Probabilità e statistica

Estrazione e formazione del campione

Noti fenomeni reali possono essere assimilati a schemi più semplici.

Problemi reali → Riconducibili a schemi semplici: Urnen/Ruba o chiami scatole (estrazioni).

Supponiamo di avere una scatola S da cui vogliamo estrarre qualcosa. L’urna è il modo di raggruppare le cause.

• Estrazione no reimmissione

Se estraggo un pallino per la seconda estrazione la scatola non avrà più lo stesso.

P(N₁,N₂) ≠ P(N₂) quindi la probabilità di estrarre un pallino nero alla prima estrazione è diversa dalla probabilità di estrarre un pallino nero alla seconda estrazione.

Vuol dire ⋅ e quindi moltiplicazione

Sapendo di avere estratto uno al nero dopo primo estrazione (scatola diversa).

• No reimmissione = IN BLOCCO

Vuol dire estrarre: uno alla volta de' è equivalente ad estrarre contemporaneamente.

Campione (scatola d’urna)

• No reimmissione = NO RIPETIZIONI (sta considerando l’estrazione — formazione del campione).

• Estrazione con reimmissione

Si reimmissione o posso estrarre lo stesso pallino più volte.

Si determina (estrazione - formazione campione) - SI RIPETIZIONE.

per effetto dell’indipendenza

INNDEPENDENZA prodotto del tipo di estrazione che sto considerando (lo scatola non cambia per l'inizio accettazioni).

L'effetto di indipendenza implica che la probabilità di intersezione è uguale al prodotto delle probabilità.

Esercizio 13

• Compagnia assicurazioni

Premio distribuito - relazione sulla probabilità che uno perda;

P - popolazioneP₂: propronie popolazione (luinclusecatori)

P₁: proporione propronie i.e. inutile.

P₂: non propronie i.e.

Tra T 10% realizza un evento A [(A) “ho mai inutile eccetto T amio”].

Tra il 20% Z.C W

Inoltre: P₃ sono 30% di T.

P(A ∩ B) = ø

P(P₁) + P(P₂) + P(P₃) = 1

P(A ∩ P₂) + P(A ∩ P₃) = 1

1. P(B₁)

• P(B₁) = P(B₁ U B₂ U B₃)

L.P.T incomp.

= P(B₁) + P(B₂) + P(B₃)

= 30% + 70%

P(CAP) = P(|CAP| ∩ P₁)

= (C ∩ P₁) + 20%

2) probabilitá che una persona che appartiene ad uno incluso entro il primo anno sia propensa?

P(A₁) = P(CAP₁)

P(A ∩ B) = P(A ∩ B) + P(A ∪ B)

P(CAP) ∩ P(A ∩ B)

proprietá della somma delle probabilitá

L.P.C

= P(A₁) ∩ P(P₂) ∩ P(P₃) / P(A)

= 10 / 10

= 1

in esso l'utilizzeremo almeno una volta in queste cose

intersezione col l'evento certo

Leggi alle probabilitá comp.

= 4 / 10

= P(A₁ | C)

esempio: U = {a,b,c} |U| = n

k = 3, n = 3:

• C_3,3 = 1: ➝ C_3,3 = { [a,b,c] }
• C_3,2 = 3:

• _3,1
• 3
• 3
• 1,21

• C_2,2 = 1 ➝ C_2,3 = { [a,b] , [a,c] , [b,c] }
• C_3,1 = 3:

• C_2,1 = 2:
• { [a] }
• { [b] }
• { [c] }

ESERCIZIO 20

• Tiro letterina: ➝ 4 buste ➝ alcune da associare a ogni buste-lettera
• P(associazione giusta) = ?

• lettere (dato)
• buste (ordine corretto)

# casi favorevoli

• imp. classica:
• casi possibili

P(casi giusta) = 1%

• ¹/_4!
• = 1/n!

