Probabilità e processi stocastici

INSIEMI PROPRIETÀ

- :

AUB BUA

=

.

CCBCA _ dia

complementare

A

ATB

AU B ANB AB AUBIUC AUCBVC

(

, )

=

.

@ ,

3 Alba

ABEBA ABN

. =

,

a ALBUC )

% ABU AC

=

•

/ ACB

, se Ad A

/ . =

0

0A AS

AA A A

• e-

=

= ,

,

H AUÀ È

MUTUAMENTE =p

INSIEMI S

ESCLUSI AÀ

: ° A

e- , ,

5=01 è S

=

, mutuamente

insiemi

di

insieme collezione esclusi

partizione -

se

di

PARTIZIONE U una

una un

: .

At AJ=ÀU

LEGGI MORGAN

DI : ,

ASSIOMIDELU-teORIADEPRBAB.LA evento

dell'

probabilità

chiama

Si evento che

ad PIA

A ) A

si

assegna un

un numero , .

P p

PROPRIETÀ :

Pcp PIAUB )

) PIAITPIBI

Platt

) Plan

PLB E

B

t

)

• .

o

= =

PLÀ

1

P E 1

(A) BCA

) Se PIB

PCA (B)

) PLATT

=P )

.

= 7

)

t

-

•

ASSIOMIEINTERPRETAZIONEFREQUENZIALFS.ie

MI

PLA 0

) se Anb

i Ma

Maud tmb

come = . = =

MITI MI MI

natura

PIAUB Platt PLB

) )

=

• t

= = =

UGUAGLIANZADEGLIEVENtl.gl probabilita

uguali

eventi ' PIA PIAB

=P (B)

B 1

a )

)

sono con =

e probabilità

Gli eventi uguali PCA

in

B PLB

A )

)

se

sono e-

e PROBABILITÀ

LEGAME insiemi

TEORIA

TRA Degli

DELLA E

TEORIA ;

plaubleplaltplbl-PLABDef.de

insiemi

classe che

vuota tale

'

F di

campo campo e

un una non

: :

ÀEF

allora

se AEF

• allora

se AUB

BEF EF

AEF

• ANBEF

e

e l' impossibile

evento

l' certo

contiene de

evento

Un

° F

F

SE

campo e : , in

infinita

che insiemi

sia di F

si

campione Ae an sequenza

: una

supponga .

.

. . ,

,

l' l' intersezione insiemi

di

unione questi appartiene

Se te

ancora

e a ,

allora è

F CAMPO BOREL

DI

un .

ASSIOMADELL-ADDITIVITA-INFINITAS.co lplaevaau.e.uanv.fe-pladt.AM

-

eventi mutuamente esclusivi allora

gli sono :

DETERMINAZIONEDELLAPROBABV.IT# probabilità

esiti

Se lo di

la

allora

consiste di finito

spazio '

S N N numero

un

e

e

tutti eventi in probabilità

delle

funzione

gli essere espressi

possono .

=pi detti

dove EVENTI ELEMENTARI

gi sono

rispettare

Da Pi

1 70

Pat

Pat tpn =

: ,

. . -

LAPROBABILITÀCONDIZIONATALA evento evento probabilità

condizionata la

probabilità di '

ad

rispetto

a B

un un e

evento

l' l'

che verifichi che

sapendo evento si verificato

si è

B

a , . verificati

in

; cui

Fujian si

n sono

:{

"

÷=I÷=p÷; evento

verificato l'

in

volte B

si è

cui

di

numero

MB :

Plata PCBIC

PLAUB

PROPRIETÀ ) ) )

( t

c =

: TeoremadlllaPR0BABNtÀttA evento

Si partizione arbitrario Allora

]

[ di

U

consideri S B

Ai An

= un

una e

.

, . . . .

,

eventi partizione

tutti U

disgiunti perché è

gli di

Brant Bnai

Brian s

t una

sono

e

-

.

. .

Allora : -

- È

PLBIAE Plan

PIB PLBI

) Plan

tplban

( Plan

)

Bad ) PCB

=P land

)

) )

) t

t an

t e m' )

. -

. . . .

§

probabilità

la condizionata

per

FORMULADIBAYES.si partizione insiemi

precedente

la Siccome

consideri ai

degli . pHilBl=%

PIBIAI ) =P

Plai -

( PCAIIBIPLB

) )

Bai )

=

INDIPENDENZADEGLIEVENTID

eventi

PLABIEPLNPCBSSiguif.ca

indipendenti

detti

vengono

ne se :

evento

dell' informazioni possibilità del

sulla

fornisce

che la A

conoscenza non

evento

altro

verificarsi di B

un .

eventi indipendenti

eventi

A indipendenti

gli mutuamente

Aa

ai copie

A

3 sono sono

se a

: :

}

, ,

PIAI.fi/PlAe.Az.As)=plaeIPlAzlPl#-/

i j

#

con PROVENIENTE ③

COMBINAZIONEDIESPERIMENTIO

realizzare combinazione esperimenti

di di esperimenti

I

spazi due

come una sono

.

individuabili Per

esiti le

esperimento i 31,7

singolo cui esempio

coppie

come sono

un :

.

