Probabilità e processi stocastici

PROVERIPETUTESOTLMA PIÙ SPAZI

DUE

DI O indichiamo eventi che

5=51+52 rispettivi

se dei

A gli

a Altar si

spazi

Ae sa

con

- e

e ,

, esperimenti

rappresentano due Allora :

.

① probabilità evento

dell'

del verificarsi

Pisa

PIAN PLAN ) PLA ) Ai

=

= - l'

probabilità esperimento

Plst del verificarsi

play play Pisa si

) =

- -

- ' p(N=PlNtP

arbitrario

evento

probabilità di

la

Per determinare PIAI A

un :

PROVE RIPETUTE Poisson

Teo Di

e .

chiesto determinare

di nel

viene modo

Pines }

se procedo seguente : MÌ

5 "

èm

trovo E

PIKE

che } PIKE

} tempra

5)

So Pg

5 5 1

K

t > =

: con

=

: !

K

K -1

È "

è

determinare 53=1

PIN 53=1

Ora PIKE

posso -

- , .

Teo POISSON CASUALE

DISTRIBUZIONE PUNTI

DI NEL TEMPO

. l' intervallo

l'

che ta

temporale

che ta

ipotesi

sotto grande te

sia sia

vi e =

-

nell'

Disponiamo intervallo

piccolo Indicata

punti

rispetto at t

caso

a n .

. probabilita questi

che

ta di punti

la ' cadere

}

PIK in vengano

K

con a

contenuto

testa in

nell' te ottiene

intervallo si

lat ) :

,

- , t÷È

" È

è

pum p -

= con _

< p

✓

se e

»

n

tieni pn,µ=èHt

1=7

tosto :

e Posto :

-

VARIABILIALE-atorel.ca il le

delle

fra quali

rapporto

il

uguali

FIN 9

funzione per

numero prove

ncx )

a stesse

totale

il

y delle

e prove

+ ( ) e numero

× Fµ=pg×±×y=ff

:

-

PfX)aqNXlb3=PlXsq3tPIXCb)-P{alXl

Formula :

DUEVARIABNALEATORIEFxylx.co/=Fxlx1

4) }

PSIXEX

( YEY

Fxy DISTRIBUZIONI MARGINALI

-

DISTRIBUZIONE MISTA =

X. :

: figlio Fy ( )

y)

, y

=

,

PIXEL ) FLN

} FLX

XEXZ 4)

YEY Y

= -

-

,

, ,

PSIXEX Flx FLX

49,7 )

EY

Y 42 Yi

)

= -

,

, ,

,

{ )

FLXZ

Flxz FLXE

l' )

YEY } )

) Fine

CXEXZ t

bel Ya

42 Ye

× 41

= -

-

, ,

, ,

, ,

,

DENSITÀ )

( CONGIUNTA

MISTA Stud )

ÒH Txd "

}

psixcxextdx FIX

Flxtdx

YEY

flx.gl ) y )

y =

=

= - ,

, ,

a

* ' psixcx a%

yeysytdy } Flx ytdy FIXIY

) ) dy

= =

-

,

, statistica la

la distribuzione

di

otteniamo la

Integrando congiunta

fcxiy funzione

) ovvero :

,

timone :*

:{

Iii uItima ,

DENSITÀ

RICAVARE DA QUELLE

MARGINALI MISTE

LE

saturare variabili

delle

Basta due

una :

Et%È ftp.yahoo/Iflxis)dxo

,

i hH=*I=ÌhT

DENSITÀ

E

DISTRIBUZIONE CONDIZIONATE " È÷:

÷

" " FHxu×Ì fHIxcxexd=f

→

Flxis )

i÷÷÷ snixxrsiint

-

ÈÌÌ=n*H=ei

di

PROBABILITÀ Teo BAYES

totale e . H

co flxly

/ g)

fine flxis dx =

>

) flxiy-ylfhleflylx-xtflxifcx.vn

}

fini

a →

- Nfl

FMI "

" ti

giyix.xi.LY

- - flx )

ftp.fjgfsix-xifix gmix=H=

4)

(

(

Zemin )

X.

DETERMINARE 2-

4 X.

Max

=

e

* =

At fzH=f×HFylzItFHlfyl

FORMULARIODEF

PROBABILITÀ INSIEMI

E

.

PROBABILITÀ EVENTO a

DI UN

¥ Probabilità

Teo totale

PCA ) = .

