Probabilità e processi stocastici

E(S

t

Ora, dato che S è la somma di variabile casuali iid possiamo applicare il teorema del limite centrale

t

e concludere che:

quindi S sarà una normale con media 0 e varianza t. Il processo S così costruito, ovvero facendo

t t

tendere δ a 0, è proprio un moto Browniano o processo di Wiener standard (standard poiché la

varianza è funzione lineare solo del tempo t quindi non c’è un altro parametro che controlla la

varianza).

Quando δ → 0 il processo assume l’andamento rappresentato in Figura 6.2.2.

ti o

un at

rb

pp

Figura 6.2.2 - L’immagine rappresenta un esempio di traiettoria del moto Browniano.

Da questo procedimento costruttivo si ricava che, essendo il moto Browniano limite di una

Ba

di

A

passeggiata aleatoria semplice simmetrica, eredita tutte le proprietà di questa infatti:

- Nelle passeggiate aleatorie abbiamo somme di variabili casuali indipendenti, mentre nel caso di

un processo come quello descritto abbiamo incrementi indipendenti;

- la

Inoltre il moto Browniano è anche un processo a incrementi stazionari poiché se faccio la

differenza fra una passeggiata aleatoria al tempo t + n e una passeggiata aleatoria al temp t (con

la differenza di n passi) la distribuzione dipenderà solo dalla somma di queste n variabili casuali

ue

non dalla posizione di t e t + n il che avviene anche nel caso del processo in questione.

8.3 Definizione generale di moto Browniano

an

Un processo X a tempo continuo con t ≥ 0 è un moto Browniano se soddisfa le seguenti tre

t

condizioni (analoghe a quelle viste per il processo di Poisson):

Em

7 Con questa assunzione il valore dell’incremento dipende dall’ampiezza degli intervalli di tempo δ.

1) X = 0;

0

2) Quali che siano i tempo s , s , … s e i tempi t , t , … t con s < s + t ≤ s < s + t ≤ …≤ s <

1 2 k 1 2 k 1 1 1 2 2 2 k

s + t (istanti di tempo disgiunti) le variabili casuali incremento

k k

fra i diversi tempi, devono essere indipendenti fra loro (come erano indipendenti gli incrementi

nel processo di Poisson);

3) Gli incrementi devono essere stazionari e normali cioè:

Da un punto di vista più intuitivo e grafico questa definizione possiamo vederla come illustrata

nella Figura 6.3.1 X s +t

1 1

X s s s + t

1 1 1 1

ti

Figura 6.3.1 - L’immagine rappresenta una traiettoria del processo in questione che ha un andamento molto erratico,

o

quindi se ad esempio considero s e s + t , l’incremento (X - X ) è una realizzazione da una normale con media 0 e

1 1 1 s +t s

un

1 1 1

2

t . Tale realizzazione è indipendente da X - X = X .

varianza c 1 0 s s

1 1 at

rb

pp Ba

di

A la

ue

an

Em Lezione 30 - 5 dicembre 2014

5.4 Teoremi sulle traiettorie del moto Browniano

I teoremi che enunceremo ora hanno a che fare con le traiettorie e non con le proprietà delle

variabili casuali.

5.4.1 Primo teorema

Le traiettorie del moto Browniano Xt per t ≥ 0 hanno lunghezza infinita per ogni intervallo di tempo

finito.

Questo vuol dire che se andassi a stendere la traiettoria in un arco temporale finito la lunghezza di

questa è infinita.

Dimostrazione

Se riprendiamo il procedimento costruttivo del moto Browniano come limite di una passeggiata

aleatoria visto nei paragrafi precedenti, si ha che nell’intervallo [0, t], diviso in tanti in piccoli

intervallini di ampiezza δ, vi sono t/δ realizzazioni di una Bernoulli. Per dimostrare quanto detto

consideriamo la lunghezza media della traiettoria: sappiamo che in ogni intervallo la lunghezza del

passo è pari a z (indipendentemente dal fatto che vado in avanti o indietro). Da questo deriva che la

lunghezza media della traiettoria nell’intervallo considerato è pari a:

ti o

un at

Questo risultato deriva dall’andamento erratico della traiettorie quindi impiega un tempo infinito

rb

pp

per arrivare a t.

5.4.2 Secondo teorema Ba

di

A

Dal primo teorema possiamo trarre delle nuove considerazioni, infatti l’andamento erratico

comporta che la traiettoria non è differenziabile pur essendo continua (questo deriva dal fatto che in

ogni punto la tangente sarà infinita poiché in certi casi è negativa in altri positiva).

la

Le traiettorie di un modo Browniano sono continue ma non differenziabili

Dimostrazione per il modo Browniano standard

ue

L’incremento del processo nell’intervallo (t, t + Δt) si distribuisce come una normale di media 0 e di

varianza Δt, da questo deriva che la varianza coincide con il momento secondo della distribuzione:

an

2

- X | ) = Δt

E(|X

t + Δt t

Em

Si conclude quindi che la media dell’incremento in valore assoluto è approssimativamente

dell’ordine di √Δt (questo poiché se i quadrati si distribuiscono come Δt, la radice quadrata della

stessa variabile si distribuisce come √Δt):

E(|X - X |) è dell’ordine di √Δt

t + Δt t

Allora, se Δt → 0 allora l’intervallo di tempo (t, t + Δt) → t quindi si riesce ad intravedere la

continuità della funzione (nota che t + Δt - t tende a 0) infatti:

è una conferma della continuità.

