Appunti Metodi numerici - Parte 2

ODE IV_02

function [tt, xm, vm] = funzione_massa_molla_smorzatore (m, my, k) end

ODE IV_06

function [t, y] = ode (dt, t8, y0) t=0:dt:t8; t=t1; Nt=length(t); y = zeros (Nt,1); y(1)=y0; for it = 2:Nt     y(it)=y((it-1))+dt * ( y((it-1)+(it-1) - (it-1)); end end

METODO DI HEUN

Metodo più accurato del Metodo di Euler. Fino ad ora dobbiamo studiare problemi in questa forma. _dy/_dt=ε(y,t) es. = _dy/_dt = -αy     ⎧d_xm/_dt=-vm     ⎨ _dm/_dt=-k/m*xm^β*e^my*t*m/m2tomf

Con il Metodo di Euler sviluppiamo il seguente algoritmo: y_n+1 = y_n + Δt. [ε(s_n, t_n) ] → metodo esplicito Questa espressione si porta a fare degli errori: O(t)

ODE IV_02

function [tt, xm, vm] = funzione_massa_molla_smatore (m, my, k)

eul

ODE IV_06

function [t, y] = ode (dt, tgi, yo)t = 0:dt:tfi; t = t; Nt = length(t);y = zeros (Nt, 1);y(1)=yo;for it = 2:Nty(it) = y(it-1) + dt * (y(it-1) + t(it-1) - 1,1 * y(it-1));eudeud

METODO DI HEUN

24/10/2022

Metedo più accurato del Metodo di Eulero.Fino ad ora abbiamo studiato problemi in questa forma.^dy/_dt = f(y, t)   es. = ^dy/_dt = -y     {    ^dxm/_dt = vm    ^dvm/_dt = -^k/_m * xm² + cm * f²    }

Con il Metodo di Eulero sviluppiamo il seguente operativo:y_it+1 = y_t + Δt * [ f(t_i, t_ti) ]

Questa descrizione riguarda è pari degli errori:O(¹/_t)

L'interpretazione geometrica del metodo di Eulero è:

L'errore è dato dal fatto che ci avvaliamo di una retta che ha pendenza che è quella iniziale della funzione.

Per ridurre l'errore devo ridurre il Δt.

Altri metodi sono quelli di Runge-Kutta e Adam Bashforth. Uno dei più semplici della categoria dei metodi di Runge-Kutta è il metodo di Heun.

L'idea dei metodi di Runge-Kutta è quello di fare un passo in avanti usando un punto "migliorato" e non quello iniziale (come invece facevamo con il Metodo di Eulero).

Metodo di Heun

Uso, cioè, una pendenza media (che a priori non sappiamo), quindi si usa prima la pendenza di partenza e calcolo un y₁, che è un valore di Tentativo y_1^tr.

col il metodo di Eulero 1. In y_i+1 calcolo la

pendenza, cioe’ alla fine del ST.

Sulla base del valore di tentativo y_i+1 possiamo calcolare

la pendenza (o membro di destra RHS) alla fine del ST.

Ci calcoliamo pero’ una pendenza che non coincide con

quella vera, cioe’ effettiva sulla base di calcolo perche’

y^f_i+1 ≠ y_i+1, ma ci da un idea di come si comporta

la funzione alla fine del ST.

Ora torno nel punto y_i e considero una pendenza media

fra ___________ e ____________ . Quindi ci sara’ sempre un errore,

ma questo errore diventa più piccolo.

È un metodo "predictor-corrector"

Noi possiamo fare questo processo avanti-indietro piu’

volte —> processo di correzione per avere un valore della

pendenza media sempre piu’ accurato.

Cioe’ questo metodo si può applicare anche iterativamente

(devo sapere la tolleranza/soglia).

Implementazione su MATLAB

• Eulero:

for ct=0:1:NT

y_ct+1=y_ct+ΔT(RHS_i)

Metodo di Heun

for it = 2:Nt

y_E = y_it-1 + Δt (RHS_it-1)

y_it = y_it-1 + Δt * 1/2 (RHS_it-1 + RHS y_{E it})

end

Solo il Metodo di Heun per la ODE semplice dy/dt = -σy

for it = 2:Nt

y_E = y(it-1) + Δt * (-σ * y(it-1))

y(it) = y(it-1) + Δt * 1/2 ( -σ * y(it-1) + (-σ * y_E) )

end

Un modo più raffinato per scrivere il metodo di Heun si potrebbe: e'

for it = 2:Nt

RHS_iu1 = -σ * y(it-1)

y_E = y(it-1) + Δt * RHS_iu1

RHS_fiu = -σ * y_E

y(it) = y(it-1) + Δt * 1/2 (RHS_iu1 + RHS_fiu)

end

Per il sistema massa molla smorzatore:

for

xmi_t = xm_{i t-1} + ...

vmit = vmi_t-1 + ...

end

{Eulero}

for

x_m∈= ...

v_m∈= ...

x_m(_i+1)=x_m(_i+1) ... RHS

v_m(_i+1