PLBIEIIPLBlamlplanCPLAUBt.ph/tPlB

PROBABILITÀ DELL' DUE

UNIONE DI eventi

PLAB )

) - BAYES

di

FORMULA

INDIPENDENTI

EVENTI PHilBl=

PCAB ) PIA PLB

) )

= -

PROBABILITÀ CONDIZIONATA

Place

PLAIB ) = PLB )

RIPETUTE

PROVE !

n (f)

PERMUTAZIONI DISPOSIZIONI COMBINAZIONI =

M ! - ln )!

!

) !

K

( K K

n - -

PROVE RIPETUTE BERNOULLI

DI ftp.EI.LI/pKqn-

PÉ

in , ,

t

t t

l' ordine di

se fissiamo prole

interessa chiede la

ci

se si

operandi

non .

l' evento

volte

l' delle che

ordine eventi

K successi

almeno su n

×

deve verificare

si

Teo LAPLACE

MOIURE DISTRIBUZIONE

Teo

De Poisson

Poisson di

- .

. \i÷ÈÈ pcqintay-e-tta.it#

cost

f-

Se tempri se

Se X

1

» =

npq = .

ta-tz.tn tact

ta

VARIABILI ALEATORIE t » ,

PROBABILITÀ

FUNZIONE DENSITÀ

FUNZIONE DI

DISTRIBUZIONE DI

E

DI =ÈF

Fxlxl { }

=P )

( continuo

Ex

× ,

, fxtX@FpiSx-XolDiscREtoIPERCENTILlFxTjfxxdx.f

FIxuleptxext.ie

PROPRIETÀ : X2X3=1-Plx⇐}=1-FF

PExeexexif-flxzi-flxd-ffgxlxio1-xxftpxxfp.si

PROBABILITÀ

FUNZIONE CONDIZIONATA

DENSITÀ

UNZIONE DI

DISTRIBUZIONE DI

E

DI ,

fflxlmtefflxlmti.biz

Fi }

pfxaxsxtb.nl M

}

M

PEXEX , ,

Teo BAYES

.

nettamente

ESEMPI ALEATORIE

VARIABILI

DI

DISTRIBUZIONE UNIFORME ESPONENZIALE

GAUSSIANA

DISTRIBUZIONE NORMALE DISTRIBUZIONE

O

888 POISSON

VARIABILE ALEATORIA di

VARIABILE ALEATORIA BERNOULLI

DI o

a-

VARIABILE GEOMETRICA

ALEATORIA

VARIABILE

BINOMIALE

ALEATORIA

✓ =rÉ

PHsmt-qmfptxsmtnlxsnif-OFUNZIONID.lv

ALEATORIE

ARIABILI DENSITÀ

CALCOLARE FUNZIONE DI oylx )

la 4

DI =

0

° O

VALORE

MEDIA Teo

atteso

O MEDIA

.

tf-xfxdx.EE#ixiTFT=Egx3=fgxfxdx Hh=FgcxiiMx=T

, (

)

( )

DISCRETO

DISCRETO )

(

( continuo

CONTINUO )

VARIANZA =À 0×7Epiii-

deviazione

(

0 µ )

x

- -

,

, ,

t.eu ( )

DISCRETO

EHI

- -

fvarlaxt.BY/=aVarlX)tbWarlY)t2abCovlX

)

continuo

( GENERALIZZATI

MOMENTI

MOMENTI CENTRALI

MOMENTI • tmall.ex-nfx-dxe.etlx.at

DISUGUAGLIANZE INTERESSE

DI DISUGUAGLIANZA

TCHEBYSCHEFF

DISUGUAGLIANZA DI

DI MARKOV

P3EÈ Pt×7a3

DUE ALEATORIE

VARIABILI DENSITÀ

FUNZIONE DI

DISTRIBUZIONE CONGIUNTA

E

DI MASSA Di

ignota probabilità

2ft

PIXEX }

( )

Fxy YEY fcx

49 ,y

= ) =

, ,

, 8×29 I Flx )

Edxl 9=0

> ,

Fylyleflxa.to 4)

,

INDIPENDENTI

ALEATORIE

VARIABILI

Flxis )

Fgly

EH

) )

a- - flx.is/=fxlH-fyl9lZ=Xty

ALEATORIE

VARIABILI CONGIUNTAMENTE NORMALI INIMetfh.ttoale-ZLMz.az/IZ4UxtMy,txts

-

Indicata descritta

BNARIATA GAUSSIANA come

come e

- -

DENSITÀ

E

DISTRIBUZIONE CONDIZIONATE uncinetti

i ÷÷

FHIxctÈ fHIxcxsxd=%É

→

fflx.SI

i÷÷÷ mimetico

-

)

(

(

Zemin )

X.

