Polinomi ed equazioni

Polinomi ed equazioni

Polinomi a coefficiente reale

Dato un polinomio p(x) con deg > 1, se α = a+ib è radice non reale del polinomio p(x), allora anche α' = a-ib è radice di p(x).

Corrispondenze - Teorema

1. I polinomi di grado dispari ammettono tutti almeno una radice reale.
2. Ogni polinomio p può essere scomposto in n polinomi tutti a coefficiente reale di deg ≤ 2.

Polinomi a coefficiente interi (razionali)

I polinomi a coefficienti interi sono sempre tali che possiamo individuare gli zeri razionali.

Teorema

Sia p(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 ... a₁x + a₀ con a_i ∈ ℤ, a_n ≠ 0 e anche h,k ∈ ℤ con (h,k) primi fra loro:

• Se x = h/k è radice di p(x) allora (h è divisore di a₀) (k è divisore di a_n).

Es.

5/4 x³ - 1/6 x + 1 → 15x³ - 2x + 12

p(x) = 2x³ + x² - 5x - 3

• p(1) = 2 + 1 - 5 - 3 = -5 ≠ 0
• p(-1) = -8 + 1 + 5 - 3 = 0
• p(³/₂) = 0

C = {-1, ¹/₃, ¹/₂, ³/₂}

p(x) = x + ³/₂

x₀ = ³/₂

x₁,₂ = 1 ± ^√5/₂

• x₁ = ^{1 + √5}/₂
• x₂ = ^{1 - √5}/₂ → Golden Number.