Probabilità e statistica

Indice ………………………………..…….…….1

I B

NTRODUZIONE DEI CONCETTI ASE

…………………………………………..…….…….2

S TATISTICA DESCRITTIVA

……………………………………………………..…26

V ARIABILE ALEATORIA ………………………………………………………30

V

ARIABILE ALEATORIA DISCRETA ……………………….………………….…….....…35

V

ARIABILE ALEATORIA CONTINUA ………………..……………………………..……36

F

UNZIONE DENSITÀ DI PROBABILITÀ …………………….…………………..……50

V

ARIABILE ALEATORIA DI TIPO UNIFORME ………….…………...……51

V

ARIABILE ALEATORIA DI TIPO UNIFORME GENERALIZZATO

………….…………........................................……53

V

ARIABILE ALEATORIA GAUSSIANA

………….…………........................................……58

F

UNZIONI DI VARIABILI ALEATORIE

………….…………..........................................……63

T RASFORMAZIONE DI TIPO AFFINE ………….…………………………………....……75

V

ARIABILI ALEATORIE VETTORIALI ………….………………………………...….…103

V

ARIABILI ALEATORIE INDIPENDENTI ………….………….....….114

V

ARIABILE ALEATORIA VETTORIALE MULTIDIMENSIONALE

………….……………..……115

T RASFORMAZIONI DI VARIABILI ALEATORIE VETTORIALI

………….………………………………....……122

V -

ARIABILE ALEATORIA CHI QUADRO ………….………………………………...……124

V T

ARIABILE ALEATORIA DI STUDENT ………….…………................................…….126

V F

ARIABILE ALEATORIA DI TIPO ISHER

Introduzione dei concetti base

Ciò che affronteremo si baserà su due concetti di base, due fattori fondamentali su cui andremo a

lavorare e che andremo a caratterizzare nel modo più esaustivo possibile.

Il primo concetto fondamentale è quello di popolazione: quando andiamo ad affrontare un’osserva-

zione di un dato problema la popolazione rappresenta l’insieme di tutte le possibili osservazioni (di-

mensioni N).

Alcuni tipi di popolazioni sono:

• Misure sperimentali, in linea di principio infinite, che possono essere effettuate durante l’os-

servazione di un dato problema.

Il fatto che possano essere infinite è legato al fatto che teoricamente potremo ripetere nume-

rose volte, in maniera continuativa, le stesse misure sperimentali su un determinato processo.

In questo caso abbiamo visto un esempio di una popolazione di dimensioni infinite.

• Lancio dei dadi: è un processo che effettivamente restituisce in genere risultati diversi, la po-

polazione dei possibili lanci di dado che possiamo effettuare è in linea di principio di dimen-

sioni infinite.

• Risultati delle elezioni politiche in un paese: in questo caso si ha a che fare con una popola-

zione finita ma in genere molto grande, ciascun elemento della popolazione ha in genere esiti

diversi (qualcuno avrà votato un partito piuttosto che un altro) e pertanto esisterà un’etero-

geneità presente nella popolazione dei risultati delle elezioni politiche.

In genere ogni elemento della popolazione ha un valore diverso.

Il secondo concetto fondamentale è quello di campione: insieme dei valori osservati, è pertanto un

sottoinsieme della popolazione.

La dimensione del campione n è il numero dei valori che sono effettivamente osservati, in genere:

≪

Esempi di campione sono:

• Numero finito di prove sperimentali che si è, nella realtà, effettuato: non si può nella realtà

eseguire un numero infinito di prove sperimentali, ciò a cui abbiamo accesso è un sottoin-

sieme della potenziale popolazione di tutte le possibili osservazioni sperimentali.

Il campione è in genere costituito da un insieme finito, può essere sia grande che piccolo.

• Proiezioni dei risultati elettorali ottenute grazie si cosiddetti “exit poll” (sondaggi di opinione):

gli exit poll rappresentano delle proiezioni che si fanno in merito al risultato elettorale e si

effettuano consultando un numero limitato di persone prima dei risultati elettorali, in modo

da avere subito una stima di come andranno a finire le elezioni.

