Probabilità e statistica - Argomenti fondamentali orale [+formulario]

Formula di Bayes

Legge delle probabilità composte a più alternative

Mette in relazione un evento E (che possiamo identificare come un effetto), con altri eventi che possiamo considerare come le cause.

Ci chiediamo quanto uno dei vari eventi intervenga nel determinare E, e quindi quale cause partecipi maggiormente nel determinare un effetto.

Teorema

Dati un evento E ed un insieme finito o numerabile di eventi incompatibili A_r (r = 1, 2,…, n, se E ⊂ ∪ A_r e P(E) ≠ 0, si ha:

1. P(A_r|E) = P(E|A_r)·P(A_r) / ∑_r=1ⁿ P(A_i)·P(E|A_i)

Dimostrazione

Per la legge delle probabilità composte possiamo scrivere:

1. P(A|E) = P(E ∩ A_r) / P(E) = P(E|A_r)·P(A_r) / P(E)

Inoltre E ⊂ (∪ A_r) e quindi

E = E ∩ (∪ A_r) = ∪ (E ∩ A_r)

Ora dobbiamo notare che le π di A_r sono incompatibili, allora E ∩ A_r sono incompatibili.

Per la legge delle probabilità totali, otteniamo

1. P(E) = P(∪_r=1ⁿ(E ∩ A_r)) = ∑_r=1ⁿ P(E ∩ A_r) = ∑_r=1ⁿ P(E|A_r)·P(A_r)

L.P.T.: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) se A ∩ B = A ∩ B = 0

L.P.C.: P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) → P(A ∩ B) = P(A)·P(B) se A, B

∩ P(A ∩ B) = P(D)·P(B|A) se A ∉ B

Diss. Boole: Ai succ. di eventi P(∪_r=1ⁿ A_r) ≤ ∑_r=1ⁿ P(A_r)

• Se l'intersezione ≠ 0
• Se di eventi sono incompatibili

DISUGUAGLIANZA di BOOLE

TEOREMA:

Per una successione finita o numerabile di eventi \( \{A_r\}, r=1,2,...n \) si ha:

\[ P\left(\bigcup_{r=1}^{n} A_r\right) \leq \sum_{r=1}^{n} P(A_r) \]

DIMOSTRAZIONE:

Introduciamo una successione arbitraria di eventi

\( F_r = A_r \setminus \bigcup_{k=1}^{r-1} A_k, \qquad r=1,2,...n \) [sottrazione]

e procediamo per induzione nel dimostrare che

\( \bigcup_{r=1}^{n} A_r = \bigcup_{r=1}^{n} F_r. \)

N.B. Prima di proseguire ricordiamo il principio di induzione:

Sia \( A_k \) dipendente da un indice \( k \in \mathbb{N} \) una affermazione vera per \( k=1 \) e supponiamo che sia vera per un certo \( k=n \). Se è vera anche per \( k=n+1 \), allora \( A_k \) è vera per ogni \( k \in \mathbb{N} \).

Sarà utile ricordare la relazione \( A \setminus B = A \cap B^c \) dove \( B^c = \bar{0} \) è il complementare di \( B \).

Si vede subito che \( A_1 = F_1 \) per costruzione, supponiamo che \( \bigcup_{r=1}^{n} A_r = \bigcup_{r=1}^{n} F_r \) sia vera per \( n-1 \) e verifichiamo per \( n \).

Si ottiene:

\( \bigcup_{r=1}^{n} F_r = \left(\bigcup_{r=1}^{n-1} F_r\right) \cup F_n \)

[per \( nf \)] \( = \left(\bigcup_{r=1}^{n-1} A_r\right) \cup F_n \)

\( = \left(\bigcup_{r=1}^{n-1} A_r\right) \cup \left(A_n \setminus \bigcup_{k=1}^{n-1} A_k\right) \) [per definizione]

\( = \left(\bigcup_{r=1}^{n-1} A_r\right) \cup (A_n \cap \left(\bigcup_{k=1}^{n-1} A_k\right)^c) \)

\( = \left(\bigcup_{r=1}^{n-1} A_r\right) \cap \left(\bigcup_{r=1}^{n} A_n\right) \)

\( = \bigcup_{r=1}^{n} A_r \)

Abbiamo quindi dimostrato che \( \bigcup_{r=1}^{n} A_r = \bigcup_{r=1}^{n} F_r, \) la scelta delle successione \( F_r \) non è stata autonoma, gli insiemi di tale unione sono a due a due disgiunti.

Possiamo allora scrivere:

\[ P\left(\bigcup_{r=1}^{n} A_r\right) = P\left(\bigcup_{r=1}^{n} F_r\right) \] [appena dimostrato]

\[ = \sum_{r=1}^{n} P(F_r) \] [per la additività di P, in assioma di Kolmogorov]

\[ \leq \sum_{r=1}^{n} P(A_r) \]

dove si è utilizzato il fatto che \( P(F_r) \leq P(A_r) \) tenendo a termini. (segui dedx del dx di FR).

⊗ se l’intersezione ≠ 0

⊗ se ev. incompatibili

Metodo di stima per intervalli

Preso un campione x ∈ ℝⁿ per ottenere una stima Θ di un parametro θ, posso costruire degli intervalli per Θ se conosco la legge di distribuzione dello stimatore f(Θ).

Dalla relazione

P(Θ_s ≤ Θ ≤ Θ_1-α) = ∫_Θs^Θ_1-α f_(θ^{^})(ω)dω = 1-α

Funzione dei dati campionari: Θ = d(x₁,x₂)

Standardizzando secondo una trasformazione G

P(G(Θ_s) ≤ G(Θ) ≤ G(Θ_1-α)) = 1-α

dove IC(α) = d_1-α/2 è l'intervallo di confidenza e d è un numero, un parametro

G(θ) = d_1-α/2, G(Θ) = d_1-α/2 sono i percentili della f_G(Θ) che si possono individuare attraverso le tavole dei percentili.

Ricavo: P(G^-1(d_α/2) ≤ Θ ≤ G^-1(d_1-α/2)) = 1-α

Variabile Aleatorie Discrete

Una variabile aleatoria si dice discreta se assume valori discreti.

Se X dico va discreta, definiamo lo spettro di X, cioè l'insieme dei valori che una variabile aleatoria può assumere.

• X è discreto → Spett(X) ≠ numerabile (i non vuoti dietro lo spettro non può assumere valori non interi)
• X → Spett(X) ≠ numerabile, X={x1, x2, ...} tale che Spet(X) = {x1, x2, ... xk}, y ∈
• può esistere una succione che può rappresentare Spet(X) perché è numeribile.
• Una succ può rappresentare N ({2r=Pk, k ∈ I} insieme di indici che caratterizza X.con la quale si distribuiscono tali valori.In particolare pk = P(X=xk), k ∈ I → se X ha una successione di valori anche x unouna succione di probabilità.

N.B. le conosci {xk, pk} con k ∈ I anche conosco tutto di X, ovvero la succione delle coppie

1. Le funzione dilpatczione è dei- finite.

Fx(x2)= P(X≤x2)= Σpk           pk = {P(X=xk), xk ∈ Spett(x)                                                    0                                            aial timenti}

CONDIZIONI: NECEsAm esuffieili &uiouso? pi^ aut ≠ dininto discreta

deto Tac succione pr('questo' pil^ ’li une delina di probabilità, ciocè pu^o‘ eeteuna succione di probabilità sotlno Sc ≠ lin Σpki 0

OSI sia X k ^ck successione di a Ber(p), p ∈ 0, c1 indipendenti →