Paniere fisica tecnica - domande aperte

Lezione 004

Come viene definito il titolo di vapore e come viene impiegato?

Il titolo del vapore viene definito come il rapporto tra la massa del vapore saturo secco (mVS) e la massa

totale del vapore saturo (mL+mVS) costituito dalla miscela liquido + vapore, ossia:

x= mVS/mTOT= mVS/(mL+mVS)

Che è ovviamente una grandezza adimensionale variabile tra 0 ed 1. Per ogni valore di pressione (o

temperatura) del vapore saturo, esiste una corrispondenza biunivoca tra volume specifico e titolo: lo stato

può quindi essere caratterizzato dalla coppia di valori P (o T) ed x. Il luogo dei punti aventi medesimo titolo

definisce le curve isotitolo. Il suo impiego è fondamentale per il calcolo di alcuni parametri specifici del vapore

saturo, come energia interna u, entalpia h ed entropia s, mediante l’utilizzo delle seguenti formule binomie:

u= uL+x(uVS-uL)

h= hL+x(hVS-hL)

s= sL+x(sVS-sL)

Lezione 005

Si enunci il principio degli stati corrispondenti.

Il principio degli stati corrispondenti dice che la funzione fattore di comprimibilità:

z= f (PR, TR) = (P*v)/(R*T)

è unica per tutte le sostanze, dove la temperatura ridotta TR e la pressione ridotta PR, sono calcolabili

mediante le seguenti relazioni: TR= T/TC e PR= P/PC

dove TC e PC sono rispettivamente la temperatura e la pressione critica. Per cui volendo identificare lo stato

di sostanze diverse in termini delle coppie PR e TR, si avrà che il valore di z corrispondente ad ogni coppia

sarà lo stesso per tutte le sostanze. In definitiva, il modello di gas ideale può ragionevolmente essere utilizzato

per 2 condizioni distinte, ovvero, se:

TR> 2 per ogni valore della pressione P

Oppure: TR> 1 e PR< 0,1

Lezione 007

Enunciare il primo principio della termodinamica per i sistemi aperti.

In generale il 1° principio della termodinamica afferma che: l’energia non può essere né creata né distrutta,

ma può essere solo trasformata. Sapendo dunque che per un processo ciclico si ha:

∮≠0 ∮≠0

e

dove il loro valore dipende dal particolare cammino; il 1° principio, derivato da osservazioni sperimentali,

sancisce che: ∮= ∮; ∮−∮=0; ∮(−) =0

L’espressione d(Q-L) rappresenta un differenziale esatto di una certa funzione di stato Ut (Utot) che rasenta

l’energia totale immagazzinata: questa è una proprietà del sistema e la sua variazione durante un processo è

data dalla differenza tra le quantità delle 2 energie di scambio, calore e lavoro, in gioco nel processo stesso,

infatti: d (Q-L) = dUt; dUt= dQ-dL

Considerando anche i termini energetici esterni, si può scrivere inoltre che l’energia totale immagazzinata è

equivalente a: = += +(+) ++1/22

=

Che in termini differenziali e con riferimento all’unità di massa (tutte le grandezze diventano specifiche),

diventa: = −= ++1/22

Siccome si vuol ricavare il principio per i sistemi aperti, allora si sostituisce al differenziale del lavoro dl la

relazione per i sistemi aperti dl= dl’+d(pv), ossia:

−[′+()] ++1/2^2

=

−′−()= ++1/2^2

−′=(+) ++1/2^2

Dove la quantità u+pv= h è definita come Entalpia, per cui in definitiva si può scrivere:

−′=++/^

Che trascurando i termini cinetici e potenziali relativi all’energia esterna diventa infine:

dq-dl= dh

Lezione 008

Dimostrare come si ottiene la relazione di Mayer tra i calori specifici di gas perfetti.

La relazione di Mayer tra i calori specifici di gas perfetti è la seguente:

cp-cv= R

Per dimostrare come si ottiene la sopracitata relazione partiamo dalla definizione generale di calore specifico:

il calore specifico di una sostanza è l’energia necessaria per innalzare di un grado la temperatura della massa

unitaria della sostanza stessa e si misura quindi in [J/(kg*K)]. Si possono differenziare 2 casi:

- il 1° nel quale si fornisce energia alla sostanza in condizioni isocore (V costante), e quindi il calore specifico

cv a volume costante è dato dalla variazione dell’energia interna specifica della sostanza rispetto alla

variazione unitaria di temperatura, ossia: =

(/) =

Siccome per una trasformazione internamente reversibile in un sistema chiuso vale che −, la forma

