Probabilità e Matematica per la Statistica + Esercizi

Probabilità Discreta

• Introduzione

La statistica può essere utilizzata per inferire le proprietà dei parametri del modello che non si possono dedurre dalla logica.

Probabilità: modellizzazione

Statistica: analisi del campione e ritorno alle informazioni.

Probabilità Elementare

• Spazio degli Stati

Un Esperimento Aleatorio è un esperimento che può avere differenti risultati anche se ripetuto esattamente allo stesso modo (lanci dadi).

Lo Spazio degli Stati dell'esperimento (S) è l'insieme di tutti i possibili risultati.

Ex: Lancio dei dadi: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Durata lampadina: [0, t] ⊆ ℝ, S ⊆ ℝ, t continua (intervallo ⊆ ℝ)

• Evento

L'evento è un sottoinsieme dello spazio degli stati, E ⊆ S.

Operazioni sugli eventi:

• E₁ ∪ E₂
• E₁ ∩ E₂
• E^C = S \ E

Evento disgiunto se:

A ∩ B = ∅

• La proprietà:

(A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)

(A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C)

(A ∪ B)^C = A^C ∩ B^C

(A ∩ B)^C = A^C ∪ B^C

• Probabilità

Una probabilità P sullo spazio degli stati S associa un numero tra 0 e 1 a ogni elemento.

Quando lo spazio degli stati consiste di n possibili elementi equiprobabili allora la probabilità di ogni elemento è ¹/_n. Se in un esperimento tutti i possibili risultati sono finiti ed equiprobabili allora:

P(E) = ^{n₀ elementi di E}/_{n0 elementi dello spazio}

Assioni della Probabilità

Una probabilità P su uno spazio degli stati SΩ soddisfa le seguenti:

1. P(s) = 1
2. Per ogni evento E ⊆ SΩ, 0 ≤ P(E) ≤ 1
3. Per ogni coppia di eventi E1, E2 ⊆ SΩ

Conseguenze

1. P(∅) = 0
2. Per ogni evento E, P(E) + P(¬E) = 1
3. P(E1 ∪ E2) = P(E1) + P(E2) se E1 ∩ E2 = ∅
4. Se ci sono k eventi disgiunti E1, E2, ..., Ek, allora:
5. P(E1 ∪ E2 ∪ ... ∪ Ek) = Σ P(Ei)

Se ci sono n risultati numerabili in SΩ e gli eventi E1, E2, ..., En sono equiprobabili, allora:

• P(Ei) = numero_di_elementi_di_E / numero_di_elementi_di_SΩ

Es

M persone → che non vi sia una coppia che abbia i compleanno lo stesso giorno

• 365/365 × 364/365 × ... × (365-n+1)/365 = (365)! / (365-n)!

Es

Mod. con Leg. 5 coppie di fidanzati possono essere messi in una fila di 10 tale che le coppie abbiano posti vicini?

• 10 × 8 × ... × 2 × 1 = 3840

Es

3 bambine e 3 bambini e la probabilità che sono seduti alternati.

• 2 × favorevolo: 6! / (3! × 3!) = 10

EX

In quanti modi si possono mettere in fila 3 bambini e 3 bambine in modo che siano alternate?

illegibile3!3! = 2 66 · 6 = 36

EX

Il sacchetto contiene 5 palline rosse numerate e la seconda è blu numerata.In quanti modi si selezionano 3 rosse e 2 blu e si dispongono (orizzontalmente) in un array?

C_3,5 C_2,4 · 5!5! = 120/ 3! 2!= 10= 6= 5! = 7200

EX

Quanti passwords si possono generare con 3 numeri tra 1,2,3,4,5presi al massimo una volta?

C_3,5 · P₃ = 5 · 4 · 3/3!= 60

EX

Un dado equilibrato e un dato con probabilità che esca un paria 1/2 con x=4,5,6

Lancio entrambi i dati, probabilità che il massimo tra due numeri è 2?

illegibileCaso 1 

• (1,2)

= 1 · 4 = 1

• (2,1)

= 2 · 3 = 6

• (2,2)

= 1 · 1 = 15/72

EX

A B e C eventi indipendenti. Mostrare che (A∪B) e C indipendenti

• P(A∪B) =
• (addiz di pr)
• P(C) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
• (indep A∩B
• P(A)P(B)

•

1. P(AnC) = P(A)P(C)(indep A

• P