Parte 10, Analisi matematica I

Equazioni differenziali

Una equazione differenziale è una equazione che contiene una o più derivate successive di una funzione incognita. La funzione che, con le sue derivate successive, soddisfa l'equazione differenziale è detta soluzione. L'ordine di una equazione differenziale è l'ordine della derivata di ordine massimo che compare nell'equazione differenziale.

Esempio di una equazione differenziale

Consideriamo la crescita del peso di un corpo nel tempo. Supponiamo che al tempo T il peso sia p(t) mentre al tempo T+h il peso sia p(t+h); supponendo che l'aumento del peso dipenda solo dal peso iniziale e dall'intervallo di tempo trascorso, il modello matematico della precedente ipotesi è:

\( p(t+h) - p(t) = a \cdot p(t) \cdot h + h \)

Dalla quale, se divido per h ottengo:

\( \frac{p(t+h) - p(t)}{h} = a \cdot p(t) \)

Il modello è tanto più rappresentativo della realtà quanto più h è piccolo. Essendo il primo membro il rapporto incrementale della funzione peso, per h → 0 il suo limite è la derivata prima della funzione peso:

\( p'(t) = a \cdot p(t) \)

Questo è un esempio di equazione differenziale del primo ordine. La soluzione dell'equazione differenziale precedente è la funzione esponenziale, ovvero:

\( p(t) = e^{at} \)

Infatti, derivando ottengo:

\( p'(t) = a \cdot e^{at} = a \cdot e^{at} \)

Sostituendo nell'equazione differenziale precedente ottengo:

\( a \cdot e^{at} = a \cdot e^{at} \) (una identità)

In realtà, anche ogni funzione del tipo:

\( p(t) = c \cdot e^{at} \) con c costante

è soluzione dell'equazione; infatti derivando ottengo:

\( p'(t) = c \cdot a \cdot e^{at} \)

Sostituendo nell'equazione precedente ottengo:

\( c \cdot a \cdot e^{at} = c \cdot a \cdot e^{at} \) (ancora una identità)

Conclusione

In conclusione, una equazione differenziale del primo ordine ha infinite soluzioni a meno di una costante c. Si dice che una E.D. del primo ordine ha infinite soluzioni perché per individuarne una è necessario calcolare il valore di una costante c.

Generalmente, per calcolare il valore di una costante c è necessario conoscere il dato della funzione incognita ad un tempo fissato. Per esempio, se al tempo t = 0 il peso è \( p(0) = p \) noto, allora si ha che per \( t = 0 \) nella soluzione trovata precedentemente ho:

\( p(0) = c \cdot e^{a \cdot 0} = c \)

Dunque la soluzione particolare cercata è:

\( p(t) = p \cdot e^{at} \)

Il dato iniziale \( p(0) = p \) è il dato iniziale che permette di calcolare la costante c.