= −,

differenziale della 1° legge della dinamica per un sistema di tal tipo diventa ma dato che V è

= ,

costante allora si può scrivere che e dunque la relazione per il calcolo di cv diventa:

= /

(/) = ()

- il 2° nel quale si fornisce energia alla sostanza in condizioni isobare (P costante), e quindi il calore specifico

cp a pressione costante è dato dalla variazione dell’entalpia specifica della sostanza rispetto alla variazione

unitaria di temperatura, ossia: =

(ℎ/)

Siccome per una trasformazione internamente reversibile in un sistema aperto la 1° legge della dinamica

ℎ= +,

assume la forma la relazione per il calcolo di cp diventa quindi:

= = /

(/) ()

Da alcuni esperimenti effettuati da J. P. Joule nel 1843 si è evinto che sia l’energia interna che l’entalpia di un

gas ideale sono funzioni unicamente della temperatura e dunque si può scrivere che:

E quindi anche i calori specifici cv e cp dipendono unicamente dalla temperatura:

= = ()/= ()

(/)

= = ()/= (()+) ()/+()/=()+=()

(/) /=

Da cui la relazione di Mayer: ()−()=

N.B. Ciò che è segnato in grigio è superfluo.

Lezione 009

Una corrente di acqua calda a 80 °C entra in un miscelatore con una portata di 0.5 kg/s, mentre è miscelata

con una corrente di acqua fredda a 20 °C. Se si desidera che l'acqua esca dal miscelatore a 42 °C.

determinare la portata massica necessaria per la corrente di acqua fredda. Assumere che tutte le correnti

siano ad una pressione di 250 kPa. (TA-SA26)

In un miscelatore per il bilancio di energia si scrive che:

̇ ℎ1+̇ ℎ2= ̇ ℎ3

1 2 3

̇ ̇ ̇

Dove 1 ed 2 sono le portate massiche delle correnti in ingresso, 3 è quella della corrente in uscita,

mentre le quantità: ℎ1=∗(3−1)

ℎ2=∗(3−2)

ℎ3=∗(3−3) =∗0=0

sono rispettivamente le 2 entalpie delle correnti in ingresso e quella della corrente in uscita.

Si può dunque scrivere che: ∗∗(3−2) ̇ ∗0=0

0,5∗∗(3−1) +̇ 2 = 3

∗

0,5∗ (42−80) +̇ 2 (42−20) =0

∗22=0

−19+̇ 2

̇ 2=0,864/

CO2 entra in un compressore adiabatico a 100 kPa e 300 K con una portata massica di 0.5 kg/s ed esce a

600 kPa e 450 K. Trascurando la variazione di energia cinetica e potenziale, determinare:

a) la portata volumetrica di CO2 all'ingresso del compressore;

b) la potenza in ingresso al compressore. (TA-SA23)

a) Alle condizioni indicate l’anidride carbonica può essere considerata un gas ideale, per cui si può scrivere

che: P*v= R*T

Dove R per tale sostanza vale 188,9J/(kg*K). Si potrà dunque scrivere che:

P1*v1= R*T1

100000*v1= 188,9*300

100000*v1= 56670

v1= 0,567m3/kg

Sapendo che la portata massica vale: 1̇ 11̇ 111=0,5/

= =

E notando che la densità ρ1 equivale all’inverso del volume specifico, ossia:

ρ1= 1/v1= 1/0,567= 1,764kg/m3

si può quindi calcolare la portata volumetrica come:

1̇ 1̇ 1= /(1,764/3)

= / (0,5/) =0,2833/

b) Per tale sistema si considera un calore specifico a pressione costante cp alla temperatura media:

Tmed= (T1+T2) /2= (300+450) /2= 375K

che è calcolabile mediante l’espressione:

cp= a+bT+cT2+dT3

prendendo i coefficienti dalla tabella “coefficienti sperimentali per il calcolo del calore specifico a

pressione costante per gas ideale secondo la correlazione: cp= a+bT+cT2+dT3; T[K]. cp [kJ*kg-1*K-

1]” per cui:

Essendo il processo adiabatico (ΔQ= 0), il 1° principio della termodinamica in tal caso si può esprimere

come: dh= dq-dl= 0-dl= -dl

dl= -dh

Dove: dh= cp*dT= cp*(T2-T1) = 0,9178*(450-300) = 137,67 kJ/kg

e quindi: dl= -137,67kJ/kg

ovvero è ricevuto dal sistema. La potenza è calcolabile mediante la seguente relazione:

In un ugello entra in modo stazionario vapore a 500 °C e 5 MPa con una velocità di 80 m/s ed esce a 400

°C e 2 MPa. L'area della sezione di ingresso è 38 cm2 e la perdita di calore è stimata pari a 90 kJ/s.