In sostanza il campione è un sottoinsieme della popolazione, è quella parte di popolazione che noi

possiamo osservare, e la popolazione è l’oggetto che ha generato il campione.

In genere non è possibile conoscere tutta la popolazione, questo perché solitamente è costituita da

un insieme infinito (es. misure sperimentali).

Nel caso delle elezioni politiche, se volessimo già avere un’idea di quelle che saranno le proiezioni

dovremmo aspettare ore, inizialmente non si avrebbe un numero sufficiente di campioni.

Conoscere la popolazione non ha comunque senso applicativo, se per esempio consideriamo i crash

test delle vetture abbiamo che una vettura dopo essere stata sottoposta alla misura, cioè al crash test,

non è più utilizzabile.

Questo comporta il fatto che una casa automobilistica deve fare una selezione su un numero molto

limitato di vetture, sperando che rappresentino al meglio la popolazione delle vetture che poi an-

dranno ad essere commercializzate. 1

Andiamo a dare una rappresentazione grafica della popolazione e del campione.

Supponiamo che la popolazione sia l’ovale blu, rappresentativo di tutte le possibili osservazioni del

processo affetto da casualità che stiamo prendendo in considerazione, e ciò che stiamo facendo è

estrarre un sottoinsieme (campione) dalla popolazione per mezzo di una campagna sperimentale.

Il campione può darci idea di quella che è la popolazione che lo ha generato, ciò che vogliamo fare noi

è tentare di tornare indietro dal campione alla popolazione, ossia a partire dallo studio del campione

che abbiamo a disposizione vogliamo sviluppare degli algoritmi e degli strumenti analitici che permet-

tano di ottenere informazioni sulla popolazione che lo ha generato.

Quanto appena detto si fa sfruttando l’inferenza statistica.

Inferenza

statistica Popolazione

Campione

Caratterizzazione: Caratterizzazione:

Campagna sperimentale:

statistica descrittiva teoria della probabi-

lità e statistica

Processo induttivo

La caratterizzazione del campione si fa mediante la statistica descrittiva, mentre la caratterizzazione

della popolazione si fa mediante la teoria della probabilità e statistica.

Statistica descrittiva

Quando si parla di errore nella misura sperimentale non bisogna intenderlo come uno sbaglio macro-

scopico che è stato compiuto per via di inefficienze, infatti per quanto una misura sperimentale possa

essere precisa non può essere completamente priva di incertezze.

Esistono numerose sorgenti di errore che portano a possibili deviazioni dal valore vero:

• Lo strumento di misura che si utilizza ha una precisione finita.

• Errori umani di misura.

• Altro

Da quanto detto è chiaro che nessuna grandezza fisica può essere misurata con assoluta certezza,

qualunque sia lo strumento di misura utilizzato.

Un altro concetto molto importante per poter definire l’errore sperimentale è quello di esperienza

replicabile: un esperimento si dice replicabile se è possibile ripeterlo più volte nelle stesse identiche

condizioni.

Se per esempio stiamo eseguendo una misura di viscosità su un determinato polimero, possiamo ri-

petere la stessa identica misura nelle stesse identiche condizioni (T, P, composizione, ecc) volta dopo

volta.

In presenza di esperimenti replicabili, le misure ottenute non sono generalmente uguali per effetto

dell’errore nella misura.

Esiste sempre una piccola deviazione dal valore vero che non può essere assolutamente controllata,

a volte può essere un numero piccolo che non desta preoccupazione o difficoltà nell’interpretazione

2

del risultato e a volte può essere un numero più importante che fa si che sia necessario attuare un’ana-

lisi più dettagliata.

A titolo di esempio consideriamo un esempio di misura sperimentale, in particolare la misura della

viscosità mediante un viscosimetro di Hoppler (fatto in casa): Si tratta di un tubo riempito di un

fluido di cui si vuole misurare la visco-

sità e di cui risulta essere nota la den-

sità, in genere il tubo è immerso in un

bagno termostatato che garantisce

che il fluido rimanga alla temperatura

stabilita.

