Problema di Saint Venant- parte 8

IL PROBLEMA DI SAINT-VENANT (1855)

• Consiste nel determinare la soluzione del "PROBLEMA DELL'EQUILIBRIO ELASTICO".
• Questa soluzione S.V. la adotta a un cilindro retto sufficientemente allungato a sezione trasversale qualunque, costituito da materiale INFINITAMENTE ELASTICO, OMOGENEO ED ISOTROPO.
• Nell'IPOTESI: che le forze di volume siano nulle su tutto il corpo (b=0) mentre le forze di superficie S per il mantello saranno NULLE (\T_m=0), ma saranno distribuite arbitrariamente sulle basi del cilindro, quindi il corpo risulterà caricato solo alle estremità.

IPOTESI: GEOMETRICHE, CINEMATICHE, COSTITUTIVE:

• d'area A << 1
• sez.transversale A semplicemente connessa e regolare
• E, G, ν (MODULI TECNICI -> MAT. ISOTROPO PER LA RISP. MECCANICA DEL MATERIALE)

IPOTESI DELLE FORZE AGENTI SUL CORPO

1. b = 0 -> FORZE DI VOLUME NULLE su tutto il corpo
2. mantello scarico (\T^m = 0) \forall x ∈ (x;\Omega)
3. \^->, \^+=^- (per z = L, B+= base di dx)
4. \^-<, \^->0, B-= base di sx)
5. significa che quindi \div_vi=0
6. significa che sul mantello NON ci sono forze superficiali
7. FORZE SOLO PRESENTI SULLE BASI SUPERFICIALI (distribuite interamente o in maniera arbitraria)

Importante!! (Formulazione Proprieta)

Si tratta di formulare un problema con i dati al contorno:

È un "problema al contorno solo nelle forze"

Bisogna determinare u, E, T (la soluzione) con lo stato elastico del corpo. Se tale soluzione esiste essa sarà unica

Questa Terna deve soddisfare le:

1) Equazioni BX Campo (Riguarda il Tambo del Cilindro)

• E = 1/2 ∇u + ∇u^T V x ∈ Σ
• div T = 0 V x ∈ Σ
• E ≅ -1/E [(λ + ν) T - λ (TrT) I] V x ∈ Σ

2) Equazioni al Contorno (Riguarda le Basi)

• Tm^ = 0 V x ∈ ∂Σ_Ω
• Tm^ = n⁺ V x ∈ B⁺
• Tm^ = n^- V x ∈ B^-

Sono 6 equazioni espresse in forma "generale", ora le esplectiamo in forma "generalizzata"

3.V. unificazione del TEOREMA DI KIRCHHOFF

soluzione ad esistere tale soluzione sarà UNICA.

IMPORTANTE!!!

1. Avendo imposto questa Congruenza vediamo cosa cambia per le equazioni determinate prima.

1) EQUAZIONI DI CONGRUENZA: restano inalterate tranne Exy = 0 (non abbiamo deformazione nel piano) della sez. trasversale

2) EQUAZIONI DI EQUILIBRIO (ci semplificano): C'E

• ∂Txz/∂z = 0 → segue → Txz = A (x,y)
• ∂Tyz/∂z = 0 → segue → Tyz = B (x,y)

(A e B coefficienti costanti)

• ∂Txx/∂x + ∂Txy/∂y + ∂Txz/∂z = 0 → (derivando la 3^a rispetto a Δz)

= ∂/∂z (∂Txx/∂x) + ∂/∂z (∂Txy/∂y) + ∂/∂z (∂Txz/∂z) = 0 → (per teorema Schwartz)

^Δ2 Txz/ ∂z² = 0

1. Per questo motivo la TENSIONE NORMALE Gzz è una FUNZIONE LINEARE di s.v. che varia al più rispetto a z

PER LA TENSIONE, in termini di soluzione sarà

Tzz = C(x,y)z + D(x,y)

• Studiamo gli INVILUPPI, per vedere se lo STATO della S.V. è mono, BIax o TRIax.

ciò che ho fatto è stato studiare per prima cosa: l'equilibrio globale di tutto il solido; poi ho studiato le singole aree, esplicitando con gli integrali la risultante (dell'area considerata) e il mom risultante (dell'area corrente, vedi).

Ora dopo aver studiato cosa succ. a tutto il solido e alle basi, ora mi interessa a studiare cosa succ è premettere una sezione trasversale interna, facendole con l'equilibrio di una parte del corpo.