Determinare:

a) il flusso di massa del vapore Soluzione delle Slide [4.43 Kg/s]

b) la velocità di uscita del vapore [646.4 m/s]

c) la sezione di uscita dell'ugello. [0.00136 m2] (TA-SA13)

Dalla tabella “proprietà termodinamiche dell’acqua surriscaldata” si ricava che alle condizioni

d’ingresso nell’ugello l’entalpia h del vapore vale h1= 3433,8kJ/kg ed il suo volume specifico v1=

0,06857m3/kg, mentre in uscita valgono h2= 3247,6kJ/kg e v2= 0,15120m3/kg.

a) Avendo la sezione d’ingresso e la velocità d’ingresso del vapore, possiamo calcolare la

portata massica come:

(ATTENZIONE DURANTE LO SVOLGIMENTO APPROSSIMARE A 2 CIFRE DECIMALI)

b) Applicando il 1° principio della termodinamica per i sistemi aperti si ha che:

Dove si sono trascurati i termini dell’energia potenziale ed il lavoro si è posto a 0.

c) Applicando quindi l’equazione di continuità si ha che:

Un dispositivo cilindro-pistone contiene 0.8 kg di azoto a 100 kPa e 300 K. L'azoto in seguito viene

compresso lentamente secondo la legge del tipo PV1.3 =costante fino a dimezzare il suo volume. Si

determini:

a) il lavoro fatto durante tale trasformazione

b) il calore trasferito durante tale trasformazione. (TA-SC36)

Uno schema del sistema ed il diagramma pV del processo sono mostrati sotto:

a) Alle condizioni specificate l’azoto può considerarsi un gas ideale in quanto la temperatura è alta rispetto

al suo valore critico Tc= 126,15K e la pressione è bassa rispetto al valore critico Pc= 3390kPa. Essendo dunque

il gas compresso con una legge del tipo PV^1,3= k, si può scrivere che:

P1V1^1,3= k

100000*V1^1,3= k

Il volume specifico iniziale v1 è calcolabile dall’equazione di stato dei gas perfetti Pv= RT, per cui:

Dove la costante R dell’azoto vale R= 296,8J/(kg*K). Per cui il volume iniziale V1 sarà:

V1= v1*m= 0,8904*0,8= 0,7123m^3

E dunque: 100000*0,7123^1,3= k

k= 64337,151Pa*m^3= 64337,151N/m^2*m^3= 64337,151N*m=64337,151J= 64,337kJ

Dopo la trasformazione il volume è dimezzato e dunque:

P2V2^1,3= k

P2*(V1/2)^1,3= 64337,151

P2*(0,7123/2)^1,3= 64337,151

P2*0,356^1,3= 64337,151

P2= 64337,151/0,261= 246502,494Pa= 246,502kPa

Il lavoro svolto è dunque calcolabile mediante la relazione per le trasformazioni polintropiche con n= 1,3,

ossia:

b) Siccome per molti gas di comune impiego tra 0°C (273,15K) e 100°C (373,15K) si può scrivere che Δu=

cv*ΔT, allora si può calcolare la variazione dell’energia interna del sistema come:

Dove il valore di cv= 0,743kJ/(kg*K) è stato preso dalla tabella “calori specifici medi impiegabili nell’intervallo

0 – 100°C”. Essendo dunque per il 1° principio della termodinamica ΔU= ΔQ-ΔL, si può infine scrivere che:

41,462= ΔQ-(-55,083)= ΔQ+55,083

ΔQ= -13,621kJ

ovvero il calore è emesso dal sistema.

Un dispositivo cilindro-pistone contiene 5 kg di R-134a a 800 kPa e 60 °C. Il refrigerante è ora raffreddato

a pressione costante fino a che esso sia completamente sotto forma liquida a 20 °C. Determinare

l'ammontare del calore trasferito e mostrare il processo su un piano T-v. (TA-SC28)

Dalla tabella “proprietà termodinamiche dell’R314a in condizioni di saturazione – pressione” si può ricavare

che ad una pressione P= 800kPa= 0,8MPa, la temperatura di saturazione è Tsat= 31,33°C e dunque essendo

la temperatura iniziale Tini= 60°C maggiore di Tsat, ma comunque minore della temperatura critica Tc= 374K=

