Parte 10, Analisi matematica I

Una equazione differenziale è una equazione che contiene una o più derivate successive di una

funzione incognita. La funzione che, con le sue derivate successive soddisfa l’Equazione

differenziale è detta soluzione.

L’ordine di una equazione differenziale è l’ordine della derivata di ordine massimo che compare

nell’equazione differenziale. Come esempio di una equazione differenziale consideriamo la crescita

del peso di un corpo nel tempo.

Supponiamo che al tempo T il peso sia p(t) mentre al tempo T+h il peso sia p(t+h); supponendo che

l’aumento del peso dipenda solo dal peso iniziale e dall’intervallo di tempo trascorso il modello

matematico della precedente ipotesi è:

p t t t+h con a=coefficente di proporzionalità

( )−p ( )=ap ( )∗h

+h

Dalla quale, se divido per h ottengo:

p t+ h p t

( )− ( ) =ap(t )

h

Il modello è tanto più rappresentativo della realtà quanto più h è piccolo.

Essendo il primo membro il rapporto incrementale della funzione peso, per h → 0 il suo limite è la

derivata prima della funzione peso.

p’(t) = a*p(t) esempio di equazione differenziale del primo ordine.

La soluzione dell’equazione differenziale precedente è la funzione esponenziale, ovvero:

at

p t

( )=e

Infatti derivando ottengo:

' at at

p t

( )=e ∗a=a∗e

Sostituendo nell’equazione differenziale precedente ottengo:

at at

a∗e identità)

=a∗e (una

In realtà anche ogni funzione del tipo:

at

p t con c=costante

( )=c∗e

È soluzione dell’equazione; infatti derivando ottengo:

at

p t

( )=c∗e

Sostituendo nell’equazione precedente ottengo:

at at

c∗e ancora una identità)

=c∗e (

In conclusione una Equazione differenziale del primo ordine ha infinite soluzioni a meno della

1

costante c. si dice che una E.D. del primo ordine ha ∞ soluzioni perché per individuarne una è

necessario calcolare il valore di 1 costante (c).

Generalmente per calcolare il valore di una costante c è necessario conoscere il dato della funzione

incognita ad un tempo fissato.

Per esempio se al tempo t = 0 il peso è p(0) = p noto, allora si ha che per t = 0 nella soluzione

o

trovata precedentemente ho:

a∗0

p 0 , quindi p

( )=c∗e =c

0 at

p t p

( )= ∗e

Dunque la soluzione particolare cercata è: 0

p(0) = p è il dato iniziale che permette di calcolare la costante c.

o

Tra le Equazioni differenziali limiteremo la studio a quelle del primo ordine e quelle del secondo

ordine.

Tra quelle del primo ordine i particolare studieremo:

• Equazioni differenziali lineari;

• Equazioni differenziali di Bernulli;

• Equazioni differenziali a variabili separabili.

Equazioni differenziali lineari (E.D.L.) del primo ordine

Una equazione differenziale lineare si può sempre scrivere nella forma canonica:

'

y x x

( )∗y ( )

=a +b

Dove a(x) e b(x) sono funzioni continue di un intervallo prefissato.

A loro volta le equazioni differenziali sono di due tipologie, quando: '

y x

( )∗y

=a

• b(x) = 0 l’equazione differenziale si dice omogenea e diventa: ;

'

y x x

( )∗y ( )

=a +b

• b(x) ≠ 0 l’equazione differenziale si dice non omogenea e rimane

Studio di una E.D.L. non omogenea

'

y x x

( )∗y ( )

=a +b

Sia A(x) una delle primitive di a(x), ovvero (A’(x)) = a(x)

1

Si dimostra che le ∞ soluzioni dell’E.D.L. non omogenea si trovano con la seguente formula:

A ∫

(x) A x

( )

−

y=e b x dx

( )∗e

∗ A

− (x)

e ≠ 0

Infatti moltiplicando i due membri dell’E.D.L. non omogenea per ottengo:

' A x x

( ) ( )

− −A −A (x)

y x x

( )∗e ( )∗e

∗e =a ∗y +b

Oppure

' A x x A

( ) ( )

− −A − (x)

y x x

( )∗e ( )∗e

∗e −a ∗y=b x

( )

−A

y∗e

Si può osservare che il primo membro è la derivata di un prodotto e precisamente

Infatti: A x ' A x x

( )

( ) ( ) ( )

− − −A ( )

D y∗e y y∗e ' x , ovvero :

( )

= ∗e + ∗ −A

A x ' A x x

( )

( ) ( ) ( )

− − −A

D y∗e y ya x)∗e

= ∗e − (

L’equazione differenziale lineare si scrive:

A x A

( )

( )

− − (x)

D y∗e x

( )∗e

=b

Integrando i due membri ho:

∫ ∫

x A x

( )

( ) ( )

−A −

D y∗e dx b x dx

( )∗e

=

Ma sapendo che gli operatori di integrazione e di derivazione sono uno l’opposto dell’altro ottengo:

∫

x A x

( ) ( )

−A −

y∗e b x dx , da cui la sulozione

( )∗e

=

∫

A x A x

( ) ( )

−

y=e b x dx

( )∗e

Studio di una E.D.L omogenea

La formula generale di una E.D.L. omogenea è la seguente:

'

y x

( )∗y

=a

La sua soluzione è più semplice perché ho:

A x '

( )

y=c∗e , con A x x)

( )=a( Equazioni differenziali di Bernulli