Probabilità

FORMULE PROBABILITÀ

Definizioni

1. Evento
   • certo
   • impossibile
   • incerto

Evento \(E \quad \Rightarrow \quad E \; \text{evento contrario}\)

Evento semplice \(\quad \Rightarrow \quad \text{estraggo da un mazzo di carte una figura}\)

Evento composto \(\quad \Rightarrow \quad \text{estraggo una figura o una carta di fiori}/\text{estraggo una figura e una carta minore di 5}\)

Eventi indipendenti \(\quad \Rightarrow \quad \text{Il verificarsi di uno dei due non influenza il verificarsi dell'altro}\)

Eventi dipendenti \(\quad \Rightarrow \quad \text{si influenzano}\)

Probabilità

\(P(E) = \frac{n^\circ \text{casi favorevoli}}{n^\circ \text{casi possibili}}\)

\(\Rightarrow \quad 0 \leq p \leq 1\)

1. se \(p = 0\) evento impossibile e \(p = 1\) evento certo
2. se \(P(E) = p \quad \Rightarrow \quad P(\overline{E}) = 1 - p\)

1

PROBABILITÀ TOTALE

Dati due eventi E₁ e E₂ incompatibili

p(E₁) + p(E₂) → p(E ∪ E₂)

• E₁ → esce un 1
• p(E₁) = 1/6
• E₂ → esce un n. maggiore di 3
• p(E₂) = 1/2

p(ɵ) = 1/6 + 1/2 = 3/3

Dati due eventi E₁ e E₂ compatibili

p(E₁ ∪ E₂) = p(E₁) + p(E₂) - p(E₁ ∩ E₂)

• E₁ → esce un n° pari
• p(E₁) = 1/2
• E₂ → esce un n° > 5
• p(E₂) = 2/6

B → esce un n° pari o > 5 → 1/2 + 2/6 - 1/6 = 3/6 + 1/6 = 4/6

PROBABILITÀ CONDIZIONATA

Vogliamo trovare la probabilità di un evento che esclude in un altro evento

p(E₁/E₂) probabilità dell'evento E₁ condizionata dell'evento E₂ (cioè E₂ sia verificato)

p(E/E₁) = p(E₁ ∩ E₁)/p(E₂)

Ho 12 dischetti numerati da 1 a 12

• E₁ → esce un multiplo di 3 → 3, 6, 9, 12
• E₂ → esce un n. di numeri 3 → 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12

Se avete ben chiari i concetti e la differenza tra eventi compatibili/incompatibili e compatibili dipendenti/compatibili indipendenti la faccenda si fa ancora più semplice e con l'aiuto della seguente tabellina sarà davvero molto semplice procedere alla risoluzione di un problema:

Teorema di Bayes

Siano E₁ ed E₂ due eventi dipendenti. Abbiamo già ricordato che:

P(E₁ ∩ E₂) = P(E₁) · P(E₂|E₁)

o analogamente

P(E₁ ∩ E₂) = P(E₂) · P(E₁|E₂)

Osservando che le precedenti equazioni hanno il primo membro uguale, possiamo eguagliare il secondo avendo:

P(E₂) · P(E₁|E₂) = P(E₁) · P(E₂|E₁),

da cui:

P(E₁|E₂) = ^{P(E₁) · P(E₂|E₁)} / _P(E2)

oppure

P(E₂|E₁) = ^{P(E₂) · P(E₁|E₂)} / _P(E1)