Si inserisce una sfera di densità e rag-

gio noto e si cronometra il tempo di

discesa della sfera lungo la lunghezza

L.

I viscosimetri di Hoppler professionali sono molto costosi ma offrono elevatissima precisione, noi

stiamo considerando un viscosimetro fatto in casa, quindi sarà l’osservatore a dover cronometrare la

discesa della sfera. ∆

Da tempo di caduta della sfera si può ricavare la viscosità dinamica del fluido come:

: densità della sfera.

′

′ : densità della sfera.

( )∆

= − : costante strumentale.

∆: costante strumentale.

Supponiamo di eseguire una misura di viscosità del kerosene e di ottenere 1.45 cp, ovviamente sa-

rebbe scorretto affermare che questo è il valore vero della densità del kerosene, infatti andando ad

eseguire un’ulteriore misura sullo stesso liquido e nelle stesse condizioni sperimentali potremmo ot-

tenere un risultato pari a 1.42 cp.

Ogni volta che eseguiamo una misura ci esponiamo a tutta una serie di fenomeni che intervengono

nella misura e che non possono essere controllati, in questo caso specifico tali fenomeni potrebbero

essere:

• Tempo di riflesso dell’operatore.

• Fluttuazioni del liquido all’interno del tubo.

• Pareti del tubo non perfette: magari le pareti sono caratterizzate da rigature o scabrezza che

influiscono sul moto della sfera.

• Fluttuazioni di temperatura, quindi di densità, nel liquido per via di una cattiva coibentazione

della camicia termostatata.

• Altro.

Notiamo dunque che sono presenti numerose sorgenti che possono portare a perturbazioni del pro-

cesso che stiamo prendendo in considerazione, il che implica che per quanto si possa essere meticolosi

nell’eseguire una misura sperimentale, due esperienze replicabili portano sempre a risultati differenti.

3

Supponiamo di ripetere l’esperienza per 20 volte nelle stesse condizioni, i risultati che si potrebbero

ottenere sono: notiamo che in genere non osserviamo mai lo stesso

valore ripetuto.

È bene evidenziare che nessuno dei valori misurati è

del il valore vero della viscosità del kerosene, ciascun

misurata Kerosene valore infatti rappresenterà una piccola o grande

deviazione dal valore vero della viscosità del kero-

Viscosità sene.

Prove sperimentali

Riportando tutti i punti sulla stessa ordinata possiamo iniziare ad apprezzare alcuni aspetti:

la maggior parte dei risultati tra 1.35

e 1.45 e man mano che ci allonta-

niamo da questo trend centrale il ve-

rificarsi dei risultati diventa sempre

più raro.

Esiste dunque una dispersione dei

punti sperimentali che già ci può dare

un’informazione sulla precisione con

cui si sta lavorando.

Andiamo a vedere come prendere questo campione di dimensione n=20 di misure sperimentali effet-

tuate sulla viscosità del kerosene e caratterizzarlo in maniera il più esaustiva possibile, in modo da

cominciare ad avere qualche idea di quelle che risultano essere le informazioni pertinenti alla popola-

zione che lo ha generato.

La popolazione che ha generato questo campione di dati è rappresentata dalle infinite misure di vi-

scosità che in linea di principio era possibile effettuare sul kerosene.

Definiamo con frequenza assoluta il numero di volte che una misura assume valori compresi in un

certo intervallo di valori (classe). ∆ = 0.05:

Consideriamo una classe dei segmentini di spessore tra gli elementi che assumono valori

compresi tra 1.20 e 1.25 ricade un solo

punto sperimentale, nel segmento

compreso tra 1.25 e 1.30 ricade un solo

punto sperimentale, e così via.

Notiamo che per valori minori di 1.35 e

maggiori di 1.50 i punti iniziano a dira-

darsi.

In conclusione, possiamo associare a

ciascuna di queste classi di spessore

0.05 il numero di volte che è stato os-

servato un risultato sperimentale in quella determinata classe.

