Lezioni ed esercitazioni, Probabilita' e statitistica

Calcolo delle probabilità e statistica

¹_a parte Probabilità

Appunti di probabilità fino al capitolo 5

²_a parte Statistica

Statistical Inference

Calcolo della probabilità

Calcolo della probabilità: si tratta di dare una trattazione teorica ai fenomeni casuali. I fenomeni che non riusciamo a descrivere in maniera precisa.

Esempio

Io lancio una moneta ⇒ Lo studio del movimento del corpo rigido che mi riduce il moto della moneta ⇒ Il problema mi dà origine a un sistema di equazioni che può essere talmente complicato che risulta impossibile calcolarne la soluzione per un caso esce testa, o croce.

⇒ Probabilità si occupa di adottare o calcolare e studiare le leggi del caso.

Esperimento probabilistico

Esperimento probabilistico: ogni atto o processo naturale o artificiale il cui risultato e/o evoluzione sia ottenuto (realizzazione ovvero possa dirsi entr'uguo).

Prova: singola realizzazione dell'esperimento probabilistico.

Spazio campionario: insieme in senso matematico, può essere discreto, finito, infinito. Ma unito Ω che contiene tutti gli enti possibili dell'esperimento.

Può avere diverse configurazioni: Ω = {π, c, ε;} oppure Ω = {1, 4, 6} {1, 4} = Testa {c, 0} = Croce.

Esempio

Sei esperimenta le lancio della moneta fino a quanta non esce testa Ω = {w = (w₁, ..., w_n) ∈ ℕ ⊗ w_i = c e w_N = t}.

Diciamo spazio campionario dei vettori.

Evento: A ⊆ Ω chiamiamo evento un qualsiasi sottoinsieme di Ω (l'insieme delle possibili visite in Ω).

Calcolo della probabilità e statistica

1^a parte Probabilità

2^a parte Statistica

Statistical Inference

Calcolo della probabilità: si tratta di dare una trattazione teorica ai fenomeni casuali, fenomeni dei quali riusciamo a discorrere in maniera precisa.

Esempio

Mi lancio di una moneta ⇒ Lo studio del movimento del corpo rigido che mi induce il moto della moneta ⇒ il problema mi dà origine a un sistema di equazioni che può essere talmente complicato che risulta impossibile calcolarne la soluzione, cui mi dice se uscirà testa, o croce.

⇒ Probabilità: si occupa di adottare e studiare le leggi del caso.

Esperimento probabilistico

Esperimento probabilistico: ogni atto o processo naturale o artificiale il cui risultato e/o mai da deterministico (realizzazioni diverse possono dirci enti diversi).

Prova: singola realizzazione dell'esperimento probabilistico.

Spazio campionario: insieme (in senso matematico) può essere discreto, finito/infinito. ⇒ non vuoto e che contiene tutti gli enti possibili dell'esperimento. Può avere diverse configurazioni.

Esempio

Sei sperimentale (lancio della moneta fino a quando non esce testa Ω = {T,C,...}.

Evento: A ⊆ Ω (chiamo evento un qualunque sottoinsieme di Ω).

Quando l'esito dell'esperimento appartiene all'elemento dico che si è verificato A.

Ω si chiama evento certo, ∅ si chiama evento impossibile.

Calcolo di P(A)

Siamo interessati a calcolare P(A) (probabilità di A) A ⊆ Ω evento.

Come si fa a calcolare P(A) (probabilità di A) A ⊆ Ω evento ⇒ il motivo dello studio della probabilità è voler associare un numero a tale probabilità.

Definizione classica di P

Definizione classica di P (come col AP associo un numero reale e la definizione di P).

Lo spazio campionario finito e dicono gli eventi equipossibili A ⊆ Ω.

P(A) = cardi(A) / cardi(Ω) = # casi favorevoli / # casi possibili ⇒ numero.

Esempio

Ω = {2,3,4,5,6} P( {6} ) = 1 / 6.

Probabilità di un numero pari Ω = {1,2,3,4,5,6}.

P( {2,4,6} ) = 3 / 6 = 1 / 2.

Lancio 2 dati |Ω| = 36   Ω = {(i,j)} i,j = 1,...,6.

A = "la somma è 5" = {(1,4), (4,1), (2,3), (3,2)} = P(A) = 1 / 9.

Oppure lo posso descrivere come il numero delle coppie non ordinate.

Ω = {(i,j)} i = 1, ..., 6 j > i ⇒ non posso applicare la definizione classica di probabilità perché la probabilità di alcun eventi è diversa dalla probabilità di altri.

Definizione frequentista

Definizione frequentista Pn = n° di prove ripetute.

n -> ∞ P(A) = lim n -> ∞ f_n con f_n.

f_n = # numero di volte di A / n accaduto dell'evento.

Il calcolo della probabilità non è teatro ma quando si possono utilizzare entrambi coincidono.

Non c'è nessun limite come nella definizione classica perché il metodo migliore per capire è provare e per provare ci vuole