Probabilità e statistica - Argomenti fondamentali orale [+formulario]

FORMULA di BAYES

LEGGE DELLE PROBABILITÀ COMPOSTE A PIÙ ALTERNATIVE

Mette in relazione un evento E (che possiamo identificare come un effetto), con altri eventi che possiamo considerare come le cause.

Ci chiediamo quale di questi eventi intervenga nel determinare E, quindi quale causa partecipa maggiormente nel determinare un effetto.

TEOREMA

Dato un evento E ed un insieme finito o numerabile di eventi incompatibili {Ar}, r = 1, 2, ..., n, se E ⊂ ∪ Ar e P(E) ≠ 0, si ha:

P(Ar|E) = P(E|Ar)·P(Ar) / sum (from t=1 to n)P(At)P(E|At),       for r = 1, 2, ..., n

DIMOSTRAZIONE

Per la legge delle probabilità composte possiamo scrivere:

P(Ar|E) = P(E ∩ Ar) / P(E) = P(E|Ar)·P(Ar) / P(E)

Inoltre E ⊂ ∪r Ar, e quindi:

E = E ∩ (∪r Ar) = ∪r (E ∩ Ar)

Ora dobbiamo notare che se gli Ar sono incompatibili, allora E ∩ Ar sono incompatibili.

Per la LEGGE DELLE PROBABILITÀ TOTALI, otteniamo

P(E) = P(∪r (E ∩ Ar)) = sum (from r=1 to n) P(E ∩ Ar) = L.P.C.: = sum (from r=1 to n) P(E|Ar)·P(Ar)

L.P.T.: P(A∪B) = P(A)+P(B)−P(A ∩ B)       se A∩B = ∧{0}

L.P.C.: P(A|B) = P(A∩B) / P(B)       →   P(A∩B) = P(A)·P(B)   &   A⊆B     P(A∩B) = P(A)·P(B|A)   & ∀   A, B     = P(B)·P(A|B)

Dis. Boole: Ar succ. di eventi    P(∪r=1^n Ar) ≤ sum (from r=1 to n) P(Ar)

○   se l'intersezione ≠ 0 −   se di eventi sono incompatibili

FORMULA di BAYES

LEGGE DELLE PROBABILITÀ COMPOSTE A PIÙ ALTERNATIVE

Mette in relazione un evento E (che possiamo identificare come un effetto), con altri eventi che possiamo considerare come le cause.

Ci chiediamo quale uno degli altri eventi intervenga nel determinare E, quindi quale causa partecipa maggiormente nel determinazione un effetto.

TEOREMA

Dati un evento E ed un insieme finito o numerabile di eventi incompatibili {A_r}, r=1,2,…n, se E ⊆ ⋃_r A_r e P(E) ≠ 0, si ha:

P(A_r|E) = P(E|A_r).P(A_r) / ∑_r=1ⁿ P(A_i)P(E|A_i) r = 1,2…n

DIMOSTRAZIONE

Per la legge delle probabilità composte possiamo scrivere:

P(A_r|E) = P(E∩A_r) / P(E) = P(E|A_r).P(A_r) / P(E)

Inoltre, E ⊆ ⋃_rA_r, e quindi:

E = E∩⋃_rA_r = ⋃_r(E∩A_r)

Ora dobbiamo notare che se gli A_r sono incompatibili, allora E∩A_r sono incompatibili.

Per la LEGGE DELLE PROBABILITÀ TOTALI, otteniamo

P(E) = P(⋃_r(E∩A_r)) = ∑_r=1ⁿP(E∩A_r) =

L.P.C.: ∑_r=1ⁿP(E|A_r).P(A_r)

L.P.T.: P(A↑B) = P(A)+P(B)-P(A∩B) se A⊓B = A∩B=0

L.P.C.: P(A|B) = P(A∩B) / P(B) → P(A∩B) = P(A).P(B) & A⊓B

P(A∩B) = P(A).P(B|A) & A⊋B

P(A)=P(B).P(A|B)

DIS. BOOLE: A_r succ. di eventi P(⋃_r=1ⁿA_r) ≤ ∑_r=1ⁿ P(A_r)

☀ se l'intersezione ≠0

⊕ se di eventi sono incompatibili

DISUGUAGLIANZA di BOOLE

TEOREMA: Per una successione finita o numerabile di eventi {A_r}, r = 1, 2,..., n si ha:

P(∪_r=1ⁿ A_r) ≤ ∑_r=1ⁿ P(A_r)

DIMOSTRAZIONE: Introduciamo una successione ausiliaria di eventi

F_r = A_r \ ∪_k=1^r-1 A_k, r = 1, 2,..., n

e procediamo per induzione nel dimostrare che

∪_r=1ⁿ A_r = ∪_r=1ⁿ F_r

N.B. Prima di proseguire ricordiamo il principio di induzione: Sia A_k dipendente da un indice k ∈ N. Una affermazione vera per k=1 e supponiamo che ciò è vero per un certo k=n. Se è vero anche per k=n+1, allora A_k è vero per ogni k ∈ N.

Sarà utile ricordare la relazione A \ B = A ∩ B^c dove B^c = B̅ e̅ il complementare di B.

Si vede subito che F₁ = A₁. Per costruzione, supponiamo che sia vero per n-1 e verifichiamo per n.

Si ottiene.

∪_r=1ⁿ F_r = (∪_r=1^n-1 F_r) ∪ F_n

[per ip.] = (∪_r=1^n-1 A_r) ∪ F_n

= (∪_r=1^n-1 A_r) ∪ (A_n