Calcoliamo a questo punto la derivata e vediamo che questa non esiste poiché infinita (ricorda che

gli incrementi sono dell’ordine di Δt):

poiché il denominatore va più velocemente a 0.

In definitiva si può dire che localmente la traiettoria ha un comportamento erratico.

ti o

un at

rb

pp Ba

di

A la

ue

an

Em Lezione 31 - 9 dicembre 2014

5.5 Legge congiunta di X , X , … X in un moto Browniano

t t t

1 2 k , X , … X ) inquadriamo il problema dal punto

Prima di determinare la legge congiunta di X = (X

t t t

1 2 k

di vista grafico come in Figura 8.5.1:

t t t … t

1 2 3 k

Figura 5.5.1 - La figura illustra possibili realizzazioni di un moto Browniano, quello che vogliamo fare è determinare la

distribuzione congiunta X. Fissati i k tempi come in figura, sappiamo che la distribuzione dei diversi X è

t

k

2 t .

marginalmente normale con media 0 e varianza c k 2

Come si evince dalla Figura 8.5.1, sappiamo già che X Normale (0, c t ) per definizione del

∼

t 1

1

1

moto Browniano , cosa che vale anche nel caso degli altri incremento. A questo punto posto il

ti

vettore X = (X , X , … X ), determiniamo la legge di X (che dimostreremo essere multinormale).

t t t

1 2 k o

Per arrivare a dimostrare la multinormalità sono plausibili due strade anche se non ci appresteremo

un , la distribuzione di X | X e così

a seguire quella nella quale si modellano le distribuzioni di X

t t t

1 2 1

at

condizionatamente a X = x :

via. Per far questo introduciamo la densità della variabile X

t t j-1

j j-1

rb

pp

e sfruttiamo l’indipendenza degli incrementi. Infatti sappiamo che il processo è a tempi indipendenti

condizionatamente a tutto quello che avviene prima di

quindi mi aspetto che la distribuzione di X

t

j

dipenderà (come nella markovianità) solo da quello che accade al tempo t . Ciò è osservabile sin

t j j-1

Ba

di

da subito, infatti prendendo in esame la funzione di ripartizione della variabile X t

A j

condizionatamente a tutta la storia del processo:

< x | X = x , … X = x ) = P(X - X < x - x | X = x , … X = x )

P(X t j t 1 t j-1 t t j j-1 t 1 t j-1

j 1 j-1 j j-1 1 j-1

la

sto in x , per far si che X < x deve

Ciò perché in termini di incremento se so che se al tempo X

t j-1 t j

j-1 j

- X sia minore della differenza x - x (Figura 5.5.2).

accadere che l’incremento X

t t j j-1

j j-1 ue

an

Em

1 Nota che X è pari a X -X , ovvero l’incremento fra 0 e t .

t t 0 1

1 1 x j

X t

j

X = x

tj-1 j-1 t t

j-1 j

Figura 5.5.2 - Come si evince dal grafico solo nel caso in cui l’incremento X - X è minore della differenza x - x

tj tj-1 j j-1

allora è vero che X < x . Queste considerazioni si possono fare anche nel caso del processo di Poisson.

tj j

Sappiamo inoltre che gli incrementi nel moto Browniano sono indipendenti per definizione, quindi

(poiché ad esempio X è pari a X -X ovvero la probabilità che voglio calcolare condiziona

t t 0

1 1

- X a X , X , … X che sono gli incrementi fra 0 e i diversi tempi) avremo:

l’incremento X

tj tj-1 t t t

1 2 j-1

- X < x - x | X = x , … X = x ) = P(X - X < x - x )

P(X t t j j-1 t 1 t j-1 t t j j-1

j j-1 1 j-1 j j-1

quindi dipende tale probabilità, ovvero la funzione di ripartizione della variabile X t j

condizionatamente a tutta la storia del processo, in realtà dipende solo da quello che è accaduto nel

tempo precedente. Per definizione di moto Browniano sappiamo che gli incrementi hanno

2 Δt (dove Δt indica l’incremento di tempo fra una

distribuzione Normale con media 0 e varianza c

realizzazione ed un’altra) quindi P(X - X < x - x ) è una probabilità relativa ad una Normale. A

t t j j-1

j j-1

questo punto posso standardizzare la variabile (sottraendo la media e dividendo per lo scarto

ti

quadratico medio) e avere: o

un at

Ovvero la funzione di ripartizione di una Normale standard nel punto .

rb

pp condizionatamente a tutta la storia precedente del

A questo punto posso calcolare la densità di X

t

j , della funzione di ripartizione trovata (poiché

processo, poiché questa sarà la derivata, rispetto a x

j Ba

di

in generale la funzione di densità è pari alla derivata della funzione di ripartizione):

A la

Densità di una normale standard nel punto

ue

2

dove l’ultimo passaggio deriva dal fattore che dall’espressione che assume la densità si nota che

questa dipende solo dal valore che assume x . Possiamo riscrivere la precedente espressione

j-1

esplicitando la densità della normale standard di cui sopra e otteniamo:

an

Em

2 Il moto Browniano è di fatti un processo Markoviano: la markovianità deriva dall’indipendenza

degli incrementi quindi quello che conta è solo l’ultimo tempo osservato.

Si conclude che la densità della j-esima posizione del moto Browniano condizionatamente ai valori

assunti precedentemente dal processo (ovvero l