Probabilità e processi stocastici

A T

NDREA ANCREDI

Appunti di Emanuela Barbato

probabilità e

processi

stocastici

Università degli studi di Roma “La Sapienza”

Corso di laurea in Finanza e Assicurazioni

Anno accademico 2014 - 2015 Lezione 1 - 23 settembre 2014

Disponibili 5° piano

Stochastic process and models Strezaker - libro di testo

Probability models Ross - esercizi compito esame

Essential of stochastic process

1 - I NTRODUZIONE

1.1 Esperimento aleatorio

L’esperimento aleatorio è un esperimento il cui esito è incognito, in principio potrebbe avere una

serie di possibili risultati.

1.2 Spazio campionario

Lo spazio campionario è l’insieme di tutti i possibili risultati che può assumere l’esperimento

aleatorio (ES: Testa, Croce nel lancio di una moneta) e viene indicato generalmente con la lettera Ω.

Gli elementi contenuti nello spazio campionario sono detti eventi elementari e vengono indicati con

ω. Esempio: Lancio di un dado - Ω= (1,2,3,4,5,6) dove 1,2,… sono gli eventi elementari

In generale un evento sarà un sottoinsieme qualsiasi di Ω e viene indicato con le lettere maiuscole

dell’alfabeto latino (quando Ω è molto complesso ci sono degli insieme dello stesso che neanche

possono essere definiti eventi, né è un esempio Ω retta dei numeri reali).

Sempre parlando di eventi lo spazio Ω è definito evento certo perché noi pensiamo ad Ω come

ti

l’insieme di tutti i risultati quindi sicuramente uno degli eventi elementari contenuto in esso si

verificherà. Poiché c’è un evento certo sicuramente esiste un evento che non si verifica mai ovvero

o

un

l’evento impossibile, questo sarà semplicemente il complementare (negazione) di Ω l’evento

at

c

impossibile è quindi il complementare di Ω (Ω = ∅).

Poiché gli eventi sono insiemi valgono le seguenti affermazioni:

- L’unione fra due eventi è quell’evento che si verifica quando si realizza almeno uno dei due o

rb

pp

entrambi;

- L’intersezione fra due eventi è quell’evento che si realizza quando si verificano

contemporaneamente tutti e due gli eventi; Ba

di

- A c

La negazione di un evento è l’evento complementare A o Ā (si verifica quando non si realizza

l’evento dato). Per tale ragione vanno considerati tutti quei risultati che appartengono allo spazio

campionario ma che non appartengono ad A;

- 1

Due eventi sono disgiunti o incompatibili se possiamo considerare disgiunti gli insiemi che li

rappresentano, cioè quando, dati l’evento A e B, la loro intersezione è uguale all’insieme vuoto.

la

Esempio: Lancio del dado - Ω =(1,2…,6) A=(il risultato è pari); B=(il risultato è 3); C=(Il

risultato è dispari). Osservando gli eventi dati si ricava che gli insiemi A e B sono disgiunti

ue

poiché il loro insieme intersezione è vuoto. Mentre B e C non lo sono perché la loro intersezione

non è un insieme vuoto. an

Em

1 Per il momento parlare di insieme equivale a parlare di evento però alcuni sottoinsiemi di Ω

potrebbero non essere considerati eventi.

1.3 Classi di insiemi

Per poter valutare probabilisticamente un evento dobbiamo calcolare la probabilità che questo

appartenga ad un dato sottoinsieme di Ω, B. A tale scopo dobbiamo considerare delle classi

d’insiemi ed in particolare si parla di algebra e σ-algebra. P(Ω) 2

Dato lo spazio campionario Ω e dato l’insieme delle parti di Ω , possiamo definire algebra un

P(Ω)

sottoinsieme di che soddisfa le seguenti condizioni:

- È chiuso rispetto all’operazione di complementazione e di unione (o intersezione) finita [se A e

P(Ω) P(Ω)];

B a allora A B

∈ ∈

⋃

- Comprende l’insieme vuoto (complementare di Ω).

