prerequisiti corso analisi matematica 1

Analisi 1 ripasso veloce: Insiemi

Un insieme è un concetto primitivo, è formato da elementi, e per riconoscerlo si guardano gli elementi al suo interno. Possiamo introdurre un insieme nei seguenti modi:

• A = {X : X è una vocale} proprietà caratteristica
• A = {a, e, i, o, u} per elencazione

Rappresentazione grafica

Si dice: e ∈ A ↔ e appartiene ad A
¬ d ∈ A ↔ d non appartiene ad A
A ⊂ B vorrebbe dire: A sottoinsieme di B, tutti gli elementi di A appartengono anche a B, in simboli, possiamo scrivere anche: ∀ a ∈ A ↔ a ∈ B
A ⊄ B almeno un elemento di A, non è contenuto in B ∃ a ∈ A: a ∉ B

Analisi 1 ripasso veloce: Gli Insiemi

Un insieme è un concetto primitivo, è formato da elementi, e per riconoscerlo si guardano gli elementi e i suoi interni. Possiamo introdurre un insieme nei seguenti modi:

• A = { X : X è una vocale } proprietà caratteristica
• A = { a, e, i, o, u } per elencazione

Rappresentazione grafica

Si dice: c ∈ A ⇒ c appartiene ad A
d ∉ A ⇒ d non appartiene ad A
A ⊂ B vorrebbe dire: A sottinsieme di B, tutti gli elementi di A appartengono anche a B, in analisi, possiamo scrivere anche: ∀ a ∈ A ⇒ a ∈ B poiché a appartiene all'insieme A, risulta, a appartenente anche all'insieme B, quindi: A ⊄ B almeno un elemento di A, non è contenuto in B ∃ a ∈ A : a ∉ B esiste un elemento appartenente in A che non appartiene a B

Operazioni tra due insiemi

1. Unione (∪)
   A ∪ B → a ∈ A ∪ B se a ∈ A ∨ a ∈ B
2. Intersezione (∩)
   A ∩ B → a ∈ A ∩ B se a ∈ A ∧ a ∈ B
   a ∉ A ∩ B se a ∉ A ∨ a ∉ B
   A, B sono disgiunti se A ∩ B = ∅ (vuoto)
3. Differenza tra due insiemi
   A - B → a ∈ A - B se a ∈ A ∧ a ∉ B
   a ∉ A - B se a ∉ A ∨ a ∈ B

Complementare

Il complementare di A (A^c) è l'insieme che contiene gli elementi che non appartengono ad A, ma ovviamente ad U (universo); ovvero:
a ∈ A^c ⇔ a ∉ A
A^c = U - A

Leggi di De Morgan

• (A ∩ B)^c = A^c ∪ B^c
• (A ∪ B)^c = A^c ∩ B^c

I numeri reali

a + b ∈ ℝ ∀ a, b ∈ ℝ
a · b ∈ ℝ ∀ a, b ∈ ℝ

Proprietà

1. Associativa: (a + b) + c = a + (b + c) ∀ a, b, c ∈ ℝ
2. Commutativa: a + b = b + a ∀ a, b ∈ ℝ
3. Distributiva: a (b + c) = ab + ac ∀ a, b, c ∈ ℝ

Assioma della completezza

∀ A, B ⊂ ℝ : A ≠ ∅, B ≠ ∅ : ∀ a ∈ A e ∀ b ∈ B ⇒ a ≤ b
∃ c ∈ ℝ: a ≤ c ≤ b ∀ a ∈ A, ∀ b ∈ B
2 sottoinsiemi non ∅ di ℝ tali che tutti gli elementi del primo precedono tutti gli elementi del secondo hanno sempre un elemento separatore.
Esempio: A = {x 5} 5 è l'elemento separatore

I numeri naturali

N = {1, 2, 3, ...} ogni numero naturale ha un successivo e si indica con n + 1

I numeri interi

Z = {..., -1, 0, 1, 2, 3, ...}

I numeri razionali

Q = {m/n | m, n ∈ ℤ, n ≠ 0}

Le funzioni

Una funzione è la legge che associa un elemento di un insieme ad un solo altro elemento di un altro insieme.

• f: A → B x ∈ D D ⊂ A f(x) → immagine
• f: x ∈ D; f(x) = y Co-dominio ⊃ immagine del dominio.
• Γ_g = {(x, y); x ∈ D, y = f(x)} ⊂ A x B Grafico della funzione

Una funzione è iniettiva quando le rette orizzontali la incontrano al più una volta sola f: D → R D ⊆ R, f: D f è INIETTIVA se ∀x₁, x₂ ∈ D, x₁ ≠ x₂ ⇒ f(x₁) ≠ f(x₂) ovvero a punti distinti del dominio, corrispondono immagini distinte nel codominio

Pari e dispari

f è pari se f(-x) = f(x), ∀x∈Df(x) = x² grafico simmetrico rispetto asse y es. è una funzione pari non è una funzione iniettiva
f è dispari se f(-x) = -f(x), ∀x∈Df(x) = x³ f(-x) = (-x)³ = -x³ = -f(x)

N.B.
la somma di 2 dispari è dispari
il prodotto di 2 pari è pari
il prodotto di 2 dispari è pari

Funzioni periodiche

periodica di periodo T≠0 se f(x+T) = f(x), ∀x∈D
N.B. le funzioni periodiche non possono essere iniettive, ma possono essere pari, dispari o no

Monotonia

→ℝ ⊂ℝ

1. è monotona crescente se ∀ x₁, x₂∈: x₁<x₂ ⇒ f(x₁) ≤ f(x₂)
2. è monotona decrescente se ∀ x₁, x₂∈: x₁<x₂ ⇒ f(x₁) ≥ f(x₂)

Stretta monotonia

1. è monotona strettamente crescente se ∀ x₁, x₂∈, x₁<x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂)
2. è monotona strettamente decrescente se ∀ x₁, x₂∈, x₁<x₂ ⇒ f(x₁)>f(x₂)

Se una funzione è strettamente monotona è invertibile.
Strett. Monotona ⇒ Invertibile

Funzioni composte

→ℝ ⊂ℝ: →ℝ ⊂ℝ ∘ composto () ⊂ℎ: ∘: →ℝ

Esempio:
f(x) = √x
g(x) = x - 1
g ∘ f f ∘ g (x) = √x - 1
g ∘ f (x) = √x - 1

Funzione inversa

f: A → B iniettive
f^-1: B → A domini e codomini con condinu;is
f ∘ f^-1 (x) = x, ∀ x ∈ A
f ∘ f^-1 (x) = x, ∀ x ∈ B

Esempio:
f(x) = 1/x
f^-1(x) = 1/x
f^-1∘f(x) = 1/(1/x) = x

Funzioni elementari

1. f(x) = k , k ∈ ℝ costante D = ℝ f(0) = {k} non è invertibile è una costante crescente e decrescente
2. f(x) = kx retto k∈ℝ k≠0 D = ℝ f(0) = ℝ, invertibile, se k>0 non strett cres. se k