{e}_z \\ xc & yc & 0 \\ 0 & 0 & P \end{vmatrix} = -Pyc \cdot \hat{e}_x + Pxc \cdot \hat{e}_y \)

Tale \( H \) ha retta d'azione \( \perp \) all'asse z e alla congiungente di C e G, che mi ha determinato l'asse di sollecitazione.

Verso tale che la terna \( (C - G), \, \vec{P}, \, \vec{M} \) sia levogira \( (rotazione antioraria positiva, attorno z) \)

\( |H| = \sqrt{Pyc^2 + (Pxc)^2} = P \cdot e \Rightarrow |H| = P \cdot e \)

Poiché \( \vec{H} \) è \( \perp \) alla retta d'azione di \( P \) il vettor momento giace nel piano della reazione. Si tratta di un momento flettente che è \( \perp \) all'asse di sollecitazione e coincidente col segmento CG.

Quindi lo sforzo normale eccentrico sarà dato da:

\( SNE = \left( \frac{N}{P} \right) + \left( \frac{H}{P \cdot e} \right) \)

Il verso del momento dipenderà dal verso dello sforzo \( \vec{P} \) applicato.

• \( P > 0 \) trazione \( H \) verso l'alto
• \( P < 0 \) compressione \( H \) verso il basso

Considerando il caso di pressoflessione (P < 0)

• Discutiamo la condizione dell'asse neutro al variare del centro di sollecitazione C, posto lungo una stessa retta (quindi allo scorrere su questa retta l'asse neutro cambierà posizione).

All'allontanarsi del centro di sollecitazione si avvicinerà l'asse neutro (per la condizione di novità)

1. C = G: caso di sforzo normale centrato, abbiamo G2 = N / A costante
2. C distinto da G ma all'interno del nocciolo centrale di inerzia, l'asse neutro (prima all'∞) inizierà ad avvicinarsi e sarà esterno la figura. G2 = ≠ lineare (sarà un trapezio) solo [solo tensioni negative]
3. C è con il nocciolo CDI della figura, l'asse neutro si avvicinerà e sarà radente la figura; G2 = ≠ lineare, solo tensioni negative
4. C all'interno della figura esterna al nocciolo trascato all'interno della sezione e nasceranno tensioni ⊕ di trazione su di sopra e di compressione ⊖ su di sotto (il diagramma sarà bitriangolare o farfalla)
5. C coincide con il contorno della sezione, l'asse neutro coincide con il contorno del NCDI; G2 = bitriangolare, tensioni ⊕ e ⊖

Poiché nel problema di S.V. il mantello è scarico, non abbiamo forze di volume, vale sempre la congettura: T_xx = T_yy = T_xy = T_yx = 0

Studiamo ora l’equilibrio dell’elemento coirno, con le forze agenti nell’Area Trasversale A_t e l’area Radiale A_t, ripercorndo i risultati delle Gz trovati nei diagrammi di prima per delimitare i versi, e trovare puntuale T_yz.

Prendiamo l’elementino visto in 3D, le componenti G_z, sulla faccia di SX dal risultato del diagramma precedente vale ( -G_Z(z) ) disegno la freccia del verso del diagramma che è →.

Sulla faccia di destra guardando il diagramma le tensioni valgono

G_z+^∂G_z/_∂z dz (disegno la freccia nel verso del diagramma che è ←)

A_r = AREA RADIALEA_t = AREA TRASVERSALE

• le tensioni normali agiscono lungo l’area trasversale ortogonale ad A_t
• le tensioni tangenziali agiscono lungo l’area Ar ortogonale ad At.

Pulla faccia superiore invece, nell’area trasversale, di normale – e_y, abbiamo una distribuzione di forze che saranno le “TENSIONI TANGENZIALI”

-T_yz = -T_yz (che agiscono nell’area trasversale)

PER CALCOLARE T_yz DEVO IMPORRE L’EQUILIBRIO ALLA TRASLAZIONE.Studio l’integrale esteso a tutto l’elemento coirno (valutando le 3 aree)

⟶∬_Ar -^∂⟶/_∂z dx dy + ∫_At +^∂G_z/_∂z dx dy dz + ∫_At -T_yz dx dz = 0

= ∫_Ar ^∂G_z/_∂z dx dy + ∫ _At T_yz dx dz = 0

- Max relativo quando presa la corda baricentrica avremosolo un max relativo.

Esempi di sezione valutando a seconda delle corde i T₂y(corde assiali orizzontali ∥ a X valutatobraccio sup. e inferiore lalarghezza)

1) Max relativo in G

2) Max assoluto in G

3) Max assoluto in G

4) Max relativo in G

5) Max assoluto in G

Con il campo di spostamento abbiamo studiato l'angolo di torsione Θ = β ∙ Z

quindi l'angolo di torsione varia con la Z, studio questo fenomeno:

1° OSS. PER IL CILINDRO RETTO DI SEZ. CIRCOLARE

Supponendo che una base del cilindro sia incastrata, la base simmetria quando

Z = 0 otterrà l'angolo di torsione associato ossia nullo Θ = 0, notiamo

invece cosa accade alla base elastica quando Z = L e dove è applicata

il carico torcente, il passare da un angolo di torsione nullo

fino a raggiungere un angolo di torsione max sulla base dx

quando Z = L valo' che Θ raggiungerà il valore max ossia Θ = β ∙ L

e quindi alle estremità avrà il tmax della torsione.

COSA NOTIAMO A SEGUITO DI CIÒ? COSA ACCADE ALLE FIBRE?

Le fibre attorno l'asse Z non si allungano, l'asse Z resta inalterato,

questo motivo perché nel campo di spostamento per la sez. circolare

vale Wz = 0, le fibre // a Z subiscono solo una deformazione

ellettodiale, ma le sezioni trasversali resteranno piane e subiscono

sclo una rotazione attorno l'asse Z, ciò che cambia sarà solo l'angolo

di torsione, dato dalla rotazione angolare.

2° OSS. PER IL CILINDRO RETTO DI SEZ. CIRCOLARE (PUNTO P)

Poiché siamo in teoria lineare (piccole deformazioni) siamo di

fronte a quantità modesta di momento Torcente, questo mi comporterà

sol suca piccoli spostamenti e piccole deformazioni.

Valutando un punto P rappresentante nella sezione trasversale circolare

sottofotta a torsione, noteremo che si sposterà in P' lungo un arco di

circonfemza Pei

con centro in G e raggio GP.

Data ci facciamo nell'ipotesi di piccoli spostamenti, l'arco di PP' = Pei

segmento valutoto coame una rete.