,

delle del dado

' facce

sei

%

a. una

e testa

E è

• croce

o

Cotlblnazlonedegllesperirlentlcoreeppodotoc

IANODEGLISPAZIDEGLIEUENTIIlproddtocartesi.ae

rappresentativo

si

esperimenti di

è

sa

due

di nuovo

un

e in

esiti

i cartesiano AXB

esperimento ottenuti

eventi

ed

S cui

Si Se prodotto

sono cui

×

= come :

esito

l' di

A se

è

• l' esito di

è 52

B

• ÉTAT

PCBt-plbxs.PL

eventi

probabilità

la

In esperimento è

degli

questo : l'

evento

l' evento

che dell' esperimento si verifica A

) significa

Axsr S

Axsz se

indipendentemente dell'

dell' esperimento

dal

esperimento risultato sa

se ciò

avviene e =

.

ESPERIMENTIINDIPENDENttcous.ro intersezione

eventi vale

loro

la

precedenti

tirando se

si allora

gli axb :

, ,

-

PCAXB Palbxse

)

(

Pi Pila PUB

) )

axsz ) )

= =

Considerando l' evento elementare scritto

22

di ossia questo

S può prodotto

come

essere

,

elementari

eventi

cartesiano di

4,32

degli se

se quindi

e e :

PlZ5)=PdhIEl3

Generalizzazione Meriti loro cartesiano

si S

esperimenti

considerino

si il

definisce prodotto Six

se xsn

su come

in -

: : - .

, .

.

.

. .

.

L' elementi elemento

ha in

(

esperimento dello

3N

tutte )

le Ti

7 cui

uple è

n

come un

- , ,

.

. .

eventi tutti

Gli cui

quelli

si le

del

insieme loro

in casi unioni

tipo ai

xan

Aex

sono e

. . -

.

intersezioni probabilità

esperimenti si

indipendenti la

indica

gli

Se Pilar )

sono con

e

e .

evento

dell' nell' ha

esperimento si

ai si :

plaix.a.xanl-plael.o.planl-IIR.la

Permutazioni elementi

dato elementi

di dati

insieme tutti soli gli variare

Quando n

un e

sono n a

elementi loro ricorrerà

ordine

all'

in tali tutti

base Se si

tra

diversi alle

sono

. altrimenti ripetizione

permutazioni semplici quelle con

a .

PERMUtONEMPLC-ntPERMUTAZIOMCONRIPETIZIONE-y.ro

Disposizioni elementi insieme

che si

tutti possibili dato

di di

raggruppamenti

i formare

possono

K un

l'

elementi si

ordine Se tutti

elementi

gli diversi ricorrerà

considerando K sono

n .

, elementi si

alcuni ripetono

semplici dei alle

alle disposizioni ricorrerà disposizioni

si

K

se

,

ripetizione

con . ÷tEMÌ DISPOSIZIONICONRIPETIZIONEe.nl#

Ki !

( n -

COMBINAZIONI i

elementi

conta l' formati

ordine

Quando raggruppamenti

degli cui vengono

con

non utilizzo combinazioni

volta

elemento le

al

quando massimo

può comparire una

e ogni elemento più

stesso

semplici volte

nel

invece raggruppamento

se comparire

può

uno

.

utilizzano ripetizione

combinazioni

si le con .

fanatismo coMBINAzwmconRIAeTIHONE(m+[^)=t

PROVERIPETUTEDIBRNOULLISIA evento

dato ripete

esperimento A

S Pla si

) PIE ) -1

ptq

=p

un

un =

con

e q e

a ,

l' l' evento

esperimento probabilità che

volte Si la

desidera determinare si

A

pnlk )

n .

verifichi esattamente volte in prove

K n .

pnkklj.pro

elevato teoricamente infinito

anche ) dei

Quando diventa si problemi

( possono avere

vi

nel calcolo

pratici del Pnlk ) .

Funzionera [ È

gH=÷e È e-

qui dy

cui dy

= =

È che

noto

ben : [

[ " È

È

èa

( )

FI e- da

= cui ottiene

da si e

=

:

PROPRIETÀ : ossia

poiché che

allora

Gaussiana

la ricava facilmente

è

funzione pari si

qfx )

qcxt - - dell'

all'

di integrale

interno

effettuando ossia

cambio variabili

XI 1

Gl Glxl Infine

= un

-

- . della costante

valore b

dalla che

si ottiene

axxb Gaussiana

f.

A- per ogni a :

e

, [ IÌ al

'

e- 1

l

a

* = -

tt

a

teoremadidemoivre-laplo.si

che

dimostrare allora

può 9=1

1

» e

se p

npq - :

,

tianya.ae#jeknIo-

esattamente nnènrà

intervallo

nell'

più

nelle di (

per vicinanze mptrnpq

Tnfq )

K up n !

e np =

- , ,

probabilità

calcolo

quindi il

usando di

delle ottenere

questa approssimazione successi

K valutazione

valutazione

in quando La

normale

riduce alla della

si

prove X

curva K

n =

, .

approssimata della (

funzione }

P )

Ekz

9 keek

È gl'

al "÷÷ 1

)

*

Fan - -

in

calcolare il

che

probabilità

la di

Quindi di

prove

per numero occorrenze

n

evento sia normale

tr