Probabilità

Proprietà della distribuzione normale

La distribuzione normale, indicata con M(x; μ, σ), è una funzione di densità caratterizzata dalle seguenti proprietà:

• Simmetria rispetto a x = μ: f(μ - δ) = f(μ + δ) per ogni δ positivo
• Crescente nell'intervallo (-∞, μ) e decrescente nell'intervallo (μ, +∞)
• Raggiunge il massimo per ogni x = μ
• Ha l'asse x come asintoto orizzontale, ossia f(x) → 0 per x → -∞ e per x → +∞
• Ha 2 punti di flesso in x = μ - σ e x = μ + σ
• È concava nell'intervallo (μ - σ, μ + σ) e convessa altrove

La media e la varianza della distribuzione normale, indicate rispettivamente con E(X) e Var(X), sono date da:

2E(X) = μ

Var(X) = σ^2

La media determina la posizione della curva di densità sull'asse delle ascisse, mentre la varianza determina l'altezza e la lunghezza della curva.

La probabilità che X assuma valori

all'interno di un qualsiasi intervallo (a, b) è data dell'area sottesa alla curva in detto intervallo. La regola empirica è la seguente: - La probabilità di osservare un valore di X entro 1 • σ al di sotto e al di sopra della media è 0.68. - La probabilità di osservare un valore di X entro 2 • σ al di sotto e al di sopra della media è 0.95. - La probabilità di osservare un valore di X entro 3 • σ al di sotto e al di sopra della media è 0.997. La funzione di ripartizione della distribuzione normale è l'area sottesa alla curva a sinistra di x. Tramite la funzione di ripartizione è possibile determinare la probabilità P(a < X < b) = F(b) - F(a), che X assuma un valore appartenente a un qualsiasi intervallo (a,b). Il quantile di livello p della distribuzione normale N(μ, σ) è il punto x in cui la funzione di ripartizione F(x) è uguale a p. DISTRIBUZIONE NORMALE STANDARD = distribuzione normale con media 0 e deviazione standard 1.

0 e varianza 1 funzione di densità:1 2-z /2ef(z) = 2π2sia X una variabile casuale con distribuzione normale di media μ e varianza σX - μ ha distribuzione normale standardallora la variabile casuale standardizzata Z = σ x - μx - μF(x) = P(X < x) = P(Z < ) = Ф( )la funzione di ripartizione di X può essere ottenuta come σσquindi, 2probabilità che una variabile casuale X con distribuzione normale N(μ, σ )assuma un valore nell'intervallo (a, b) = probabilità che la variabile casualenormale standard N(0, 1) assuma un valore nell'intervallo di estremi (a - μ)/σ e(b - μ)/σse la variabile casuale ha distribuzione normale standard, la probabilità P(z < Z < z ) si ottiene come:1 2 P(z < Z < z ) = Ф(z ) - Ф(z )1 2 2 1ESEMPIO: soluzione 1. si standardizzano a e b, ottenendo z = (a - μ)/σ e z = (b - μ)/σ1 22. trovati i

valori Ф(z₁) e Ф(z₂) nella tabella di "funzione di ripartizione della distribuzione normale standard", si applica e si ottiene: P(a < X < b) = Ф(z₂) - Ф(z₁)² ESEMPIO: soluzione = livello di probabilità assegnato. Se la distribuzione è normale standard, bisogna trovare il valore di z che soddisfa l'equazione Ф(z) = p. Se p ≥ 0.5, bisogna individuare nella tabella la z = numero con due cifre decimali che si ottiene combinando la casella contenente la probabilità più vicina a p con i valori di z della riga e della colonna corrispondenti a quella casella. ESEMPIO: soluzione p < 0.5. Si individua nella tabella la probabilità più vicina a 1 - p. Si ricava, con lo stesso procedimento descritto sopra, il valore corrispondente di z, z = -z_p. Infine, si moltiplica per -1 il valore trovato. I quantili di una distribuzione normale N(µ, σ), con media e varianza qualsiasi, possono essere calcolati utilizzando la tabella di Ф(z).essere determinati così:

• si calcola il quantile z della distribuzione normale standard con il procedimento sopra illustrato
• si calcola poi il quantile x della distribuzione normale N(µ, σ) sfruttando la relazione x = µ + z σ

ESEMPIO: soluzione

ESEMPIO INTRODUTTIVO: con riferimento a uno spazio campionario Ω, una VARIABILE CAUSALE DOPPIA, (X, Y), è una coppia di funzioni X(ω) e Y(ω) che associa una coppia di numeri reali, (x, y), a ogni evento elementare ω ∈ Ω. Una variabile casuale doppia (X,Y) si dice discreta se sia X sia Y sono discrete. Le probabilità associate alle singole coppie di valori (x,y) assunti dalla variabile casuale doppia vengono descritte con FUNZIONE DI PROBABILITÀ CONGIUNTA così definita. Proprietà:

• f(x,y) > 0 quando sia X sia Y assumono un numero limitato di valori, è utile rappresentare la

distribuzioneΣΣ di probabilità congiunta con una tabella a doppia entrata- f(x,y) = 1x y