1.4 Sigma-Algebra A

Il calcolo della probabilità di cui sopra impone che il dato sottoinsieme B di Ω appartenga a la

quale deve essere una σ-algebra. La σ-algebra è definita come collezione o classe (insieme di

insiemi) che soddisfa le seguenti proprietà:

- A;

L’insieme vuoto appartiene ad

- A A -

c

La classe deve essere chiusa rispetto alla complementazione: se A ad allora A se

∈ ∈

l’evento A appartiene alla σ-algebra allora anche la negazione di A dovrò appartenervi;

- 3

La classe deve essere chiusa rispetto all’unione numerabile: se A (successione numerabile di

n

A A -

∞

eventi) con n=1,2… allora A a se la successione A appartiene alla σ-algebra

∈ ∈

⋃ i n

i=1

allora apparterrà ad essa anche l’unione per i che va da 1 ad infinito degli elementi della

ti

successione. o

Esempio: Consideriamo un urna con 3 palline (nera, bianca e rossa) ed estraiamo una sola pallina, lo

un A=(∅,

spazio campionario è Ω = (bianco, nero, rosso). Un esempio di σ-algebra è il seuente:

at

bianco, nero rosso, Ω). Se prendiamo ognuno dei componenti notiamo come i loro

⋃

complementari fanno parte della classe; se invece prendiamo l’operazione unione (unione

rb

pp

finita) notiamo che l’unione fra i diversi elementi della classe appartengono ancora alla classe.

F P

Possono essere considerate delle σ-algebra anche = (∅, Ω) e (Ω)=(∅, bianco, nero, rosso,

bianco U nero, bianco U rosso, rosso U nero, Ω) dimostra che questa è una sigma algebra, in

Ba

di

particolare quest’ultima è la più grande σ-algebra possibile.

A

Dare una definizione di σ-algebra è fondamentale poiché non tutti i sottoinsiemi di Ω possono

essere considerati eventi: da un punto di vista matematico quando si determina la probabilità di un

certo evento in maniera coerente questi devono soddisfare delle regole sulle operazioni elementari

la

fra insiemi e le operazioni di complementazione e unione numerabile della sigma algebra sono

ideali per definirne la probabilità. Da questo deriva che non tutti i sottoinsiemi di Ω sono eventi ma

solo quelli che appartengono ad una σ-algebra.

ue

an

2 L’insieme delle parti di Ω è un “calderone” di sottoinsiemi dello stesso. Se Ω è costituito da k

k

eventi elementari allora avremo che l’insieme delle parti sarà composto da 2 elementi

considerando che ciascun elemento può essere inserito o meno in ciascuna parte (ho infatti due

alternative). Em

3 Una successione si dice numerabile se pur avendo termini infiniti posso dire quali di questi viene

prima e quale viene dopo

La particolare struttura di sottoinsieme di Ω (Sigma algebra), cioè la chiusura all’unione numerabile

e alla complementazione, ha una conseguenza: la chiusura rispetto all’intersezione.

Per poter dimostrare la precedente affermazione partiamo dalle leggi di De Morgan:

- c c c

Prima legge - (A B) = A B ;

⋃ ⋂

- c c c

Seconda legge (*) - (A B) = A B .

⋂ ⋃

Dati due eventi A e B, poiché la σ-algebra è chiusa rispetto alle operazioni di unione e di

complementazione, apparterranno ad essa la loro unione e la loro negazione, ma se la negazione

A c c

B e il complemento di quest’ultimo evento appartengono alla σ-

appartiene ad allora anche A ⋃ A

c c c c c

B | (A B ) = A B (*).

algebra. Da ciò consegue che se A ∈

⋃ ⋃ ⋂

Considerando solo la σ-algebra così come l’abbiamo definita, ragioniamo solo su eventi come

quello dell’estrazione di una pallina di un dato colore. È necessario pertanto cominciare a ragionare

su sottoinsiemi della retta reale, ed è per questo che si introduce il concetto di σ-algebra di Borel.

4

1.5 σ - algebra di Borel

Consideriamo Ω=(-∞, +∞) (è la retta dei numeri reali, è qualsiasi punto che si trova tra -∞ e ∞) e

supponiamo di voler costruire una σ-algebra (una classe di sottoinsiemi di Ω) che contenga

determinati insiemi. Abbiamo visto che già nel discreto possiamo avere più σ-algebra (più o meno

piccole), immaginiamo ora di volere una σ-algebra piccola ma che contenga degli insiemi che si

possono misurare in termini di probabilità, tale σ- algebra deve contenere tutti gli intervalli da -∞ ad

x aperti - (-∞,x) x R. La σ-algebra così costruita deve rispettare le regole valide per queste classi

∈

d’insiemi. Da quest’ultima affermazione si deduce che, poiché vi sono gli insiemi (-∞, x), nella σ-

ti

] che sono ottenuti come intersezione degli

algebra ci saranno anche gli insiemi del tipo (-∞, x o

∞ (-∞, x +1/n)).

