Preparazione esame orale, Metodi Quantitativi

P N

t t1 t2 tn

(1+i) (1+i) (1+i)

Si dice prezzo o corso secco del titolo, il prezzo di esso senza tenere conto degli

interessi maturati fino al momento della compravendita(→ prezzi quotati dal mercato).

Il rateo di interessi invece rappresenta la quota della cedola maturata al momento della

compravendita: bisogna osservare di quanto è già maturata la cedola in data 0. Per

calcolare il rateo si utilizzano le seguenti formule, in cui si indica con p il periodo

trascorso tra la data 0 ed il momento della compravendita:

nel caso annuo si usa la seguente formula ; in quello semestrale invece

rateo=N⋅γ⋅p

N⋅γ⋅p . Si può quindi dire che il corso tel quel è dato dalla somma di corso

rateo= 2

secco e rateo. Se non c'è il rateo, per avere il valore del pagamento effettivo, devo

attualizzare la prima cedola e la somma di cedola, premio di rimborso e valore

nominale. Inoltre, se il rateo è 0, corso tel quel e corso secco coincidono. Il tasso di

rendimento lordo effettivo è il TIR dell'operazione, quindi il punto in cui la funzione DCF

si annulla.

Tasso di rendimento di un BOT

I BOT (buoni ordinari del tesoro), sono dei titoli di stato con delle scadenze al massimo

di un anno, che vengono generalmente messi all'asta ogni sei mesi o ogni anno; può

inoltre capitare, in situazioni di necessità, che vengano messi all'asta anche ogni tre

mesi. A scadenza si riceve un valore nominale (N), mentre a data zero si paga un

prezzo (P), che può essere quello fissato all'asta (→ cosiddettoprezzo di emissione),

oppure può dipendere dalla legge della domanda e dell'offerta.

Bisogna considerare che un BOT non è del tutto privo di rischio, come si può vedere dal

suo grafico: il rischio è evidente soprattutto se si vuole vendere il BOT prima della

scadenza; inoltre c'è anche un rischio di credito, ossia di non essere ripagati dallo stato.

Tassi di rendimento LORDI a scadenza ( )

r 0

( − )

N P N

Semplice

– =

r P=

o (1+rt )

( )

P⋅T

√ N

T

Composto

– −1

r 0 P

Tassi di rendimento semplice di compravendita ( )

r t

0,

Quando si acquista in data 0 pagando P e si vende in una data t precedente alla data T

di scadenza, pagando , un prezzo noto solo al momento della vendita. Dopo la

P t

chiusura dell'operazione si può osservare il tasso di rendimento del titolo.

(P −P )

t

=

r ot ( P⋅t)

Tasso di rendimento di un BOT acquistato in t e tenuto fino alla scadenza T r t

( − )

N P N

t

= =

r P t

t [ −t )] [1+r⋅(T −t )]

Pt⋅(T

NB : Sui BOT si pagano delle tasse. Le imposte possono essere pagate all'emissione

oppure al rimborso. L'aliquota fiscale α è stabilita dallo stato.

L'imposta da pagare è α⋅(N −P)

Tassi di rendimento NETTI a scadenza ( )

n 0

a) All'emssione (N − )

P '

=P+α⋅( −P)

P ' N =

n 0 ( )

P '⋅T

b) Al rimborso (N −P)

'

=N −α⋅(N −P )

N ' =

n 0 ( )

P⋅T

Scelte finanziarie

Per valutare se un investimento è vantaggioso o meno, bisogna prendere in

considerazione un investimento di riferimento: si parla quindi di una convenienza in

termini relativi. L'investimento di riferimento è il modo in cui impiegherebbe i soldi il

potenziale investitore se non nell'investimento considerato; questo investimento di

riferimento è descritto attraverso il tasso annuo di riferimento ed è detto Costo

opportunità del capitale proprio, ed è il distributore della liquidità necessaria.

Nel caso di investimenti autofinanziati, il soggetto ha tutte le risorse necessarie per

avviare l'investimento, quindi la sua ricchezza iniziale è maggiore rispetto a quanto è

richiesto dall'investimento. Per procedere con la valutazione, il principio fondamentale

è quello di massimizzazione della ricchezza finale: si calcola la ricchezza dell'investitore

nella data futura n nel caso in cui intraprenda l'investimento e nel caso in cui non lo

faccia: se la ricchezza in questa data è maggiore di zero, l'investimento è conveniente.

La ricchezza in data n è il DCF calcolato in x=i, quindi si può dire che l'investimento è

conveniente se VAN(i) > 0. Dal segno di VAN(i) si capisce se l'investimento è conveniente

o meno, mentre guardando il valore numerico si trova l'extra ricchezza.

NB: Attualizzando l'extra ricchezza si ottiene il valore del VAN calcolato in i, mentre

capitalizzando il valore del VAN calcolato in i, si trova l'extra ricchezza.

Se sono prese in considerazione più opportunità di investimento, si calcolano tutti i VAN

con i rispettivi tassi e poi si ordinano le opportunità: più alto è il VAN, migliore è

l'investimento.

Nel caso di investimenti parzialmente autofinanziati, la convenienza o meno

dell'investimento dipende anche dalle condizioni di finanziamento della banca: bisogna

quindi valutare l'investimento tenendo conto del finanziamento e si valuta I+F.

