Probabilità Parte 1

PROBABILITÀ

è un concetto primitivo → è un qualcosa che ciascuno di noi ha già una conoscenza

La normale esistenza è connessa nelle manifestazioni

Tutto quello che accade è aleatorio (non abbiamo di per sé i mezzi di derivare a cosa è associato). L'analisi che permette di attribuire una probabilità che si verifichi un dato evento.

La concretezza di un ambiente imprenditoriale e della vita quotidiana si registra prima: tentativi di razionalizzare e formalizzare matematicamente le situazioni aperte dell'incertezza si trovano nei protocolli dei Giochi d'Azzardo.

Quindi il risultato dà generazioni: a incerto.

In influenza di un dato possiamo considerare intuitivo il concetto di probabilità: di un aspetto basato sull'incertezza connesso al p. osservato scaturendo da una prova.

• s. definiscono CONCETTI PRIMITIVI
• s. definiscono POSTULATI
• s. definiscono PROPRIETÀ E TEOREMI

CONCETTI PRIMITIVI

I concetti primitivi rappresentano le modalità originarie o intuitive su cui viene costruito successivamente tutto la teoria.

La Prova

Evento

Probabilità

s. se esame logico-formale la struttura esposta è schematizzato nella seguente proposizione:

In un dato Prova l'Evento si verifica con la probabilità (P(E)).

Concetti primitivi non possono essere desinati esplicitamente né alcune considerazioni possono essere utili a inquadrarlo nel loro campo.

La Prova è un esperimento che dopo uno o più possibili risultati si indica, ed incerta che unico risultato si presenterà. Un prova può essere suddivisa in diverse fasi che si definiscono sotto prove.

alcuni esempi per

• Il lancio di un dado.
• Un esame universitario: Risolto in un certo dato.
• Il lancio di due dadi.
• Il Testo completo e composto da 2 sottoprove: Lancio di singolo dado.

Concetti Primitivi

Esperimento Casuale: dato incerto

Esperimento Prova

PROVE

1. deterministiche
   • se ripetute nelle stesse condizioni, si ottengono lo stesso risultato
     • es. acqua bolle a 100°
2. aleatorie
   • se ripetute nelle stesse condizioni, non ottengo lo stesso risultato
   • es. il buon fattore di riuscita dell'evento diventa incerto

EVENTO

uno dei possibili risultati del nostro esperimento

elementare (ω) si intende uno dei possibili risultati della PROVA

composto/non elementare

• si intende un evento che può essere a sua volta scomposto in più eventi elementari.
• È un sottoinsieme di Ω, dove Ω veniva spiegato
• Si verifica in degli eventi elementari che lo compongono

il probabilismo contiene ognuno con la sua modalità interessa su questo evento

SPAZIO CAMPIONARIOΩ

è l'insieme dei possibili risultati

viene associato ad ogni evento.

ESP 1

ESPERIMENTO DI LANCIARE UN DADO Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Possiamo definire l’evento A: "esce un numero pari" ("è un evento composto")

È un sottoinsieme di Ω

A = {2, 4, 6} ← eventi elementari

Evento B: esce un numero dispari

B = {1, 3, 5}

ESP 2

LANCIO DI 2 MONETE Ω = {(testa, testa), (testa, croce), (croce, testa), (croce, croce)}

EVENTO A: "il primo lancio è una testa"

A = {(T, T), (T, C)}

← eventi elementari che soddisfano A

Notazione

E = {E₁, E₂, E_n}: tale collezione è chiusa rispetto alle operazioni in questione. Vuol dire che il risultato di ogni operazione su degli eventi in esso è un altro oggetto elementi di E, e anch'esso un evento appartenente a E. E se la collezione di eventi E è chiusa anche rispetto all’unione e l’annullamento eventuali eventi, avremo un'algebra di Boole completa detta anche σ-algebra.

L’insieme di tutti i possibili eventi elementari ω_i, viene chiamato spazio campionario e viene indicato con il simbolo Ω.

E ⊇ Ω

Include

Evento impossibile

È l’evento che non possa mai verificarsi e può essere definito come intersezione fin in qualsiasi evento E lo sue negazaza: ∅

Evento certo

Ossia l’evento si verifica sempre in quanto comprende tutti i possibili risultati dell’esperimento Può essere definito come la negazione dell'evento impossibile ∅

Ω = Ω

A ∩ B = ∅

A ∪ Ω = B ∪ B = Ω = evento certo

Relazione di inclusione

A ⊂ B = A ⊃ B ⊂ A

Implica incluso/contenuto

⇒ Inclusione non escluda che per ceto coincidente base B.

