Probabilità

ESPERIMENTO ALEATORIO

Gli esperimenti aleatori sono esperimenti il cui risultato non può essere previsto con certezza un anticipo

La Teoria Della Probabilità

1. SPAZIO CAMPIONARIO insieme di tutti gli eventi elementari E' lo spazio di tutti i possibili risultati dell'esperimento ed è denotato con chiamato l'osservazione dell'esperimento

2. GLI EVENTI E' un fatto per il quale - se l'esperimento aleatorio si può dire se si è verificato oppure no.

   • Un evento è sottinsieme di;
   • L'evento contrario di A è;
   • L'evento A B è l'unione;
   • L'evento A B è intersezione;
   • L'evento certo è;
   • L'evento impossibile è Il insieme vuotoo

3. LA PROBABILITA Dato un qualunque evento A, si associa un numero P(A) detto probabilità di A. Questo numero rappresenta la probabilità di A di realizzarsi ed è un numero compreso tra 0 e 1.

ASSIOMI DI PROBABILITÀ

Definizione Di Algebra

Sia 1 uno SPAZIO CAMPIONARIO di astratto e sia 2 l' insieme delle potes of 1. Sia C 22c_ Ad 1 infinitudine dello svuotamento del hum 1 NORRIS chi Minimo.

1. Se A e ₁, allora ^c è C₁ (Chiusa per complementazione)

2. è ₁ chiusa per intersezioni e unioni FINITE

3. A₁, A₂, ..., A_n e₁ allora ¹ A_k e ₁ è C₁

Definizione Di ^c-Algebra

Sia uno SPAZIO CAMPIONARIO astratto e sia 2 l' insieme delle power di i. Sia C₂ l'unione alfiore mappika, ^c-Algebra quanta viene detta INFINITE numerossali

1. ; e ^c C₂ (Chiusa per complementazione)

2. è CHIUSO per intersezioni e unioni INFINITE NUMEROSALI

3. A₁, A₂, ..., A_n e_g allora ² A_k e ₂

Definizione

Dato _c ^ε ₂ ^Ω, chiamiamo _σ(_c) la σ-algebra generata da Ω.

Definita

• τ-algebra
• a 2° Ω gogere σ-algebra

Dimostrazione

1. Esiste sempre perché σč è σ-algebra inserita soci proin.
2. σč una famiglia di σ-algebra riduco socio, suo σ-algebra.
3. σ_c(_ε) una occhi riduco di tutte minore σ-algebra.
4. Fo AU vedere famiglia σ_c(_ε) = rindo.

Se c₁ è σ-algebra su X, allora c₂ è sin σ-algebra su cl.

Sia _Ak, _k ≥ 1 c_k, allora defuito A_n+1 → A_{n +2} = A_n allora.

Se X = _R la σ_c-algebra di Borel è mio σ-β.

Algebra generata: T, A_c∈_R A e feci, G

_Bc = σ(_c carcio).

E = {x in gη _c A altro} _b ^ria comodo. Guardario in cianardo anche incluso poco substo tra

Premessa

_L n_n e subdividiamo e su c ac re e n

"Ora fame io numerico pochi un numero numerabili numerabile

Ora fo premessa peso dimostrare il teorema

Corollario 4 (carattere di Q di P) (caratterizzazione)

Considero (X, A) spazio misurabile. Siano P e Q due probabilità definite su (X, A) e sia q ⊆ Q(A) con Q è chiuso per intersezione finita. Allora tale che P(A) = Q(A) ∀A ∈ q Allora: P = Q ∀A ∈ A.

Dimostrazione:

Corollario 2 (costruzione probabilità unica)

Sia (X, A) uno spazio campionario, A algebra su X e A₁ ⊆ A un sistema di due probabilità su di tale che:

P(A) = Q(A) ∀A ∈ A₁ Allora esiste ed è unica l'estensione tale che:

P_A = Q_A ∀A ∈ A.

Costruzione di probabilità su R

Definizione:

Sia P σ-algebra di Borel su R

Siano su una probabilità su (R, B) la funzione di ripartizione usata da P

F(x) = P((-∞, x])

∀x ∈ R, F:R → [0,1]

Teorema. La funzione di ripartizione F(x) caratterizza P:

avvero date due probabilità P₁, P₂ ∈ B, allora P₁ = P₂ ⟺ F₁ = F₂.

Dimostrazione:

⇒ ovvia

⇐

Sia E = {[c, 0.9] tale che q ∈ Q} tali che σ(E) = B.

e' chiuso per intersezioni finite: (-0.9, 1] ∩ (-∞, 0.9] = (-0.9, 0.9]

B ⊂ E poiché è il minimo tra q, E.

G = F₁ = F₂ per ipotesi

F₁(x) = F₂(x) ∀x ∈ R

Tali che di funzione di ripartizione

F₁(q) = F₂(g) ∀g ∈ Q.

P_B(E) = Q_B(E) ∀B ∈ E perché E è chiuso in intersezione finite C.V.D.

Teorema. (Costruire una probabilità)

Sia F: R → [0,1] una funzione di ripartizione. Questa è associata ad una probabilità B: BI → [0,1] se e solo se:

1. F è non decrescente
2. F è continua da destra
3. lim F(x) = 0 x → -∞ e lim F(x) = 1 x → +∞

Definizione

Dato uno spazio di probabilità (Ω, A, P) e uno spazio misurabile (F, F), chiamiamo una variabile aleatoria la legge di X, dove X : Ω → F è una variabile aleatoria. La probabilità:

Proposizione

è X* una probabilità.

Dimostrazione

1. P_X(F) = P(X ∈ F) = P(X^-1(F)) = P(A) = 1.
2. B_n ∩ B_m = ∅: B∩C = ∅ ⇒ P_X(∪ _i=k ^+∞ B_n) = P(∪ _i=k ^+∞ B_n) = ∑ _i=j ^+∞ P(X ∈ B_n) = ∑ _i=j ^+∞ P_X(B_n).

Osservazione:

• Se (F, F) → (R, B) → P_X* caratterizzano una funzione di ripartizione.
• F_X: R → [0,1]: F_X(t) = P(X ∈ (-∞, t]) = P(X ≤ t).

Definizione

Sia (Ω, A, P) uno spazio di probabilità e (F, F) uno spazio misurabile con X, Y: Ω → F variabili aleatorie.

X = Y quasi certamente se P(X = Y) = 1.

NB (X = Y) - (X - Y = 0) ∈ A.

Proposizione

Due variabili aleatorie che sono uguali quasi certamente hanno la stessa legge:

• Sia (Ω, A, P) uno spazio di probabilità e (F, F) uno spazio misurabile con X, Y: Ω → F variabili aleatorie.
• X = Y quasi certamente ⇒ P_X = P_Y.

Dimostrazione

Sia B ∈ F.

P_X(B) = P(X ∈ B) = P(X ∈ B, X = Y) = P(Y ∈ B, X = Y) - P(Y ∈ B) - P_Y(B).

Definizione

Una proprietà vale quasi certamente se ∃A ∈ A tale che:

• P(A) = 1
• Proprietà vale ∀ω ∈ A