Lezioni ed esercitazioni, Probabilita' e statitistica

Calcolo della probabilità e statistica

1^a parte

Probabilità

Appunti di probabilità Di Crescenzo, Riccucci, fino al capitolo 5

2^a parte

Statistica

Statistical Inference

• Calcolo della probabilità: si tratta di dare una trattazione teorica ai fenomeni casuali, fenomeni dei quali riusciamo a discutere in maniera precisa.

Esempio: Sei percio una moneta. Lo studio del movimento del corpo rigido che mi produce il moto della moneta.

Il problema mi da origine a un sistema di equazioni che può essere talmente complicato che diventa impossibile calcolarne la soluzione dato mi dica se è uscita testa o croce.

La probabilità si occupa di adottare e calcolare e studiare le leggi del caso.

• Esperimento probabilistico: ogni altro o processo naturale o artificiale il cui risultato e/o noi non era deterministico.

  • (realizzazioni diverse possono dare 'esiti diversi')

• Prova: singola realizzazione dell'esperimento probabilistico.

• Spazio campionario: insieme in senso matematico può essere discreto, finito, infinito. Ma unito lui contiene tutti gli esiti possibili dell'esperimento.

  • Può avere diversi caratteri Ω = {T, C} oppure Ω = {o, y} {T, H = Testo} C, o' l = croce

Esempio: Sei esperimentanti il lancio della moneta fino a quanto non esce testa Ω = {w₁, ..., w_N}, N ∈ ℕ w_i = C e ω_N = T allora spazio campionario dei vettori.

Evento: A ⊆ Ω chimano evento un qualsiasi sottoinsieme di Ω (composizione delle possibili uscite Ω)

Quando l'evento dell'esperimento appartiene all'elemento unico cui lui è verificato A.

Ω si chiama EVENTO CERTO, φ si chiama EVENTO IMPOSSIBILE.

Siamo interessati a calcolare P(A) (probabilità di A) A⊂Ω evento.

Come si fa a calcolare P(A) (probabilità di A) A⊂Ω evento⇒ il motivo dello studio della probabilità è cercare di associare un numero a tale probabilità.

Definizione classica di P (come cal A P associa un numero univ il definitorio di P n P)

Lo spazio campionario finito e distinto da eventi equipossibili.

A⊆Ω P(A) = ^cord(A)/_cord(Ω) = ^{# casi favorevoli}/_{# casi possibili} ⇒ numero

Esempio Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} P({6}) = 1/6

Probabilità di un numero pari P({2, 4, 6}) = 3/6 = 1/2

Lancio 2 dati |Ω| = 36 Ω = {i, j} con i, j = 1, ..., 6

A = "la somma è 5" = {(1, 4), (4, 1), (2, 3), (3, 2)}⇒ P(A) = 1/9

Oppure lo posso descrivere come le numeri delle coppie non ordinate

Ω = {(i, j)} i = 1, ..., 6 j ≥ i

⇒ non posso applicare la definizione classica di probabilità perché la probabilità di alcuni eventi è diversa dalla probabilità di altri

DEFINIZIONE FREQUENTISTA P

n = nº di prove ripetute

n → ∞ ^P(A)/_n→∞ = ^f_n/_n→∞ con f_n con f_n = frequenza relativa ai

accorenta dell'evento

f_n = ^{# numero di volte cui A}/_n

Proprietà

P(∅) = 0

DIM Se ω ∈ ∅ → ∅ ∪ ∅ ∅ ∅ ∩ ∅ = ∅

P(∅) = P(∅ ∪ ∅) = P(∅) + P(∅) = P(∅ ∪ ∅ ∪ ∅) = P(∅) + P(∅) + P(∅)

⇒ P(∅) = 0

Dati {A_i}_i=1ⁿ ∈ ∅ con A_i ∩ A_j ∀ i ≠ j

⇒ P(⋃_i=1ⁿ A_i) = ∑_i=1^N P(A_i)

DIM Costruisco {B_i}_i=1¹⁰⁰ ∀ con B_i ∩ B_j = ∅ ∀ i ≠ j

B₁ = A₁, ..., B_N = A_N e B_N+1 = ∅, B_N+2 = ∅...

