Matematica Generale - Fattorizzazione dei polinomi, Ruffini, equazioni

Soluzioni Esercitazione del 6 − 10 − 2009

Per qualunque dubbio, informazione eccetera scrivere a: capraro@mat.uniroma2.it

Esercizio 1. Risolvere le seguenti equazioni

34 23

1. 7x − (1 − 2x) + 2x(x − 1) = 3x( x − 1) + 7

1−3x 7x 5x−1

2. + =

3x+9 6x+18 2x+6

2

2(x +2)

x+1 x−1

3. + = 2

x−2 x+2 x −4

1 5

8

4. + = −

2

3x+4 3x−4

9x −16

Soluzioni (ovviamente scrivo solo condizione di esistenza e risultato finale (sperando che

sia giusto!)).

31

1. x = 38 5

2. C.E. x 6 = −3. Sol. x = ,

14

3. C.E. x 6 = ±2. Sol. indeterminata.

4

4. C.E. x 6 = ± . Impossibile a causa di C.E.

3

Esercizio 2. Risolvere le seguenti disequazioni

3x

1. ≥ 8

x−6

2. (2x − 1)(x + 3) < 0

2x+5

3. ≤ 4

3x−1

Soluzione: 48

1. 6 < x ≤ 5 1

2. −3 < x < 2

1 9

3. x < ∨ x ≥

3 10 1

Esercizio 3. Risolvere le seguenti equazioni e disequazioni con modulo

1. |2x − 3| = 5

2. |x + 3| + |3x + 2| = 7

x−6

3. | | < 1

2

4. |x + 3| + |x − 1| < 4

Soluzione (risolvo in qualche dettaglio solo le prime due):

32

1. L’argomento del modulo è non negativo per x ≥ . Il primo caso è allora

( 32

x ≥

2x − 3 = 5

La soluzione della seconda equazione è x = 4, e quindi accettabile (confrontare con

prima disequazione).

Il secondo caso è ( 3

x< 2

−2x + 3 = 5

la soluzione dell’equazione è x = −1, anch’essa accettabile.

Riassumendo le soluzioni sono x = −1, 4.

2. Lo studio dei segni degli argomenti dei moduli porta a distinguere tre casi:

(a) x ≤ −3, in cui entrambi i moduli sono negativi e quindi si ha

( x ≤ −3

−x − 3 − 3x − 2 = 7

la soluzione dell’equazione è x = −3, che è accettabile.

23

(b) −3 < x ≤ − , in cui il primo modulo è positivo ed il secondo negativo. Quindi

( 23

−3 < x ≤ −

x + 3 − 3x − 2 = 7

La soluzione dell’equazione è x = −3 che questa volta non è accettabile. (si noti

che se avessimo invertito gli uguali, la precedente soluzione l’avremmo trovata

ora, ancora a dimostrare la possibilità di mettere gli uguali dove si preferisce).

2

23

(c) x > − , dove entrambi i moduli sono positivi. Quindi

( 23

x > −

x + 3 + 3x + 2 = 7

12

La soluzione dell’equazione è x = , che è accettabile.

12 .

Riassumendo le soluzioni sono x = −3,

3. 4 < x < 8

4. impossibile.

Esercizio 4. Svolgere le seguenti divisioni fra polinomi:

5 2 2

1. (x − 3x − 4) : (x − 3)

7 3 6

2. (3x − 4x + 9) : (x + 8x − 1)

Soluzione (indico con q(x) il quoziente e con r(x) il resto).

3

1. q(x) = x + 3x − 3, r(x) = 9x − 13.

3 2

2. q(x) = 3x, r(x) = −4x − 24x + 3x + 9.

Esercizio 5. Usare Ruffini e la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado per

fattorizzare i seguenti polinomi in R.

3 2

1. x − 3x + 2x + 24

3

2. 2x − 5x − 39

Soluzione

1. Osservare che x = −2 è radice del polinomio. Applicando Ruffini otteniamo:

2

(x − 5x + 12)(x + 2). Si noti ora che il primo fattore non è ulteriormente

fattorizzabile in R, in quanto ha ∆ < 0. Quindi la fattorizzazione richiesta è proprio

2

(x − 5x + 12)(x + 2). 3