Lezioni ed esercitazioni, Probabilita' e statitistica

Calcolo delle Probabilità e Statistica

¹_a parte PROBABILITÀ Appunti di probabilità

• fino al capitolo 5

²_a parte STATISTICA Statistical Inference

Calcolo della probabilità: si tratta di dare una trattazione teorica ai fenomeni casuali. I fenomeni che non riusciamo a descrivere in maniera precisa.

Esempio: Io lancio una moneta ⇒ Lo studio del movimento del corpo rigido che mi riduce il moto della moneta ⇒ Il problema mi da origine a un sistema di equazioni che può essere talmente complicato che risulta impossibile calcolarne la soluzione per un caso esce testa, o croce.

⇒ PROBABILITÀ si occupa di adottare o calcolare e studiare le leggi del caso

ESPERIMENTO PROBABILISTICO: ogni atto o processo naturale o artificiale il cui risultato e/o evoluzione sia ottenuto (realizzazione ovvero possa dirsi entr'uguo)

PROVA: singola realizzazione dell'esperimento probabilistico

SPAZIO CAMPIONARIO: insieme in senso matematico, può essere discreto, finito, infinito. Ma unito Ω che contiene tutti gli enti possibili dell'esperimento

Può avere diverse configurazioni: Ω = {π, c, ε} oppure Ω = {1, 4, 6}

• {1, 4} = Testa
• {c, 0} = Croce

ESMPIO:

Sei esperimenta le lancio della moneta fino a quanta non esce testa Ω = {w = (w₁, ..., w_n) ∈ ℕ ⋁ w_i = c e w_N = t}

diciamo spazio campionario dei vettori

EVENTO: A ⊆ Ω chiamiamo evento un qualsiasi sottoinsieme di Ω (l'insieme delle possibili visite in Ω)

Calcolo della Probabilità e Statistica

1^a parte Probabilità

2^a parte Statistica Statistical Inference

• Calcolo della probabilità: si tratta di dare una trattazione teorica ai fenomeni casuali, fenomeni dei quali riusciamo a discurere in maniera precisa

ESEMPIO: Mi lancio di una moneta ⇒ Lo studio del movimento del corpo rigido che mi induce il moto della moneta ⇒ il problema mi dà origine a un sistema di equazioni che può essere talmente complicato che risulta impossibile calcolarne la soluzione, cui mi dice se uscirà testa, o croce

⇒ PROBABILITÀ : si occupa di adottare e studiare le leggi del caso

• Esperimento Probabilistico: ogni atto o processo naturale o artificiale il cui risultato e/o mai da deterministico (realizzazioni diverse possono dirci enti diversi).
• Prova : singola realizzazione dell'esperimento probabilistico.
• Spazio Campionario : insieme (in senso matematico) può essere discreto, finito/infinito. ⇒ non vuoto e che contiene tutti gli enti possibili dell'esperimento. Può avere diverse configurazioni.

ESEMPIO: sei sperimentale (lancio della moneta fino a quando non esce testa Ω = {T,C,...}

EVENTO: A ⊆ Ω (chiamo evento un qualunque sottoinsieme di Ω)

Quando l'esito dell'esperimento appartiene all'elemento dicco che si è verificato A

Ω si chiama EVENTO CERTO, ∅ si chiama EVENTO IMPOSSIBILE

Siamo interessati a calcolare P(A) (probabilità di A) A⊆Ω evento

Come si fa a calcolare P(A) (probabilità di A) A⊆Ω evento

=> il motivo dello studio della probabilità è voler associare un numero a tale probabilità

Definizione classica di P (come col AP associo un numero reale e la definizione di P)

• Lo spazio campionario finito e dicono gli eventi equipossibili A⊆Ω
• P(A) = cardi(A) / cardi(Ω) = # casi favorevoli / # casi possibili => numero

Esempio

• Ω = {2,3,4,5,6} P( {6} ) = 1 / 6
• Probabilità di un numero pari Ω = {1,2,3,4,5,6}
• P( {2,4,6} ) = 3 / 6 = 1 / 2

Lancio 2 dati |Ω| = 36   Ω = {(i,j)} i,j = 1,...,6

A = "la somma è 5" = {(1,4), (4,1), (2,3), (3,2)} = P(A) = 1 / 9

Oppure lo posso descrivere come il numero delle coppie non ordinate

Ω = {(i,j)} i = 1, ..., 6 j > i

=> non posso applicare la definizione classica di probabilità

perché la probabilità di alcun eventi è diversa dalla

probabilità di altri

DEFINIZIONE FREQUENTISTA P

n = n° di prove ripetute

n->∞ P(A) = lim n->∞ f_n con f_n

f_n = # numero di volte di A / n

accaduto dell'evento

Il calcolo della probabilità non è teatro ma quando

si possono utilizzare entrambi coincidere.

Non c'è nessun limite come nella definizione classica

perché il metodo migliore per capire è

provare e per provare ci vuole