Abbiamo che sono disgiunti

P(⋂_i=1ⁿ A_i) = P(⋃_i=1^∅ B_i) = ∑_i=1^∅ P(B_i) = ∑_j=1^N P(B_j) + ∑_i=N+1^∅ P(B_i)

= ∑_j=1^N P(B_j) + 0 = ∑_j=1^N P(A_i)

P(A^c) = 1 - P(A)

DIM Ω = A^c ∪ A e A^c ∩ A = ∅

per la finita additività P(Ω) = P(A^c ∪ A) = P(A^c) + P(A)

ma P(Ω) = 1 ⇒ P(A^c) + P(A) = 1

∀ A ⊆ ∅ P(A) ∈ [0,1]

DIM P(A) ≥ 0 (definizione) e P(A)^c ≥ 0

1 - P(A) = P(A^c) ≥ 0 ⇒ P(A) ≤ 1

Proprietà di monotonia Se A ⊆ B ⇒ P(A) ≤ P(B)

DIM B = A ∪ (A^c ∩ B) e A ∩ (A^c ∩ B) = ∅

P(B) = P(A) + P(A^c ∩ B) e siccome P(A^c ∩ B) > 0

= P(B) ≥ P(A)

Teorema di equivalenza

Dato (Ω, ℒ) spazio misurabile e preso

• i) P : ℒ → ℝ
• ii) ∀A∈ℒ ∃ P(A) ≥ 0
• iii) P(Ω) = 1

P è σ-additiva ⇔ P è continua e finito additiva

Per la finito additività vogliamo dimostrare che P è continua.

(A_n ↘) lim A_n = A

lim_n→+∞ P(A_n) = P(A) = P(⋂_n A_n)

Passo 1

Lo ammetto per (B_n)_n→+∞ successione di eventi decrescente con limite ∅

A = ⋂_n=1^+∞ B_n = lim_n→+∞ B_n = ∅

(⋂_m P(B_m) = P(∅) = 0)

B_n = (B_n ∩ B_n+1) ∪ (B_n+1 ∩ B_n+2) ∪ ...

B₁ = ⋃_k=1^+∞ (B_k ∩ B_k+1)

P(B₁) = P(⋃_k=1^+∞ (B_k ∩ B_k+1)) = ∑_k=1^+∞ P(B_k ∩ B_k+1 ) ≤ 1

Lim_n→+∞ P(B_n) = lim_n→+∞ P(⋃_k=n^+∞ B_k ∩ B_k+1 ) = lim_n→+∞ ∑_k=n^+∞ P(B_k ∩ B_k+1) = ε

Passo 2

Lo ammetto per una successione (C_n) di eventi decrescente e convergente a C

Costruisco una nuova successione dei numeri (D_n)

D_n = C_n ∩ C^c

Se C_n ⊂ C_n+1 → D_n ⊄ D_n+1 [per cui utilizzo ed elimino C]

C_n = D_n ∪ C

Lim_n P(C_n) = lim_n P(D_n ∪ C) = lim_n P(D_n) + lim_n P(C)

Posso usare la finito additività perché D_n = C_n ∩ C^c

Ma D_n converge a ∅ → P(⋃_n D_n) = 0

→ ε = P(C)

Risultato A vuoto di centi A_n con definti

1) Due teste consecutive si presentano al lancio (n-1, n)

A_n = { su una n si sono presentate due teste consecutive }

A = ∪_N=2^+∞ A_n   A_n è un cilindro   P(A_N) = 1/4

P(A₂) = 1/4   P²((½)ⁿ) = 1/2^N

P(A₃) = 2^-3   P(A₄) = 2^-4

P(A) = P(∪_N=2^+∞ A_N) = ∑_i=N=2^+∞ P(A_N)

Lo posso fare se ∀ A_i ∩ A_j = φ

A₂ = {µ (1, -)} → ω₄

A₃ = {0, 1ⁿ, 0, -} → ω₄

Campo serie diagonale => questo lo posso vedere

+∞

∑ P(A_N) = ^-∞∑_N=2 (√₂⁡)ⁱ

Con ^∞∑_N=0 xⁿ con x = ragione ← serie geometrica

{x|x| ≤ 1, 1/1-x

x|x|, a → ± ∞

∑_N=0^∞ (1/2)^N - 1/2 + 1 = 1/2 - 1/1^1/2 - 1/2 - 1 = 1/1^1/2 - 1/2 - 1 - 1/2

B = {

2 croci consecutive e prima non si sono

presentate due teste consecutive

P(B₂) = 1/2

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - 1

(A ∪ B)^c ≠ φ ⇒ P(A ∪ B)^c = P[1, 0, 1, 0

v 0, 1, 0, 1, v, 0

eventi quasi certi

event quasi impossibili