Probabilità

E

p

-dove è la sua frequenza

F

-dove è una costante qualsiasi > 0

La probabilità e la frequenza, però, non sono la stessa cosa.

Esempio 502

Se lanciamo una moneta 1000 volte e otteniamo testa in 502 casi, la frequenza relativa è = 0.502.

1000

Secondo la legge dei grandi numeri, questa frequenza tenderà a 0.5 al crexcere del numero di lanci.

Vantaggi

-si applica a situazioni empiriche, come esperimenti ripetuti nel tempo;

-è utilizzata nelle scienze naturali e nelle statistiche.

Limiti

-non è applicabile a eventi unici, come il risultato di un’elezione o la probabilità che domani piova;

-richiede un numero elevato di prove per ottenere risultati affidabili.

Definizione assiomatica della probabilità

Secondo questa definizione, la probabilità è definita dai suoi assiomi, ovvero dalle regole che ne determinano il

funzionamento.

Assiomi:

Definizione soggettiva della probabilità

Secondo questa definizione, la probabilità di un evento E è la misura del grado di fiducia che un individuo coerente

attribuisce, secondo le sue informazioni, all’avverarsi di E.

Questa prospettiva è detta soggettivista perché parte dal soggetto conoscente e dalla sua valutazione dell’evento.

Un aspetto fondamentale di questa definizione è che la probabilità dipende dalle informazioni disponibili.

A seconda delle informazioni disponibili e del modo in cui vengono elaborate, si possono ottenere probabilità diverse per

lo stesso evento.

In questo approccio, dunque, la probabilità non esiste in senso assoluto, ma è sempre riferita a un individuo che valuta il

verificarsi di un evento sulla base delle informazioni che possiede.

Pertanto, il calcolo della probabilità dipende dall’insieme di conoscenze di chi effettua la valutazione.

Un altro punto chiave della definizione è la coerenza dell’individuo nel valutare la probabilità.

La scienza ha adottato principalmente l’idea che la probabilità debba tenere conto delle informazioni disponibili,

evidenziando i limiti della conoscenza umana e il ruolo dell’incertezza.

Tuttavia, la probabilità non è lasciata all’arbitrarietà individuale: esistono regole matematiche che vincolano il modo in

cui possiamo assegnare probabilità agli eventi.

Il concetto di coerenza è stato introdotto proprio per garantire che il calcolo della probabilità rispetti gli assiomi della

probabilità, impedendo contraddizioni e garantendo un metodo rigoroso per valutare l’incertezza.

Esempio

Un esempio concreto di questa interpretazione della probabilità riguarda le previsioni metereologiche.

Diversi modelli possono fornire stime di probabilità diverse per un evento, come la pioggia in una determinata area.

Ad esempio, un sistema metereologico potrebbe prevedere una probabilità del 20% di pioggia, un altro il 21%, un altro

ancora il 29%.

Tutti questi valori sono validi perché dipendono dai dati e dai metodi di analisi utilizzati.

Non esiste una probabilità assoluta, ma piuttosto variazioni diverse basate su differenti sistemi di informazioni.

La probabilità soggettiva, sebbene sia utile in molti contesti, presenta alcuni limiti importanti che è necessario

considerare:

-dipendenza dalle informazioni: poiché la probabilità soggettiva si basa sulle informazioni di un individuo, può variare da

persona a persona.

-mancanza di oggettività: a differenza della probabilità classica o frequentista, che si basa su dati empirici e

ripetizioni di un esperimento, la probabilità soggettiva può essere influenzata da bias

cognitivi, intuizioni personali o esperienze passate, rendendola meno rigorosa e più

difficile da giustificare in contesti scientifici.

Approccio bayesiano

L’approccio bayesiano è un metodo probabilistico che si basa sul teorema di Bayes e sull’idea che la probabilità di un

evento possa essere aggiornata alla luce di nuove informazioni.

Questo approccio prende il nome da Thomas Bayes, che formulò il teorema della probabilità condizionata, il quale

permette di calcolare la probabilità di un evento tenendo conto del verificarsi di un altro evento correlato.

Nell’analisi di fenomeni complessi, spesso la probabilità di un evento non è indipendente da quella di altri eventi, ma

dipende da essi.

Esempio

Nello studio del debito, la probabilità di insolvenza di un soggetto può essere influenzata da vari fattori economici, come il

livello di occupazione o i tassi d’interesse.

Per valutare correttamente questa probabilità è necessario considerare le connessioni tra più variabili e combinarle in

modo coerente.

Grazie al teorema di Bayes, possiamo aggiornare continuamente le nostre stime di probabilità man mano che otteniamo

nuove informazioni.

Nell’approccio bayesiano, la probabilità è definita come il grado di fiducia sul verificarsi di un evento.

Il suo valore si modifica rispetto ad una probabilità a priori.

Probabilità iniziale (a priori):

Prima di avere nuove informazioni, assegniamo una probabilità iniziale all’evento basandoci sulle conoscenze già

disponibili.

Nuove informazioni:

Quando otteniamo nuovi dati o osservazioni, possiamo aggiornare la probabilità dell’evento.

