probabilità 1

PROBABILITÀ DISCRETA

Spazio degli stati (Ω) = l'insieme di tutti i possibili risultati di un esperimento

• discreto = nr. di elementi finito (IN) {1, 2, ... k?}
• continuo = numerabile (IR) {1, 2, ... ?}
• continuo = contiene un intervallo di nr. reali

Evento : E ⊆ Ω

• E₁ ∪ E₂ (informatica "or")
• E₁ ∩ E₂ (informatica "and")
• complementare E^c = Ω \ E

eventi mutuamente disgiunti A ∩ B = ∅

Diagrammi di Venn

(A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)

(A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C)

Legge di Morgan

(A ∪ B)^c = A^c ∩ B^c

(A ∩ B)^c = A^c ∪ B^c

Probabilità su Ω associa un nr. tra 0 e 1 a E.

• P : Ω → [0,1] ⊂ IR.
• E ↦ P(E) nr. tra 0 e 1

Esempio lancio una moneta

• P : Ω → [0,1]
• T ↦ P(T) = 1/2
• C ↦ P(C) = 1/2

P(T ∪ C) = 1 → P(Ω) = 1

P(∅) = 0

Esperimento

dementi equiprobabili e finiti

• P(E) = _{nr. dementi in E} / ^{nr. dementi su Ω}

Assiomi di prob

• P(Ω) = 1
• 0 ≤ P(E) ≤ 1
• E₁ ⊂ E₂ ⇒ P(E₁) ≤ P(E₂)
• P(E₁ ∩ E₂) = ∅ ⇒ P(E₁ ∪ E₂) = P(E₁) + P(E₂)

• P(E^C) = 1 - P(E)
• P(∅) = 0
• P(Ω) = 1 - P(Ω^C) = 1 + 1 = 1 • 0
• E₁ ⊂ E₂ ⇒ P(E₁) ≤ P(E₂)

• E₁, ..., E_n sono disgiunti: ⇒ P(E₁ ∪ ... ∪ E_n) = _nΣ_i=1 P(E_i)
• ∧ infinito numerabile: ⇒ P(E) = Σ P({x: i x∈i})

Estrazioni con e senza rimessballamento

• con n > m
• senza m ≤ m₀

Regola di addizione

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

Dimostrare!

P(A ∪ B) = P(A ∪ B^C) + P(A^C ∩ B^C)

A ∩ B ≠ ∅ → A e B non sono disgiunti:

⇒ P(A ∪ B) = P(A ∖ B) + P(B ∖ A) + P(A ∩ B)

Variabili aleatorie discrete

• var. aleatoria = funzione X: Ω → ℝ t.c {ω: X(ω) = t} ∈ A _∀t∈ℝ
• evento {ω∈Ω: X(ω)∈A} = P(X∈A)

Esempio:

Siano lanciati due dadi: Sia X la somma dei due nr.

Ω = {(i,j): 1 ≤ i, j ≤ 6} e X((i,j)) = i + j

• X: {(i,j): 1 ≤ i, j ≤ 6} → ℝ
• (i,j) → i + j

Esempio 2:

vita di una lampadina

T: [0, ∞) → ℝ

• X → x̅
• (x) = x

• funzione indicatrice _E(x) = ^{1 se x∈E}0 se x∉E

X = 1_E

Ω → ℝ

• ω → 1 con ω∈E
• ω → 0 con ω∈E^c

• Legge / Distribuzione di X = descrizione delle prob. associate ai valori di X (LISTA)

A → P({ω∈Ω: X(ω)∈A}) con A∈ℝ

→ P(X∈A)

Esercitazione pag 84 (Calcolo Combinatorio)

1) In quanti modi possibili si possono mettere in fila 3 bambini e 3 bambine in modo che siano alternati?

Abbiamo 2 gruppi dove ciascun gruppo ha 3 elementi:

(3! + 3!) = 6! in fila poi bisogna escludere

3! 3! = 36 modi in cui non sono alternati.

2) 2 scatole: 5 palline rosse numerate,

4 palline blu numerate.

In quanti modi posso scegliere 3 rosse e 2 blu in un array?

Combinazioni = \(\binom{5}{3}\) \(\binom{4}{2}\) \(\binom{9}{5}\)

Esercizi su Var. Aleatorie Discrete

Es 1) Si tirano due dadi indip. Sia X la somma dei due risultati ottenuti. Qual è P(X ≥ 11)?

\(N = \{(i,j) | 1 ≤ i,j ≤ 6\}\) e \(X(i,j) = i + j\)

\(P(X ≥ 11) = P(X = 11) + P(X = 12) = \frac{1}{36} + \frac{1}{36} = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}\)

Nr. totale di coppie: 36 e (i,j) sono eventi equiprob.

Es 2) Si lanciano due monete indip. Sia N la var. aleatoria che denota il nr. di croci. Allora \(P(N = 0) = 0.25\), \(P(N = 1) = 0.5\) e

\(P(N = 2) = 0.25\)

\(f_N(x) = \begin{cases} 0.25 &\text{se } x = 0 \\ 0.5 &\text{se } x = 1 \\ 0.25 &\text{se } x = 2 \\ 0 &\text{altrimenti} \end{cases}\)