DETERMINARE 2-

4 4

X.

max

=

e

mmm =

At fzH=f×HFylzItFHfyl =L (

Fzw )

( Y)

TERMINARE con

DI DISTRIBUZIONE )

# 2-

CONGIUNTA

FUNZIONE X

W

oylx

7W

LA = y e ,

,

distribuzione

determinare di

Per nel

si modo

la procede

congiunta seguente

gunz :

.

Data la Fxglxis ) : È È ③ Fzw

fxylxiy fzwlziw

Fxylxis AN )

) )

) data

ottenere

Utilizzo formula

la fzwlziw fxylxis

② )

per

seguente ) :

FIÌ IJHi.si/--/!!!f

dove

DETERMINAREAFVNZIONEDlDENSitÀDlPR0BAB tanto )

si calcolare la

Date due definisce Wax

AUSILIARIA y

v. w

y una

×

v. a. e

=

a e o ,

. metodo

densità probabilità congiunta

di precedente

fzwlz.cn il

) con .

probabilità

di la

saturando

densità rispetto

fzlz ottiene fzwlziw

si

La alla

poi )

)

( )

w co

w

v. =

a .

. della

Teo MEDIA

. egztn.fi?jglx.yifxylx,Yldxd

94,9

2- )

' EH=etgHMB=%gHidHP

,

( ) (

continuo DISCRETO ) CORRELAZIONE

CORRELAZIONE

COVARIANZA COEFF DI

cxyt-eslx-nxlly.ms# Rhett

p×y=

Se allora

9=0×+6 ti

• pxy >

se le

• v.

o

pxy > a sono

.

INDIPENDENTI

STATISTICAMENTE

CORRELAZIONE VARIABILI

COEFF DI NORMALI

E

. allora correlazione

(

se normali

congiuntamente il )

di

' coeff

r =p

y

× va

sono

e » .

correlate

in

Se allora '

la BNARIATA

y

× sono t GAUSSIANA

0

=p sara

e = :

» '

e-

' "

"

fxylxihe-fxlxtfytinoeiuorm.ci =

- - # "Ì÷

funzioni mano ¥ è

tante ,

VARIANZA della SOMMA :*

÷

:[ È""

÷

!

⇐ :

: :[ :

÷ ÷

:

÷

" :

:

' : " "

:O

io t.u.nr.nxe.x.s.nm.no?:Y#

: PROBABILITÀ

Teo BAYES

di FORMULA TOTALE

DELLA

e

. «"÷ì::

VARIABILIALEATORie-DRETEsi.com discrete tali che

le

deriva seguenti y

×

v. :

a. e ,

Pfx ) PIX E

} }

PH In E

9=1

Xi

Xi Pin Pi

= = = Pin

Pin

pi >

= = qui =

ok

> , ,

, ,

, pg=yulx=xi}=N×¥%Ì=P!

si che

'

cosi

ricava :

MATRICE MARKOV

DI ti÷ matrice [M

elementi

MXN dove

Markov

MATRICE Di Tin

: con e

,

tt~XXY-9.IT ttki

matrice elementi

NXM

Markov

Matrice di : con

tki

inoki t

Se piove

piu

y

× sono =

e e ,

"

MEDIA "

"

# A

"

"

CONDIZIONATA "

" "

" "

"

" "

" "

" "

" €

" ° "

°

÷ ALEATORIE

VARIABILI

VETTORI DI www.dg.in#trienzione2xi---2Xn

>

t.pt

Ì l densità

di

robabilità funzione

vettore

che

' il congiunto

Ex xD

× appartenga

= →

-

, dimensionale

alla D

regione n -

trasformazionale ETA

DELLE V.

INDIPENDENZA A . fflxii.ee/Xn)=F,lXi)---FxnlXr

Xi MUTUAMENTE INDIPENDENTI

Xn sono se

• .

, . ,

. .it#Y..YnsomGRUPPNdPENenti densità

la fattorizzabile

congiunta

Gx '

( se e

Xi

• = .

, . lflxii-yxn.be/...,Yn)=f(Xi,...,Xn)flY.,...,l/

come : VARIANZA

MEDIA MEDIA CAMPIONE

CAMPIONE

vettori ALEATORI

DI v=fIlxi

xÈ

tianya.ynh-fj-i-ffglxn-e.in/flxii--ixnIdxe---dT

PROBABILITÀ CONDIZIONATA

CONDIZIONATA DISTRIBUZIONE

FUNZ

E

DI

DENSITÀ .

fHni→kulx.→xi=f"j!%

Xr

- FLXni.i.xv.tn/Xk,...,Xe)=/jn.--!fldni---idktilXK,...,Xelddn...dar

{ centrale

limite

Teo del

. STOCASTICI

PROCESSI DENSITÀ

FUNZIONE E DI

DISTRIBUZIONE

DI

1° 2°

ORDINE ORDINE

}

P{

FLKT ) }

FLXI Ptxdti

XH ) )

e tu Xzltz

×

= Xz ta Xi )