ESEMPIO:funzione di probabilità congiunta si rappresenta mediante un sistema di tre assi cartesiani:

• punti del piano rappresentano le coppie (x, y)
• terza coordinata rappresenta le probabilità associate ai singoli punti del piano

la funzione di probabilità di X si ottiene sommando le probabilità per riga:

P(X = 0) = f(0,2) + f(0,3) + … + f(0,12) = 6/36

in modo analogo si ottiene la funzione di probabilità Y Σ

la funzione di probabilità di X, indicata con f (x), è data da: f (x) = f(x,y)x x y = FUNZIONI DI PROBABILITÀ

oppureΣ MARGINALE DISTRIBUZIONI

f (y) = f(x,y)funzione di probabilità di Y, indicata con f (y), è data da: di X e Y

DI PROBABILITÀ MARGINALI

YY xESEMPIO: soluzionemedia e varianza della distribuzione di probabilità marginale di:

• X:
• Y:

ESEMPIO:

(x,y) > 0, la probabilità congiunta f(x,y) è definita come il prodotto delle probabilità marginali f(x) e f(y). ESEMPIO: Date due variabili casuali discrete X e Y, si dicono INDIPENDENTI se, per ogni coppia (x,y), la funzione di probabilità congiunta f(x,y) è uguale al prodotto delle funzioni di probabilità marginali f(x) e f(y).

(x) > 0 e f (y) > 0, le seguenti condizioni sono equivalenti:

1. f (y|x) = f (y)
2. f(x,y) = fx(x) • f (y)
3. f (x|y) = f (x)

ESEMPI:

data una variabile casuale doppia discreta (X,Y) con funzione di probabilità congiunta f(x, y), si chiama COVARIANZA la quantità

ΣΣ (x - µ )(y - µ )f(x,y)σ = E[(X - µ )(Y - µ )] = xx YYXY x y

covarianza = misura del legame associativo tra le variabili casuali X e Y

• valore positivo indica che esse tendono a variare nella stessa direzione

• valore negativo indica che esse tendono a variare in direzioni opposte

• valore pari a 0 indica assenza di legame lineare (non esclude altri tipi di associazione)

ESEMPIO: soluzione

una misura appropriata della forza del legame lineare tra due variabili casuali è fornita dal coefficiente di correlazione lineare

2 2= siano X e Y due variabili casuali discrete aventi medie µ e µ e varianze σ e σx xY

Il coefficiente di correlazione lineare di X e Y è dato dall'indice ρ, che ha lo stesso segno di σ, in quanto il denominatore è positivo.

XY assume valori positivi quando le due variabili tendono a crescere o decrescere insieme, e assume valori negativi quando le due variabili tendono a variare in direzioni opposte.

I valori estremi, -1 e 1, si hanno in caso di una relazione lineare perfetta tra X e Y, mentre un valore nullo indica che tra X e Y non intercorre una relazione lineare, e in questo caso le variabili si dicono incorrelate.

Se le variabili casuali X e Y sono indipendenti, allora σ e ρ sono entrambi nulli.

XY è la distribuzione di probabilità di una variabile casuale doppia continua, e questa superficie si chiama funzione di densità congiunta, descritta da una funzione positiva f(x,y) tale che il volume ad essa sotteso sia pari a 1. È una superficie tridimensionale definita nel piano xy.

ESEMPIO: dalla funzione di densità congiunta è possibile ottenere la conoscenza...

delle funzioni di densità marginali

FUNZIONI DI DENSITÀ MARGINALI f (x) e f (y) consente di calcolare le medie e le varianze di X e Y

x Ydue variabili casuali continue si dicono indipendenti seper ogni coppia (x,y) la funzione di densità congiunta è f(x,y) = f (x) • f (y)x Yuguale al prodotto delle funzioni di densità marginalicovarianza E[(X - µ )(Y - µ )]x Ycoefficiente di correlazione lineare

ESEMPIO:distribuzione di probabilità congiunta di n variabili casuali X , X , …, X = descritta da una funzione di1 2 nprobabilità congiunta o di densità congiunta a seconda che le variabili casuali siano discrete o continuesiano date n variabili casuali indipendenti X , X , …, X con funzioni di probabilità marginali f (x ), f (x ), …, f (x )x x x1 2 n 1 2 n1 2 nfunzione di probabilità congiunta delle variabili casuali X , X , …, X è data da1 2 nf(x , x , …, x ) = f

• (x ) • f (x ) • … • f (x )x x x1 2 n 1 2 n1 2 n
• spesso le tecniche di inferenza coinvolgono funzioni lineari di due o più variabili casuali
• IN GENERALE: si considerano combinazioni lineari di n variabili casuali definite da W = a X + a X + … + a X1 1 2 2 n n
• siano date n variabili casuali X , X , …, X discrete o continue1 2 n
• media e varianza della combinazione lineare W = a X + a X + … + a X1 1 2 2 n n
• se X , X , …, X sono indipendenti, la varianza