A ∪ C = C ⊇ A e contenuto in C.

Probabilità Condizionata

P(A|B) = ^{P(A ∩ B)}/_P(B)

Definizione

P(D) = 30/100 = 0,3

P(D|M) = ²⁰/₅₀

P(M|D) = ²⁰/₁₀₀ = 0,2

P(M) = 50/100

Da questa formula: P(A|B) = ^{P(A ∩ B)}/_P(B)

P(A|B) P(B) = P(A ∩ B)

P(A|B) P(B) = P(A ∩ B)

P(A|B) P(B) = P(A ∩ B)

P(A ∩ B) = P(B) P(A|B)

P(A ∩ B) = P(B) P(A|B)

P(A ∩ B) = P(A) P(B|A)

Es.:

P(D) = 0,3

P(D|M) = 0,4 da cui senso

P(B|A) = ^{P(B ∩ A)}/_P(A)

Quindi se A e B sono indipendenti, se P(A|B) = P(A) (e in modo equivalente di dare:) 1

A = (A∩E) ∪ (A∩E^_)

A = AR

E = E ∪ E

P(A) = P(A∩E) + P(A∩E^_)

P(A∩E) = P(A) P(A|E) = 0.5 = 0.25

P(A∩E^_) = P(A) - P(A∩E) = 0.27 - 0.25 = 0.02

P(A|E) = 0.02/0.5 = 0.04

P(E) = 0.5

può essere un insieme discreto o intervalli reali.

VARIABILI CASUALI X, Y, W, Z

* Introduzione del condetto di variabile casuale permette di tener conto delle esigenze numerici dei modelli.

X è una funzione e parte da Ω e va sui numeri reali IR.

• Una variabile casuale X è una funzione definita sullo spazio campionario Ω che associa a ogni risultato elementare ω_i un unico numero reale.

ES. lancio di 3 monete

X : Ω → R

X(ω)

G = √1,64 = 1,28 ⟹ deviazione standard di x

xRE VAR(X) = 1,64 - 0² = 1,64

ES.

• p(x)
• X
• 0,1
• -3
• 0,2
• -2
• 0,3
• 0
• 0,3
• 2
• 0,2
• 3

Le varianze misurano la differenza tra possibile valore della variabile casuale e il suo valore atteso, con quei dati abbiamo probabilità di osservare tale valore.

Essa rappresenta quindi un indicatore dell’ampiezza degli spalmicolti, su una statistica descrittiva.

La VARIANZA è in effetti il valore atteso dello:

[X - E(X)]²

Lo scarto risulta nullo se X assume probabilità 1 in corrispondenza di un solo valore e probabilità 0 altrove, mentre è tanto più elevata quanto più alti è lo scarto dei singoli valori.

*SCARTO QUADRATICO MEDIO*

*DEVIAZIONE STANDARD (DS (X) o G (X) = √VAR(X)

Ci aspettiamo un VAR(X) ⟶ x crei i valori attorno della media sono probabili.

E(X) non è cambiato = 0

VAR (X) = G²

σ_X = 2,2 in questo caso la distanza media è di 2,2 hai scarto di x rispetto il valore medio.

Nell’ambito dei processi produttivi G VAR(X) è sinonimo di scostamento: controllo della qualità.

ES.

• X
• p(x)
• 0,9
• -0,2
• 0,050
• -0,3

VAR(X) = E(X - E(X))²

E(X) = Σx p(x)

Dimostrazione della seconda formula di V(X)

Var (X) = E((X - E(X))²) e lo steso.

Var (X) = E(X² + (Ex( sup>2) - 2E(x))(X - bx))) = M.

Il valore atteso di una somma e la somma di valori attesi, quindi posso fare la somma dei valori.

VAR(x) = E(X²) - 2(E(X) - E(X)²)E(X) attesi: = 2(E(X) - E(X²)E(x) detei:

(E(X)) - valore atteso del caso osservato e il costo stimato.

VAR (X) = E(X²) - [E(X)]²