Probabilità aggiornata (a posteriori):

Dopo aver considerato le nuove informazioni, ricalcoliamo la probabilità, ottenendo una stima più precisa.

Se conosciamo la probabilità iniziale di un evento (evento a priori) e otteniamo nuovi dati, possiamo calcolare una

probabilità aggiornata (a posteriori) utilizzando la relazione: (|)()

(|) = ()

Dove:

-P(B | A) è la probabilità dell’evento A, dato che è avvenuto B (a posteriori);

-P(B | A) è la probabilità di osservare B se è vero A;

-P(A) è la probabilità iniziale di A (priori);

-P(B) è la probabilità di osservare B.

L’approccio bayesiano è estremamente utile in tutti quei contesti in cui è necessario aggiornare continuamente le stime

di probabilità in base a nuove evidenze

Grazie alla probabilità condizionata, ci permette di gestire la dipendenza tra variabili e di affrontare situazioni complesse

in cui più fattori evidenziano un determinato evento.

Esistono due teorie Bayesiane

-Soggettiva: la probabilità a priori viene stimata in base alla fiducia del soggetto sul verificarsi dell’evento;

-Oggettiva: la probabilità a priori viene stimata oggettivamente in base alle conoscenze sul fenomeno.

Regole della probabilità

Regola dell’addizione

La regola dell’addizione stabilisce che un numero di esiti mutualmente escludenti fra loro, la somma delle loro

probabilità sarà 1.00.

Esempio

Se si ha un insieme di 150 persone di cui 100 sono femmine e 50 maschi, la probabilità di estrarre casualmente una

femmina è 100/150, o 0.667, mentre la probabilità di estrarre un maschio è 50/150, o 0.333.

Tuttavia, la probabilità di estrarre casualmente o un maschio o una femmina è 0.667 + 0.333, o 1: in altre parole, è certo

che verrà estratto o un maschio o una femmina.

L’assunzione di tale regola è che le categorie o gli esiti sono mutualmente escludenti, e ciò significa che una persona non

può entrare contemporaneamente sia nella categoria delle femmine che in quella dei maschi: essere un maschio, infatti,

esclude dall’essere una femmina.

Nella teoria della probabilità statistica, uno dei due esiti possibili è normalmente chiamato p e l’altro q, quindi

p + q =1.00.

Regola della moltiplicazione

La regola della moltiplicazione riguarda una serie di eventi.

Essa assume che una volta che una persona è selezionata per essere inclusa in un campione, viene reinserita nella

popolazione e quindi è ancora potenzialmente selezionabile: ciò si chiama campionamento casuale con reinserimento.

Tuttavia, normalmente non si fa questo nelle ricerche psicologiche, anche se la popolazione fosse molto grande, e quindi

reinserire dei soggetti nella popolazione avrebbe un’influenza trascurabile sull’esito.

Virtualmente, tutte le analisi statistiche assumono il reinserimento, ma non importa che le persone di solito non siano

selezionate più di una volta per uno studio nella ricerca psicologica.

Esempio

La regola della moltiplicazione può essere mostrata sempre riferendosi al campione di 150 maschi e femmine, di cui 100

sono femmine e 50 sono maschi.

Ancora una volta si assume che le categorie o gli esiti siano mutualmente escludenti.

Se ci si chiedesse quanto sia probabile che le prime cinque persone estratte siano tutte femmine, dato che la probabilità

di estrarre una femmina in una singola occasione è 0.667, la soluzione sarà moltiplicare la probabilità associata al fatto

che la prima persona estratta sia femmina con la probabilità che la seconda persona estratta sia femmina con la

probabilità che la terza persona estratta sia femmina con la probabilità che la quarta persona estratta sia femmina con la

probabilità che la quinta persona estratta sia femmina.

Probabilità che tutte e cinque le persone estratte siano femmine:

p x p x p x p x p = 0.667 x 0.667 x 0.667 x 0.667 x 0.667 = 0.13

Quindi ci sarà il 13% di probabilità (0.13) di scegliere un campione di cinque femmine estratte casualmente, esito non

particolarmente raro.

Tuttavia, estrarre un campione di tutti maschi dallo stesso campione di maschi e femmine è più raro.

Probabilità che tutte e cinque le persone estratte siano maschi:

p x p x p x p x p = 0.333 x 0.333 x 0.333 x 0.333 x 0.333 = 0.004

Quindi ci sarà una probabilità dello 0.4% di scegliere tutti i maschi.

Proprietà della probabilità

Ad opera di Kolmogorov (1933) è stata possibile la definizione di assiomi che regolano il calcolo probabilistico.

L’assiomatizzazione proposta da Kolmogorov, sebbene non sia l’unica, è quella maggiormente utilizzata.

Gli assiomi proposti da Kolmogorov sono:

1) ad ogni evento A corrisponde un valore P (A) maggiore o uguale a zero;

2) la probabilità di tutti gli eventi possibili è 1;

3) la probabilità che si verifichi A o B, essendo A e B mutualmente escludenti, è data dalla somma della probabilità di A e

della probabilità di B.

In formule:

1) P (A) ≥ 0

2) P (Ω) = 1

∪ ∩

3) P (A B) = P (A) + P (B) se P (A B) = 0

La probabilità è un valore che varia tra 0