Problema di Saint Venant- parte 8

IL PROBLEMA DI SAINT-VENANT (1855)

• Consiste nel determinare la soluzione del "PROBLEMA DELL'EQUILIBRIO ELASTICO", (si rifà a Kirchhoff per l'unicità della soluzione).
• Questa soluzione S.V. la adotta a un cilindro retto sufficientemente allungato a sezione trasversale qualsiasi, costituito da materiale

INERTE, ELASTICO, OMOGENEO ed ISOTROPO.

• Nell'IPOTESI: che le forze di volume siano nulle su tutto il corpo (b = 0) mentre le forze di superficie T̂ per il MANTELLO saranno nulle (T̂ = 0), ma saranno distribuite arbitrariamente sulle basi del cilindro, quindi il corpo risulterà caricato solo alle estremità.

z = ASSE DEL SOLIDO, del cilindro x_c e y = A.P.C.I. (ASSI BARCENTRICA, NON CENTRIGUGO = 0)

Il SISTEMA DI RIFERIMENTO x,y si trova al centro della sezione A individuando il BARCENTRO G.

IPOTESI: GEOMETRICHE; CINEMATICHE, COSTITUTIVE:

• allung l forze di volume nulle a tutto il corpo
• Mantello scarico (T_m = 0 ∀ x ∈ (e)Ω)
• T⁺^ (per z = l, B⁺ base di dx)
• T^-^ (per z = 0, B^- base di sx)

• Significa che quindi di T^{^} = 0
• Significa che sul mantello non ci sono forze superficiali
• Forze solo presenti sulle basi superficiali (distribuite insensatamentein maniera arbitraria)

IMPORTANTE!! (FORMULAZIONE PROPRIETÀ) ➀

Si tratta di formulare un problema con i DATI al CONTORNO:

È un "PROBLEMA AL CONTORNO SOLO NELLE FORZE"

Bisogna determinare {μ, E, T} (la soluzione) ossia lo STATO ELASTICO del corpo.Se tale soluzione ESISTE ESSA SARÀ UNICA

• Questa Terna deve soddisfare le:
  1. EQUAZIONI DI CAMPO
     • (RIGUARDA IL MANTELLO) DEL CILINDRO
       1. Tε = 1/2 (∇u+∇uᵀ) ∀ x ∈ Ω → EQUAZIONE DI CONGRUENZA
       2. divT = 0 ∀ x ∈ Ω → EQ. DI EQUILIBRIO
       3. E = -1/E [(1+υ) T - υ (trT) I] ∀ x ∈ Ω → EQ. COSTITUTIVA IN FORMA DI LEGAME INTERNO
  2. EQUAZIONI AL CONTORNO
     • (RIGUARDA LE BASI)
       1. ΤḾ = 0 ∀ x ∈ ∂Ω \ Ω → CONDIZIONE SUL MANTELLO SCARICO Ω
       2. ΤḾˉ = n⁺ ∀ x ∈ Β⁺ → CONDIZIONE SUL BASE DESTRA
       3. ΤḾˉ = n⁻ ∀ x ∈ Β⁻ → CONDIZIONE SUL BASE SINISTRA

Sono 6 EQUAZIONI espresse IN FORMA "GENERATE", ora le esplicitiamo:in forma "generalizzata"

Equazioni di campo (che interagiscono tutto il corpo)

1) Equazione di congruenza (in componenti)

E_xx = ∂u/∂x

E_yy = ∂v/∂y

E_zz = ∂w/∂z

(Termi