99,85°C (presa dalla tabella “pesi atomici e molecolari e proprietà critiche di alcuni elementi e componenti

comuni”) si può dedurre che il refrigerante inizialmente si trova nella fase di vapore surriscaldato. Nella fase

finale invece essendo Tfin= 20°C minore di Tsat= 31,33°C si deduce che il refrigerante è allo stato liquido. La

quantità di calore trasferito sarà dunque pari a:

Q= m*dh= m*(h2-h1)

Dove:

- h2 è l’entalpia specifica nello stato finale: h2= hliq= 77,26kJ/kg, preso dalla tabella “proprietà

termodinamiche dell’R314a in condizioni di saturazione – temperatura” entrando con T= 20°C;

- h1 è l’entalpia specifica nello stato iniziale: h1= h60°C= 294,98kJ/kg, preso dalla tabella “proprietà

termodinamiche dell’R134a surriscaldato (3/3)” entrando con P= 0,8MPa e T= 60°C.

Per cui: Q= m*(h2-h1)= 5*(77,26-294,98)= -1088,6kJ

Nella condizione iniziale il refrigerante ha un volume pari ha un volume specifico:

v1= 0,02992m^3/kg= 29,92dm^3/kg

Dove v1 è stato preso dalla tabella “proprietà termodinamiche dell’R134a surriscaldato (3/3)” entrando con

P= 0,8MPa e T= 60°C”.

Nella condizione finale invece il suo volume specifico è pari a:

v2= 0,0008157m^3/kg= 0,8157dm^3/kg

Dove v2 è stato preso dalla tabella “proprietà termodinamiche dell’R314a in condizioni di saturazione –

temperatura” entrando con T= 20°C”.

Il radiatore di un sistema di riscaldamento a vapore ha un volume di 15 litri ed è riempito con vapore

surriscaldato a 200 kPa e 200 °C. In questo momento, sia la valvola di entrata che di uscita sono chiusi.

Determinare l'ammontare del calore che sarà trasferito alla stanza da riscaldare quando la pressione del

vapore scende a 100 kPa. Mostrare, inoltre, il processo su un piano P-v. (TA-SC24)

In tali condizioni iniziali il vapore surriscaldato presenta un volume specifico v= 1,0803m^3/kg (preso dalla

tabella “proprietà termodinamiche dell’acqua surriscaldata (1/4)” entrando con P= 0,2MPa e T= 200°C) e

dunque ha una massa di:

m= V/v= 15l/1,0803(m^3/kg)= 15dm^3/1,0803(m^3/kg)= 0,015m^3/1,0803(m^3/kg)= 0,0139kg.

Per il 1° principio della termodinamica si può scrivere che:

ΔQ-ΔL= ΔU= m(u1-u0)-> ΔQ= m(u1-u0)

Essendo il lavoro ΔL= 0 in quanto non vi è una variazione di volume od altre cause di lavoro. I termini

dell’energia specifica interna valgono invece:

- u0= 2654,4kJ/kg, preso dalla tabella “proprietà termodinamiche dell’acqua surriscaldata (1/4)” entrando

con P= 0,2MPa e T= 200°C;

- u1-> tale valore può essere calcolato mediante la relazione u1= uliq+x(uvs-uliq), dove il titolo x è calcolabile

da dati noti, infatti essendo anche v= vliq+x(vvs-vliq), e conoscendo v= 1,0803m3/kg che a P= 200kPa è nella

parte del piano P-v del vapore surriscaldato, ma ad una pressione di P= 100kPa si trova sicuramente

all’interno della campana di saturazione, si può scrivere che:

x= (v-vliq)/(vvs-vliq)= (1,0803-0,0010438)/(1,673-0,0010438)= 0,646

E quindi: u1= 418,77+0,646(2504,9-418,77)= 1766,41kJ/kg

dove i valori sono stati presi dalla tabella “proprietà termodinamiche dell’acqua in condizioni di saturazione

– temperatura(1/2)” entrando con T= 100°C che corrisponde alla saturazione a P= 100kPa= 1bar.

Si può infine scrivere che: ΔQ= m(u1-u0)= 0,0139(1766,41-2654,4)= -12,343kJ

ovvero il verso del calore è uscente.

Un serbatoio rigido del volume di 0.1 m3 contiene inizialmente vapore a 120 °C. Il serbatoio è connesso

tramite una valvola ad una linea che porta vapore a 1 MPa e 300 °C. La valvola viene aperta e il vapore

della linea entra nel serbatoio. Durante il processo, il vapore nel serbatoio si mantiene alla temperatura

costante di 120 °C. La valvola s