probabilità 1

Probabilità Discreta

Spazio degli stati (Ω) = l'insieme di tutti i possibili risultati di un esperimento

• discreto = nr. di elementi finito (IN) {3, 2... k?}
• continuo = contiene un intervallo di nr. reali

Evento : E ⊆ Ω

E1 ∪ E2 (informatica "or")

E1 ∩ E2 (informatica "and")

complementare E^c = Ω \ E "set minus"

eventi mutuamente disgiunti A ∩ B = φ

Diagrammi di Venn

(A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)

(A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C)

Legge di Morgan

(A ∪ B)^c = A^c ∩ B^c

(A ∩ B)^c = A^c ∪ B^c

Probabilità su Ω associa un nr. fra 0 e 1 a E:

P : Ω -> [0, 1] ⊂ IR

E -> P(E) nr. fra 0 e 1

Esempio lancio una moneta

P : Ω -> [0, 1]

T -> P(T) = 1/2

C -> P(C) = 1/2

P(T ∪ C) = 1 -> P(Ω) = 1

P(φ) = 0

Probabilità Discreta

• discreto = nr. di elementi finito (IN) {3, 2, ... k?}
• numerabile (IR) {1, 2, ... ?}
• continuo = contiene un intervallo di nr. reali

Evento: E ⊆ Ω

• E∪E₂ (informatica "or")
• E∩E₂ (informatica "and")
• complementare E^c = Ω \ E

eventi mutuamente disgiunti A∩B = ∅

Diagrammi di Venn

(A∪B)∩C = (A∩C)∪(B∩C)

(A∩B)∪C = (A∪C)∩(B∪C)

Legge di Morgan

(A∪B)^c = A^c∩B^c

(A∩B)^c = A^c∪B^c

Probabilità su Ω associa un nr. fra 0 e 1 a E.

P : Ω → [0, 1] ⊂ IR.

E → P(E) nr. fra 0 e 1

Esempio lancio una moneta

• P: Ω → [0, 1]
• T → P(T) = 1/2
• C → P(C) = 1/2

P(T∪C) = 1 → P(Ω) = 1

P(∅) = 0

Esperimento: eventi equiprobabili e finiti

P(E) = n. elementi in E / n. elementi su Ω

Assiomi di prob

• P(Ω) = 1
• 0 ≤ P(E) ≤ 1
• E₁ ∩ E₂ = ∅ → P(E₁ ∪ E₂) = P(E₁) + P(E₂)

P(E^c) = 1 - P(E)

E₁ ⊂ E₂ → P(E₁) ≤ P(E₂)

E₁, ..., E_n sono disgiunti → P(E₁ ∪ ... ∪ E_n) = Σ P(E_i)

Estrazioni con e senza reimmissionamento

• "con" n > m
• "senza" m ≤ n

Regola di addizione P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

P(A ∩ B) = ∅ → A e B non sono disgiunti

→ P(A ∪ B) = P(A) + P(B) + P(A ∩ B)

Probabilità Condizionale

P(A|B) := P(A∩B) / P(B), se P(B) ≠ 0

evento dato/nota "sapendo che è successo B, la prob. di A è..."

P(A∩B) = P(A|B) P(B) = P(B|A) P(A)

P(∅|B) = 0

P(A₁∪A₂|B) = P(A₁|B) + P(A₂|B)

P(A^c|B) = 1 - P(A|B)

P(B) = P(B∩A) + P(B∩A^c) = P(B|A) P(A) + P(B|A^c) P(A^c)

Esempio: Patrick va al pub e seleziona a caso uno dei suoi pub preferiti; la prob. di incontrare Caroline è P(C|A₃) = 4/5.

• P(C|A₁)P(C|A₂)P(C|A₃)

Legge delle probabilità o legge delle alternative

Indipendenza

P(A|B) = P(A)

P(A∩B) = P(A) P(B)

osserva: A∩B ≠ ∅

• Formula di Bayes → regola di moltiplicazione

P(A|B) = P(A ∩ B) = P(B|A) P(A)

P(B) P(B)

Legge delle alternative P(A|B) = P(B|A) P(A)

P(B|A)P(A) + P(B|A_C)P(A_C)

• Esercizio sapendo che sabato scorso ha incontrato Caroline

qual è la prob. che l'incontro sia avvenuto al caffè?

P(A₁|C) = P(A₁ ∩ C) − P(C|A₁) P(A₁)

P(C) = P(C|A₁)P(A₁) + P(C|A₂) P(A₂) + P(C|A₃)P(A₃)

= ¹/₅ * ⁴/₁₅ = ¹/₄ * ⁴/₅ + ⁸/₁₅ * ³/₅

• Calcolo Combinatorio

n elementi distinguibili P_n=n! = 1.2.3... (n−1)n

posizionati in un array

• disposizioni con ripetizione di n oggetti k al