ESERCIZIO 14: URNA

ESERCIZIO 15:

• URN : Estraggo due palline
• ESTRAZIONE CON RIPETIZIONE (con reinserimento)
• 5 palline rosse
• 5 palline nere

1. P(1 pallina rossa) = 1 (P_{cui n. rossa})
2. P(1 rossa)
3. P(1 pallina nera)

Esempio

Lancio moneta regolare, 5 volte

Vince 1 € ottengo TESTA

• P(Vince 2 €)
• P(Vince almeno 2 €)

Prove ripetute indipendenti

1. Schema (legato alle LEGGE BINOMIALE)

esattamente 2 €

1. P(vincere 2 €)

= P(TT)

quindi

= P(T∩T∩∁∩∁∩∁)

₅C₂ P(T) P(T) P(∁) P(∁) P(∁)

= ⁵C₂ (1/2)² (1/2)³ = ⁵C₂ / 2⁵

1. P(vinco almeno 2 €)

=1 - P(0) - P(1)

Scelgo questo modo

Avrei anche poter calcolare in questo modo

P(vincere k euro)

= ⁵C_k (1/2)^k (1/2)^5-k

k volte TESTA

N.B. T = Successo

"LEGGE BINOMIALE"

applicabile a tutti gli eventi DICOTOMICI

Esercizio 115

Una fabbrica che produce suoni in due linee di produzione:

• Linea A: produce 30% dei prodotti tot
• Linea B: produce 70% dei prodotti tot

D: "sensore difettoso"?

P(D) = P(D|A)P(A) + P(D|B)P(B)

P(A) = 30%

P(B) = 70%

P(D|A) = 15%

P(D|B) = 12%

P(D) = ?

Calcolare:

1. Probabilità che la scatola proviene da A?
2. P(C(k su 10 sono D|A)P(A)) / P(C(k su 10 sono D))
3. P(C(k su 10 sono D|B)P(B)) / P(C(k su 10 sono D))

C(k su 10|A) = (10 su k) (p_a)^k (1-p_a)^10-k

C(k su 10|B) = (10 su k) (p_b)^k (1-p_b)^10-k

0 ≤ k ≤ 10

1. v.a. Binomiale

X ~ Bin(Θ) Θ = (n, p) n ∈ ℕ, p ∈ [0, 1]

spec(X) = {0, 1, ..., n}

I_spec(X) = n + 1

pk = (n k) p^k (1-p)^n-k k ∈ I_X

2. v.a. Ipergeometrica

X ~ Iperd(Θ) Θ = (N, M1, M2) ∈ ℕ⁺

P_m1,m2 = (N₁ m₁) (N₂ m₂) / (Mm)

dove N= N₁ + N₂, m= m₁ + m₂

p_k,mk = [(k k) (N-k n-k)] / (N n)

3. v.a. Poisson

X ~ Pois(Θ) Θ = λ > 0

spec(X) = ℕ₀ = ℕ ∪ {0}

pk = [λ^k e^-λ] / k!

Variabile Aleatoria Geometrica

X ~ Geo(p) p ∈ [0, 1]

X = "istante di primo successo" = prima di primo successo

p(x=k) = [p(1-p)^k-1] k ∈ ℕ

Variabile uniforme continua

X ∼ Unif ()

X ∼ _a,b()

• X = a₀
• X = a₁
• X = a_n

f_X = ...

Funzione indicatrice

• X ∈ (a,b)
• [a₁()]_[0,2]() = 0
• Supp(f_X) = (a,b) = Supp(X)

C.N.S:

1. f_X ≥ 0
2. ∫_R f_X(x) dx = 1

Variabile aleatoria esponenziale

X ∼ Exp()

• θ > λ > 0
• f_X = θe^−λx x ∈ R

C.N.S:

1. f_X ≥ 0
2. ∫_R λe^−λx _(0,+∞)() dx = 1

Variabile aleatoria gamma

X ∼ Gamma(θ)

• θ = (λ,ν) λ>0, ν>0
• f_X(x) x ∈ R
• f_X(x|λ,ν)
• x ∈ (0,∞)
• α ∈ R
• Γ(u)