insiemi del tipo (-∞, x+ 1/n) (⋂ i=1

un at

x x + 1/3 x + 1/2 rb

pp

Figura 1.5.1 - Intersezione degli insiemi del tipo (-∞, x + 1/n) Ba

di

Dalla Figura 1.5.1 si ricava che l’intervallo che va da -∞ a x+1/2 lo interseco all’intervallo che va da

A

-∞ a x+1/3. L’intersezione mi darà l’intervallo più piccolo che è il secondo, procedo così fino ad

arrivare all’evento (-∞ x]. Analogamente è dimostrabile che tale σ-algebra contiene anche intervalli

], [x’,x’’) e i singoli reali x appartenenti ad R

del tipo (x’, x’’], [x’,x’’

Per dare una definizione rigorosa della σ-algebra di Borel diremo che questa è la più piccola σ-

la

algebra su Ω=(-∞, +∞) che contiene gli intervalli (-∞,x) per x R.

∈

d , la σ-algebra da utilizzare è quella di

Da questo ricaviamo che, quando Ω è un sottoinsieme di R

ue

B(R

d

Borel indicata con ). an

Em

4 Teoria sviluppata agli inizi del ‘900 e in particolare da Kolmogorov che ha assiomatizzato la

probabilità.

1.6 Definizione assiomatica di probabilità - Misura di probabilità 5

Si parla di misura o funzione di probabilità quando, data una qualsiasi funzione d’insieme definita

in σ-algebra con valori nell’intervallo [0,1], questa soddisfa i seguenti assiomi:

1° Assioma: Se la probabilità che si verifichi l’evento certo P(Ω) appartiene alla sigma algebra. Tale

valore sarà pari ad 1;

2° Assioma : Se 0<P(Ω)<1 per ogni A appartenente alla σ-algebra 6

3° Assioma: Se A è una successione di eventi puntualmente disgiunti e appartenenti alla σ-algebra

i

allora la probabilità dell’unione per n che va da 1 a +∞ delle A deve essere uguale alla somma delle

i

probabilità delle Ai. ⅀

A ∞ ∞

Data la successione A allora P(⋃ A )= P(A ).

∈

i i i

i=1 i=1

Questo assioma deve valere anche per sottoinsiemi finiti mutuamente incompatibili: ad esempio se

ho due eventi disgiunti A e B, si avrà che P(AUB)=P(A) U P(B). La probabilità deve essere una

funzione σ-additiva (ma anche additiva per un numero finito di eventi).

Da questo emerge che vi sono più misure di probabilità per la stessa σ-algebra.

Esempio: Se estraggo una pallina la probabilità che sia rossa o bianca è la somma delle probabilità

che venga estratta quella rossa e la probabilità che venga estratta quella bianca poiché i due eventi

sono incompatibili. ti o

un at

rb

pp Ba

di

A la

ue

an

5 Quella funzione che associa ad ogni insieme un numero. Dalla σ-algebra prendo un insieme e gli

do un numero.

Em

6 Si dice degli insiemi sono puntualmente disgiunti se questi sono disgiunti a due a due: dati A e A

i j

si avrà che saranno disgiunti quando la loro intersezione sarà pari all’∅.

Lezione 2 - 24 settembre 2014

1.7 Conseguenze degli assiomi

Data la definizione assiomatica di probabilità è possibile ricavare le seguenti conseguenze:

1^ conseguenza - Se A e B sono disgiunti allora la P(A B)= P(A) + P(B)

⋃

c

) = 1 - P(A)

2^ conseguenza - P(A

Dim: In ogni caso è possibile definire lo spazio campionario come l’unione fra un dato insieme A e

c c

la sua negazione (Ω = A A ), da ciò deriva che P(Ω) = P(A A ) = 1. Per il terzo assioma, poiché

⋃ ⋃

c c

) = P(A) + P(A ) = 1. Di qui deriva la tesi. cvd

i due eventi sono incompatibili, avremo che P(A⋃A

3^ conseguenza - Legge delle probabilità totali - Se A e B sono due eventi qualunque (non

necessariamente disgiunti) allora P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B).

