Probabilità e statistica

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Author: user.k

Revisionato il 30/05/2026

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Appunti chiari e dettagliati dell'intero di probabilità e statistica.Alcuni degli argomenti trattati sono la legge delle distribuzioni totali, composte, boole, variabili aleatorie …

Esame Probabilità e statistica

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. D'Ovidio Mirko

Università Università degli Studi di Roma La Sapienza

A.A. 2019-2020

80 pagine

Appunto

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Estratto del documento

Estrazioni e formazione del campione

Molti fenomeni reali possono essere approssimati a schemi più semplici. Problemi reali → Riconducibilità a schemi semplici: albero/urna, o anche scatole (estrazioni). Supponiamo di avere una scatola S da cui vogliamo estrarre singolarmente P palline (il modo di riempire le scatole).

Estrazione no reimmissione

Se estraggo P palline, per la seconda estrazione la scatola non sarà più la stessa. P(N₁) ≠ P(N₂), quindi la probabilità di estrarre una pallina nera alla prima estrazione non è uguale alla probabilità di estrarre una pallina nera nelle seconde estrazione. P(N₁ N₂) = P(N₁) P(N₂|N₁) vuol dire ≠ quindi moltiplicazione. Sapendo di avere 4 nere estratto 1^a nera alla prima estrazione 3 nere (scatola diversa). No reimmissione (sto caratterizzando) Estrazione = In blocco Vuol dire estrarre più volte da equivalente al riempimento.

Campione (scatola tattica)

No reimmissione = No ripetizioni (sto caratterizzando). Formazione del campione.

Estrazione con reimmissione

Si reimmissione (estrazione). Si ripetizione (formazione campione). P(C₁ N₂) = P(C_n) P(N₁). Per effetto dell'indipendenza, il prodotto della frequenza di estrazione che sto considerando (la scatola non cambia). L'effetto dell'indipendenza implica che la probabilità di intersezione è uguale al prodotto delle probabilità.

Esercizio 13: Compagnia assicurazioni

Premio gestito in relazione alla probabilità che una persona:

Popolazione P₁ → persone proprie degli incidenti
Popolazione P₂ → persone non proprie
P₂ = P₁ + P₂

Trova P₁ il 60% realizzo un evento A (A: ho mi incidento entro l'anno). Trova P₂ il 20%. Note: P₃ sono 30% di P.

Estrazioni e formazione del campione

Molti fenomeni reali possono essere ricondotti a schemi più semplici. Problemi reali - Ricondicibilità a schemi semplici: gioco, albero, o anche scatole (estrazioni).

Scatola

Supponiamo di avere una scatola da cui vogliamo estrarre qualcosa (palline) in modo da riempire le caselle.

Estrazione no ripetizione

Se estraggo la prima, per la seconda estrazione la scatola non sarà più la stessa. P(N₁, N₂) ≠ P(N₂), quindi la probabilità di estrarre una pallina nera alla prima estrazione non è uguale alla probabilità di estrarre una pallina nera alla seconda estrazione. P(N₁, N₂) = P(N₁). P(N₂ | N₁) vuol dire cioè quindi moltiplicazione. Sapendo di avere estratto una p. nera alla prima estrazione (scatola diversa). No ripetizione (sto accettando di estrarre) definizione di campione. Vuol dire estrarre una sola volta da equivalenti a esperimento.

Estrazione con ripetizione

Si reimmissione, si può estrarre la stessa pallina più volte. Si denomina come estrazione si ripetitore (formazione campione). P(N₁, N₂) = P(N₁) . P(N₂) per effetti dell'indipendenza. Effetto dell'indipendenza implica che la probabilità di interazione si evolva al prodotto delle probabilità.

Esercizio 13: Compagnia assicurazioni

Premio gestito in relazione alla probabilità che un perdelo:

P₁ - Popolazione addetti alle riscoperte/agli incidenti
P₁: persone proprie agli incidenti
P₂: non propense

Trovo il 10% realizza un evento A (A: ho mai incidentato entro l'anno). Trovo P₁ 20%. Teorema 3.7 hanno 30% di P.

P(P₂ ∩ P₃ ∩ P₅) = ∅ P(P₂ ∩ P₃) = ∅... che insieme sono disgiunti. P(P₂) + P(P₃) = 30% + 70%. P(P₂) = 1. P(P₂) + P(P₃) = 11. P(P(U)) = P P(P₂) = 30% + 70% proporzione lo scatola = 30% + 70%.

P(A|P₁) = 40% ⇒ P(A|P₂) = 20%

P(A) = P(A|P)P (A ∩ B ∩ C ∩ P(A ∩ B ∩ C ∩))

P(A) = P(A|P)1/10 P(A) = P(A)2+P(A) = P(A|P₂)P₂)

Disuguaglianza di Boole (Teorema 2) - Argomento fondamentale

Enunciato: Per una successione finita o infinita numerabile di eventi {A_r}, r=1,2,... si ha: P(∪ ...

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