I+F è conveniente se : il VAN osservato in questo caso è detto adjusted

(i)>0

VAN (I +F )

present value ed è il VAN aggiustato tenendo conto del finanziamento.

Assiomi probabilità

Per probabilità si intende la plausibilità di un evento; l'insieme dei possibili risultati è Ω

ed ogni suo sottoinsieme è un evento. Due particolari eventi da prendere in

considerazione sono , ossia l'evento impossibile, ed Ω, ossia l'evento certo.

∅

Le probabilità sono numeri positivi, compresi tra 0 e 1; si può dire quindi:

0 < P(x) < 1

La funzione di probabilità di un evento, è una funzione definita nell'algebra di eventi e a

valori in R (=> P:A → R), con le seguenti proprietà.

1. P(A) > 0 per ogni evento A appartenente all'algebra

2. P(Ω) = 1

3. Se A e B appartengono all'algebra e sono due eventi incompatibili (cioè se il

verificarsi di uno esclude l'altro), allora ( ( (

P A∪B)=P A)+P B)

Conseguenze degli assiomi della probabilità

Le conseguenze delle tre proprietà fondamentali della probabilità sono:

̄

1. ( )=1− (

P A P A)

2. (∅)=0

P

3. Se A è contenuto in B, allora P(A) < P(B)

4. ( ( ( (

P A∪B)=P A)+ P B)−P A∩ B)

5. ( ( (

P A/ B)=P A)− P A∩B)

Assiomi algebra di eventi

Se Ω è un insieme di risultati elementari, si dice algebra di eventi un insieme A di eventi

tale che: ;

• A≠0

Se due eventi A e B appartengono all'algebra, appartengono ad essa anche le

• ̄ ̄

unioni degli eventi ( ) ed i loro complementari ( e ).

A∪ B A B n

Per studiare le probabilità, non si probabilizzano tutti gli eventi possibili ( ), ma

2

solamente quelli che devono appartenere all'algebra di eventi, cioè i singoli eventi, le

unioni ed i complementari.

Eventi indipendenti e correlati

Si prendono in considerazione due eventi: A, evento condizionato e B, evento

condizionante. Si osserva poi la probabilità di A, sapendo che si è verificato B:

Se P(A/B)>P(A), si dice che A è positivamente correlato con B, ossia il verificarsi

– dell'evento condizionante B ha aumentato la probabilità dell'evento condizionato

A;

Se P(A/B)<P(A), si dice che B è negativamente correlato con A, ossia il verificarsi

– dell'evento condizionante B ha diminuito la probabilità dell'evento condizionato A;

Se P(A/B)=P(A) si dice che gli eventi sono indipendenti.

–

Teorema di Bayes

Il seguente teorema quantifica l'effetto di aumento o diminuzione della probabilità.

[ (

P B/ A)] La probabilità che si verifichi un evento A, sapendo che si è

( ⋅

P A/ B)= P ( A) P ( B)

verificato un evento B è data dalla probabilità dell'evento A, moltiplicata per il fattore

correttivo, che è la probabilità che si verifichi l'evento B, sapendo che si è verificato A,

diviso la probabilità che si verifichi l'evento B.

Numeri aleatori

I numeri aleatori possono essere di due tipi: discreti, ossia con un numero finito di esiti

possibili, oppure continui, ossia con un numero infinito di esiti possibili in un intervallo.

Una funzione X definita in Ω e a valori in R si dice numero aleatorio solo se è misurabile

rispetto ad un'algebra di eventi. La funzione viene osservata rispetto ad uno spazio di

probabilità, formato da una tripletta, in cui sono compresi l'insieme dei risultati

elementari (Ω), l'algebra di eventi (A) e la probabilità di tutti gli eventi. Se in questo

spazio di probabilità l'algebra di eventi è misurabile, allora x è un numero aleatorio. X si

dice misurabile rispetto ad un'algebra A prefissata se i valori dell'insieme che mi da

esito minore o uguale ad x, appartengono all'algebra per ogni x appartenente ad R

ω∈Ω: (ω)≤ ∈A∀

X x x∈ R

E' detta funzione di probabilità di un numero aleatorio la funzione che associa ad ogni

esito di un numero aleatorio X la probabilità di osservare quell'esito.

Funzione di densità

I numeri aleatori continui sono descritti dalla funzione di densità di probabilità, che è

una funzione definita in R e a valori in R che soddisfa le seguenti proprietà:

1. La funzione di densità è maggiore o uguale a zero per ogni x appartenente ad R,

quindi è una funzione non negativa;

2. La funzione di densità soddisfa la condizione di normalizzazione, secondo cui la

probabilità che l'esito sia tra meno infinito è più infinito è uno

+∞

∫ ( =1

f x)dx

−∞

La funzione di densità di probabilità viene utilizzata anche per osservare quale

probabilità c'è che l'esito sia compreso tra due possibili risultati:

b

∫

(a≤x≤b)= (

P f x)dx

a

Funzione di ripartizione

La funzione di ripartizione Fx di un numero aleatorio è la probabilità che l'esito del

numero aleatorio non sia superiore ad un dato x.

Fx:R→ R

( ( ⩽

Fx x)=P X x)∀ x∈R

La funzione di ripartizione è una funzione a gradini, non negativa e non decrescente;