Pompa ad aria

Pompa ad aria e statica dei fluidi

Nel 1654 Otto von Guericke, borgomastro di Magdeburgo ed inventore della pompa ad aria, fece un esperimento di fronte alla Dieta Imperiale, mostrando che due tiri di otto cavalli attaccati a due emisferi di ottone, tra i quali era stato praticato un vuoto spinto, non riuscivano a separarli:

Dimostrazione della forza richiesta

a) Mostrare che la forza F richiesta per separare gli emisferi è data da F = π R² P, dove R è il raggio esterno degli emisferi e P è la differenza di pressione fra l'esterno e l'interno della sfera.

b) Se R era 30 cm e la pressione interna 0,1 Atm, quale forza avrebbe dovuto avere il tiro di cavalli per separare gli emisferi?

Equilibrio delle forze

Considero una delle due emisfere e faccio l'equilibrio delle forze a cui è sotto. Sia P la differenza fra le pressioni esterne ed interne. La risultante delle pressioni dovrà essere equilibrata dalla forza F. Occorrerà sviluppare un integrale.

Ricordo che F' = pressione ⋅ superficie. Estendo a tutta la superficie emisferica la formula precedente, in forma differenziale si otterrà F' che dovrà equilibrare F. Quindi in forma differenziale: F' = ∫ (P ⋅ dS superficie), cioè l'integrale del prodotto scalare esteso a tutta la semisfera.

Come superficie infinitesima, scelgo la zona sferica in fig. Su di essa, per simmetria, la pressione, oltre ad avere lo stesso valore P, forma lo stesso angolo V con l'asse (fig. 3). Considero la componente orizzontale delle pressioni. La componente verticale è nulla evidentemente: F=∫_supP cosθ d S. Dalla figura si vede che d S' = 2π r dr, dove d S' non è altro che la proiezione su di un piano ortogonale all'asse della superficie d S.

Quindi per passare da d S' a d S basterà osservare che d S' = d S cosθ. Si ha d S = _{d S'}/^cosθ. Sostituendo nell'integrale: F = ∫_supP cosθ_{sup inf}2π r dr /^cosθ = 2π∫₀P^sup₀r dr.

Risoluzione dell'integrale

Ricordo infatti che P è costante su tutta la superficie; inoltre, occorre osservare che per estendere l'integrale a tutta la semisfera, bisogna far variare r fra 0 e R. Risolvo l'integrale:

F = 2π∫₀P r dr = 2π P₀∫₀r²/2^R = 2π P _R²/2 = πP R².