Probabilità e Matematica per la Statistica + Esercizi

Probabilità Discreta

• Introduzione
  • La statistica può essere utilizzata per inferire delle proprietà dei parametri del modello che non si possono dedurre dalla logica.
  • Probabilità: modellizzazione.
  • Statistica: analisi del campione e ritorno alle informazioni.

Probabilità Elementare

• Spazio degli Stati

  Un Esperimento Aleatorio è un esperimento che può avere differenti risultati anche se ripetuto sostanzialmente allo stesso modo (lancio dadi).

  Lo Spazio degli Stati dell'Esperimento (Ω) è l'insieme di tutti i possibili risultati.

  • Ex: Lancio di dadi: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} discreto (finito o numerabile)
  • Durata lampadina: [0, b] ⊆ Ω ⊆ ℝ, continuo (intervallo ⊆ ℝ)
• Eventi

  L' evento è un sottoinsieme dello spazio degli stati. E ⊆ Ω

  Operazioni sugli eventi:

  • Unione: ∪
  • Intersezione: ∩
  • Complementare: ⟶

  E₁ ∪ E₂

  E₁ ∩ E₂

  E: Eᶜ = Ω \ E

• Eventi Disgiunti se A ∩ B = Ø

  Le proprietà:

  • (A ∪ B)ᶜ = (Aᶜ ∩ Bᶜ)
  • (A ∩ B)ᶜ = Aᶜ ∪ Bᶜ
  • (A ∪ B)ᶜ = Aᶜ ∩ Bᶜ
  • (Aᶜ ∪ Bᶜ)ᶜ = A ∩ B
  • (Aᶜ ∩ Bᶜ)ᶜ = A ∪ B
• Probabilità

  Una probabilità su uno spazio degli stati (Ω) associa un numero tra 0 e 1 a ogni evento E.

  Quando lo spazio degli stati consiste di n possibili elementi equiprobabili, allora la probabilità di ogni elemento = 1/n.

  Se in un esperimento tutti i possibili risultati sono finiti ed equiprobabili allora:

  P(E) = \(\frac {n^\text{o} \text{elementi di } E}{n^\text{o} \text{elementi dello spazio}}\)

Probabilità Discreta

• Introduzione
  • La statistica può essere utilizzata per inferire delle proprietà dei parametri del modello che non si possono dedurre dalla logica.
  • Probabilità - modellizzazione
  • Statistica - analisi del campione e ritorno alle informazioni

Probabilità Elementare

• Spazio degli Stati

  Un Esperimento Aleatorio è un esperimento che può avere differenti risultati anche se ripetuto sostanzialmente allo stesso modo (lancio dadi).

  Lo Spazio degli Stati dell'Esperimento (S) è l'insieme di tutti i possibili risultati.

  • Ex: Lancio di dadi: S = {1,2,3,4,5,6} discreto (finito o numerabile)
  • Durata lampadina: [a, b] ⊂ S ⊂ R continuo (intervallo ⊂ R)

  Evento L'evento è un sottoinsieme dello spazio degli stati: E ⊆ S

  Operazioni sugli eventi

  • E₁, E₂
    • (Unione = ∪)
    • (Intersezione = ∩)
    • (Complementare = ᶜ)

  Eventi disgiunti se (A ∩ B) = Ø

  Le proprietà

  • (A ∪ B) ⊂ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) (A ∪ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) (A ∩ B)ᶜ = Aᶜ ∪ Bᶜ (A ∪ B)ᶜ = Aᶜ ∩ Bᶜ

  Probabilità

  • Una probabilità P sull'insieme degli stati (S) associa un numero tra 0 e 1 a ogni evento.
  • Quando lo spazio degli stati consiste di n possibili elementi equiprobabili, allora la probabilità di ogni elemento è 1/n.
  • Se in un esperimento tutti i possibili risultati sono finiti ed equiprobabili allora: P(E) = (n_° elementi di E) / (n_° elementi dello spazio)

Assiomi della Probabilità

Una probabilità P su uno spazio degli stati S soddisfa le seguenti:

1. P dell'intero spazio degli stati è uno
2. Per ogni evento E: 0 <= P(E) <= 1
3. Per ogni coppia di eventi E₁, E₂: ... >= 0

• Se E₁, E₂, ..., E_k con k < Z eventi disgiunti → P(E₁ U E₂ …) = ...
• Se S è finito, P è somma di k …
• Se S è infinito numerabile, ogni probabilità …
• Se S è finito numerabile, P è somma di doppi elementi di E
• Se tutti i risultati sono finiti e riscrivibili

ES: M persone

Compremesso m stesso giorno

→ ...

ES

Modi con cui ...

→ 10 . 8 . 1 ... = 3840

ES

3 bambini e 3 ba