) E la Xa

=

;

, , ,

ÓF

sF tiitz

( )

Xz

Xi -

, ,

flxuxaiteitz

guai ) -

=

= IX 2×2

IX ,

AUTO CORRELAZIONE

MEDIA ftp..fi/jx,xaflx.,xait.,tydx.dxa--/Rltitkt

ritta }

Effetti

pltt-Rlt.tl

Media

Potenza =

: PROCESSO

DEL

CORRELAZIONE

DI

COVARIANZA

AUTO COEFF .

ti nux%

STRETTO

PROCESSO STAZIONARIO SENSO

IN statistiche

caratteristiche

stesse

' le

i te

hanno

Un processi xlhexlttci

XHI s.s.s.se

ps e

. .

- tic

)

.tn/--flXi,...,Xnitetc,...,tntc

flxe yxniti

| - - .

, .

, . - statistiche di

Due le

processi congiunte

xltt xltieylh

ylt CONGIUNTAMENTE stazionari

) sono se

stesse dei

le xlttcleylttc )

processi

sono ,

LATO

PROCESSO STAZIONARIO IN SENSO costante

Un detto }

Esulti

'

XHI =p

1

Ps e s.s.l.se =

:

. . # di

in distanza

} t

Ecixlttt da

cui la ttt

Rxlt

Ht

2 ) è

) t

-

. - lato

stretto anche vale

stazionario

Un in

stazionario

in è

P.s. Non

P.s. senso

senso un .

il viceversa .

PROCESSO STAZIONARIO STRETTO

CICLO SENSO

IN invarianti

statistiche ad

le rispetto

Un detto

'

Ps xltt sue sono

s.s.se

e uno

c.

. intero costante

temporale multiplo

spostamento detta

di t PERIODO

una .

-

Flxii-a.it/n;ti,...,tn)=FlXi,...,XnitetmT,...,tntn in questo mt

caso ⇐

PROCESSO LATO

SENSO

STAZIONARIO IN

CICLO la media

) periodo

periodica

Htt funzione

' nllttmt di

Un Xlti è

1 t

P.s. una

c. si >

se

e : .

. autocorrezione

la del

rxlttt.tl

ttmt di

)

Rxlttmttt fuuz

2 = .

. , due

funz

variabili

' di

una

processo e . periodica

ed

t è nella

et

variabile pericolo

t T

con .

vale

Un anche il viceversa

non

è processo

S.s.

processo c. un l

s

c. - . .

.

TEORIA SPETTRALE Sx×k)è rxhefjsxlgpeiltft.ie

potenza

spettro di : allora

reale lo spettro ed anche

Se pari

il reale

5×4

è è

xltt ) è

processo .

Sigfrido Rxyltt-fjsxylgie.to#o

S'È

spettro

cross :

-

SISTEMI LINEARI TEMPO VARIANTE

yhhe-%bA.ie/xiu)du# uscita

di yltt

Processo

LINEARI INVARIANTE

TEMPO

SISTEMI

9lH=[hH-u)XHdy=[hHIxH-t)d µH=xh*h/

CONUOLUZIONE

→ integrale di

PROCESSO YHI

CORRELAZIONE

FUNZIONE DEL USCITA

DI

DI

Èra rèH=ÌhHtEIhH-ET

dove

SPETTRO PROCESSO IN uscita Ylt

POTENZA

DI DEL )

Ìà :

.ee:7?Itemen:I

LÀ "

idea

dove HH=[hh

rigettai in cui

allora

se 7×70 STOCASTICI

PROCESSI

E

PROBABILITÀ ①

Detonati

DEFINIZIONECLAS.se# determinata

evento

di

probabilità esperimento

alcun

viene priori

A ed

la è

senza

un a :

, ,

All' A

FAVOREVOLI evento

NUMERO ESITI asimmetrie

~ di

limitazioni peso

:

%Ff.fi?!?!g!%fff?tIti@

possibili

numero esiti

dei

eventi

Tutti gli EQUIPROBABILI

sono . tra

probabilità l'

data

'

di

La dal favorevole

rapporto

casuale

evento area

e

un

l'

all' evento totale possibili

eventi

degli

area

e .

DEFINIZIONEFREQUENZIALESI

sull'

fonda osservazione .

L' che al del delle

dice

esperienza numero prove

crescere , Platini

relativa

nelle la

condizioni

stesse frequenza

fatte tutte ,

stabilizzarsi valore

tende

variando ad

attorno

pur un

a

,