4

Per eseguire il diagramma delle frequenze assolute dobbiamo riportare in un istogramma il numero

di volte che una prova sta assumendo un certo valore: per la classe tra 1.20 e 1.25 ci sarà un ba-

stoncino di altezza 1, la stessa cosa per la

classe tra 1.25 e 1.30 e così via.

Questa rappresentazione inizia a diventare

rappresentativa del nostro campione e

prende il nome di frequenza assoluta del

valore y del campione dei dati.

Quello che possiamo fare è considerare i valori che abbiamo ottenuto per ciascuna classe (es. 1, 1, 0,

7, …) e dividerli per il numero di misure sperimentali n (per noi n=20), ottenendo la frequenza relativa.

La frequenza relativa rappresenta la frazione di dati sperimentali che assumono valori in un dato in-

∆.

tervallo le frequenze relative assumono valori

7 minori o al massimo uguali ad 1 se

5

20 tutti i punti sperimentali ricadono

4 20 all’interno di una certa classe; la

20 somma delle frequenze relative deve

2 essere sempre pari a 1.

1

1 20 ≤ 1

20

20

∑ = 1

Un altro modo di rappresentare la distribuzione del campione con le frequenze relative è utilizzare la

densità di frequenza relativa, definita come: : densità di frequenza relativa.

: frequenza relativa.

=

∆ ∆: ampiezza della classe.

Per risalire alla percentuale di elementi appartenenti ad una data classe è necessario calcolare l’area

sottesa dal rettangolo: per esempio l’area evidenziata in

rosso rappresenta la percentuale di

elementi che appartengono alla

classe compresa tra 1.35 e 1.40.

∆

Nel nostro caso il era pari a 0.05.

Da sottolineare che:

∑ ∆ = 1

5

Una cosa che potremmo voler calcolare è la frequenza cumulativa: frazione dei dati sperimentali che

assumono valori inferiori ad un certo valore.

Per ogni valore di y andiamo ad associare la somma di tutte le frequenze relative corrispondenti ai

valori dei campioni più piccoli o uguali ad y, ossia andiamo ad associare la percentuale di elementi che

assumono valori minori o uguali al valore attuale di y.

Nel caso specifico: 7 5

20 20

4

20 2

20

1

1 20

20

Vediamo che non è presente alcun elemento nella classe compresa tra 1.15 e 1.20, quindi nella nostra

frequenza cumulativa la percentuale di elementi che hanno valore inferiore alla classe 1.15-1.20 è pari

a zero.

Tra 1.20 e 1.25 abbiamo un punto sperimentale e pertanto nella frequenza cumulativa, in corrispon-

denza della classe tra 1.15 e 1.20, si avrà un piccolo salto pari alla percentuale di elementi che appar-

tengono a classi minori o uguali alla classe 1.20-1.25.

Tra 1.25 e 1.30 c’è un ulteriore elemento per cui nella frequenza cumulativa sarà presente un ulteriore

1 2

salto che porterà da a .

20 20

Tra 1.30 e 1.35 non sono presenti elementi e pertanto la funzione cumulativa continuerà piatta.

7

Nella classe tra 1.35 e 1.40 si ha un salto di e di conseguenza nella funzione cumulativa arriveremo

20

9

a .

20

Continuando con questo ragionamento alla fine andiamo ad ottenere una spezzata che parte da 0,

ossia la classe più in basso, e arriva ad 1 quando andiamo ad includere tutti gli elementi appartenenti

al nostro campione.

In questo modo abbiamo la possibilità di rappresentare il nostro campione di dati sperimentali, no-

tando come la funzione cumulativa è una funzione a gradini crescente che parte da 0 e arriva a 1.

L’utilità della funzione cumulativa sta nel fatto che ci permette di valutare la frazione di esperimenti

che sono presenti tra più classi, per esempio se vogliamo conoscere la frazione degli esperimenti che

hanno valore compreso tra 1.25 e 1.45 dobbiamo calcolare la frazione di punti che assumono valori

minori di 1.45 e andiamo a sottrarre la frazione di punti che assumono valore inferiore a 1.25.

6 Il valo