Per gli ax di eulero, se una parte del corpo è in equilibrio lo sarà per ogni parte di tutto il corpo B.

• R(P)=0
• M(P)=0 ∀ P ∈ B (DEFORMATO)

Siccome il corpo che sto studiando è un corpo deformabile, le ecs non più sufficienti per garantire l'equilibrio, quindi riadotterò il problema esplicando gli ax di eulero, presi una sezione trasversale interna al solido, farò l'equilibrio di quel pezzetto. (da A(o) a A(z)

Equilibrio di una parte del solido

• R(P) { R(o) + R(z) =0
• H(P) { M(o) + H(z) + R(z) ^₂ez =0

Tentendo a sistema i due equilibri (di una parte e di tutto il solido) sottraendo membro a membro ottengo che:

• R(0)+R(z) = R(z)+β(L)
• H(0)+H(z) +Rz ^ₑez = H(0)+H(L)+R(L)^₁(e₂)

• R(z) = R(L)
• H(z) = H(L) + R(L)^₁(L-z)^e₂

CONDIZIONI AI CONTORNI "INDEFINITE" PER LO SFORZO NORMALE

(proiettando la R e i Mom. Risultanti rispetto gli assi x, y, z)

• per prima cosa proiettiamo la risultante lungo x, y, z in modo tale da vedere nel caso di sforzo normale quanto valgano Tx, Ty, Tz

N_z (L) = ∫_A(L) R(⟂) ⟨e_z · e_z⟩ · e_z dA = ∫_A(L) T_z ⟨e_z · e_z⟩

N_z⟂ : D · A ⇒ D = N / A

posso sostituire nella matrice al posto di D con N / A

[I] = ⎡⎣ 0 0 0 ⎤⎦ = costante ∀ x ∈ B, soggetto a sforzo normale centrato

• per seconda cosa proiettiamo il mom. risultante lungo x, y, z, per vedere M_x, M_y, M_z quanto valgano per lo sforzo normale

H_z (L) ⟨e_x ≡ ⟨∫_A(L) [t_ez ∧ (x - G(L))] ⟩ ⟨e_x = ∫_A(L) x ⟨ 0 ⟩ y dA = ∫_A(L) D · x dA

H_x = D · ⟨y⟩^∘ = ⎯⎯, H_x e il momento stanco dell'intera sezione rispetto dell'asse baricentrico x

H_y (L) · _ey = ⟨∫_A(L) [t_ez ∧ (x - a(L))] ⟩ · _ey = ⟨ x

H_y = D · ⟨x⟩^∘ = ⎯⎯, H_y e il mom stanco dell'intera sezione rispetto di alla asse baricentrico y e quindi entrambi i momenti statici risulteranno nulli, poiché x e y sono

• Vedendo per u e v:

vedo il cilindro ora nella sezione trasversale cosa succede nella configurazione deformata al seguito dello sforzo applicato.

Consideriamo ora nella sezione trasversale un punto P generico e da lì, vediamo cosa succede nel momento in cui attrezzo una deformazione il solido, cosa cambia, cambia in direzione u e v per il punto P?

AREA considerata a seguito della deformazione(CONDIZIONE BIOROTAX) X seguito diTRAZIONE NELLA SEZ. TRASVERSALE di area di scorr.per il coeff.

P in condizione iniziale avrà determinatecoordinate (x,y), nella configurazionedeformata esso rinomineremo P'(x',y') conle nuove coordinate, post-deformazione.

Il punto P varia secondo un rapporto dato da:

1. V/u = dN_EA . y= yX

Nel piano x,y secondo il "vettore del vettere SPOSTAMENTO" ossda µ(P)

|µ(P)| = √u² + v²

= √dN + µNEA EA

= √dN . EA

(x² + y²)

mi ha dato k = modulo del vettor posizione.Lo spostamento quindi sarà di tipo "RADIALE", avente spesso coeff. ANGOLARE

Se lo sforzo normale (N = σ2 > 0) Quindi P è di TRAXIONE allora il punto si avvicina al BARICENTRO dobbiamo lo spostamento CENTRIPETO.

Se lo sforzo normale è di compressione com (σ2 < 0) P si allontana dal baricentro.

Sarà una DEFORMAZIONE in entrambi i casi di tipo OROTECICOvarieranno le dimensioni della sezione a seguito della deform.ma NON LA FORMA.