⋃ ⋂ c 1

B) . Ciò

Dim: Possiamo scrivere l’unione fra due insiemi così come segue: A B = A (A ⋂

⋃ ⋃

comporta che la probabilità di A B è scritta come la probabilità del secondo membro, P(A B) =

⋃ ⋃

c c

B). Osserviamo inoltre che l’evento B= (A B) (A B) dove gli eventi sono

P(A) + P(A ⋂ ⋂ ⋃ ⋂

c c

B) + P(A B) da cui otteniamo che P(A B) = P(B) -

incompatibili fra loro, quindi P(B)=P(A ⋂ ⋂ ⋂

P(A B). Sostituendo quindi questa all’espressione precedente si ottiene la tesi. cvd

⋂

Possiamo generalizzare la legge delle probabilità totali considerato non solo due eventi ma n eventi:

ti o

un

In particolare se ho tre eventi la probabilità della loro unione sarà la seguente: at

P(A B C)= P(A)+P(B)+P(C) -P(A B) - P(A C) - P(B C) + P(A B C).

⋃ ⋃ ⋂ ⋂ ⋂ ⋂ ⋂

rb

pp

4^ conseguenza - Se l’insieme A B (se A è contenuto propriamente in B) (Figura 1.7.1) allora

⊆

P(A) ≤ P(B). Ba

di

A Ω

A

la

B

ue

Figura 1.7.1 - Quarta conseguenza degli assiomi

an

Em

1 c

A intersecato B è un sottoinsieme di A negazione, quindi da questo deriva che l’evento A e

c

l’evento (A B) sono disgiunti.

⋂ c c

Dim: B = A (A B), poiché i due eventi sono incompatibili avremo che P(B) = P(A) + P (A

⋃ ⋂ ⋂

B) per il secondo assioma tale quantità è positiva (0<P<1) quindi P(B) è pari a P(A) più un valore

positivo. cvd

1.8 Definizione di probabilità non matematica

Definizione classica

La probabilità è il rapporto fra numero di casi favorevoli all’evento di cui calcoliamo la probabilità

e numero di casi possibili purché tutti siano ugualmente probabili.

Esempio: Estraiamo la carta da un mazzo e calcoliamo la probabilità che sia una carta di spade -

10/40.

Tale definizione è stata largamente criticata, prima di tutto perché la definizione di probabilità entra

a monte quando si cerca di spiegare cos’è essa stessa. In secondo luogo nulla ci è detto riguardo alla

metodologia utilizzata per calcolare la probabilità quando i casi non sono equamente probabili.

Definizione frequentista

Secondo la definizione frequentista la probabilità di un evento è legata alla frequenza relativa

(limite della frequenza relativa) con cui esso si verifica in una serie ripetuta di prove nello spazio

casuale. Questa definizione è conseguenza della Legge dei grandi numeri o Legge empirica del

caso, secondo la quale in una successione di prove effettuate tutte nelle stesse condizioni, la

frequenza con la quale si verifica un evento si avvicina alla probabilità dello stesso al crescere del

numero delle prove. Tuttavia questa definizione non ci permette di definire la probabilità per eventi

ti

che non si possono ripetere per un numero elevato di volte. o

un

Definizione soggettiva at

La definizione soggettiva è una definizione assiomatica che pone enfasi sul poter assegnare la

rb

pp

probabilità ai diversi eventi in maniera coerente alle regole mentali che ci poniamo.

1.9 Probabilità condizionata Ba

di

A

La maggior parte delle volte quando calcoliamo la probabilità di un dato evento, questa va sempre

intesa come subordinata ad un dato set di informazioni. Per tale ragione è opportuno definire la

probabilità condizionata, vale a dire la probabilità che un dato evento E si verifichi sapendo che si è

già verificato un altro evento H (qualora H non si verifichi l’evento E perde di significato). In

la

termini matematici la probabilità condizionata, dato P(H)>0, sarà pari al rapporto fra la probabilità

che si verifichino contemporaneamente l’evento E e l’evento H e la probabilità che si verifichi

ue

l’evento H: an

Ovviamente, poiché sappiamo che l’evento H si verificherà, lo spazio campionario non è più Ω ma

Em

sarà pari ad H e allo stesso tempo la probabilità dell’evento certo non è pari ad uno ma è pari a P(H)

Dalla definizione di probabilità condizionata è intuitivo determinare che la probabilità

dell’intersezione fra i due eventi E ed H è pari al prodotto fra la probabilità condizionata e la

probabilità (marginale) dell’evento H (regola del prodotto):

Questa relazione è valida anche quando P(H) è pari a zero, ciò poiché E H è contenuto in E quindi

⋂

necessariamente se P(H) è uguale a zero anche P(E H) sarà pari a zero.

⋂

Gli eventi E ed H giocano un ruolo simmetrico quindi è facile definire la probabilità di H dato E:

Tenendo conto di quest’ultima definizione e di quella precedente, avremo che:

questa fattorizzazione (scomposizione di P(E H)) è detta anche legge delle probabilità composte.

ti

⋂