Paniere fisica tecnica domande aperte

Risposte aperte paniere FT

Pag. 8 N°15

Come viene definito il titolo di vapore e come viene impiegato?

Il titolo del vapore viene definito come il rapporto tra la massa del vapore saturo secco

(m ) e la massa totale del vapore saturo (m +m ) costituito dalla miscela liquido+vapore,

VS L VS

ossia:

x= m /m = m /(m +m )

VS TOT VS L VS

che è ovviamente una grandezza adimensionale variabile tra 0 ed 1.

Per ogni valore di pressione (o temperatura) del vapore saturo, esiste una corrispondenza

biunivoca tra volume specifico e titolo: lo stato può quindi essere caratterizzato dalla

coppia di valori P (o T) ed x. Il luogo dei punti aventi medesimo titolo definisce le curve

isotitolo.

Il suo impiego è fondamentale per il calcolo di alcuni parametri specifici del vapore saturo,

come energia interna u, entalpia h ed entropia s, mediante l’utilizzo delle seguenti formule

binomie:

u= u +x(u -u )

L VS L

h= h +x(h -h )

L VS L

s= s +x(s -s )

L VS L

Pag. 9 N°07

Si enunci il principio degli stati corrispondenti.

Il principio degli stati corrispondenti dice che la funzione fattore di comprimibilità

z= f(P , T )= (P*v)/(R*T)

R R

è unica per tutte le sostanze, dove la temperatura ridotta T e la pressione ridotta P , sono

R R

calcolabili mediante le seguenti relazioni:

T = T/T e P = P/P

R C R C

dove T e P sono rispettivamente la temperatura e la pressione critica.

C C

Per cui volendo identificare lo stato di sostanze diverse in termini delle coppie P e T , si

R R

avrà che il valore di z

corrispondente ad ogni coppia sarà

lo stesso per tutte le sostanze.

In definitiva, il modello di gas ideale

può ragionevolmente essere

utilizzato per 2 condizioni distinte,

ovvero, se:

T > 2 per ogni valore della pressione

R

P

Oppure

T > 1 e P < 0,1

R R 1

Pag. 12 N°03

Enunciare il primo principio della termodinamica per i sistemi aperti.

In generale il 1° principio della termodinamica afferma che:

l’energia non può essere né creata né distrutta, ma può essere solo trasformata.

Sapendo dunque che per un processo ciclico si ha:

≠ 0 ≠ 0

∮ ∮

e

dove il loro valore dipende dal particolare cammino; il 1° principio, derivato da

osservazioni sperimentali, sancisce che:

( )

∮ ∮ ∮ ∮ ∮

= ; − = 0; − = 0

L’espressione d(Q-L) rappresenta un differenziale esatto di una certa funzione di stato U

t

(U ) che rasenta l’energia totale immagazzinata: questa è una proprietà del sistema e la

tot

sua variazione durante un processo è data dalla differenza tra le quantità delle 2 energie di

scambio, calore e lavoro, in gioco nel processo stesso, infatti:

d(Q-L)= dU ; dU = dQ-dL

t t

Considerando anche i termini energetici esterni, si può scrivere inoltre che l’energia totale

immagazzinata è equivalente a: 1 2

( )

= + = + + = + +

2

Che in termini differenziali e con riferimento all’unità di massa (tutte le grandezze

diventano specifiche), diventa: 1 2

= − = + +

2

Siccome si vuol ricavare il principio per i sistemi aperti, allora si sostituisce al differenziale

del lavoro dl la relazione per i sistemi aperti dl= dl’+d(pv), ossia:

1

′ 2

[ ( )]

− + = + + ;

2

1 1

′ 2 ′ 2

( )

− − = + + ; − = ( + ) + +

2 2

Dove la quantità u+pv= h è definita come Entalpia, per cui in definitiva si può scrivere:

′

− = + +

Che trascurando i termini cinetici e potenziali relativi all’energia esterna diventa infine:

dq-dl= dh 2

Pag. 13 N°02

Dimostrare come si ottiene la relazione di Mayer tra i calori specifici di gas

perfetti.

La relazione di Mayer tra i calori specifici di gas perfetti è la seguente:

c -c = R

p v

Dimostrazione:

Partendo dalla definizione generale di calore specifico:

il calore specifico di una sostanza è l’energia necessaria per innalzare di un grado la

temperatura della massa unitaria della sostanza stessa e si misura quindi in [J/(kg*K)].

Si possono differenziare 2 casi:

- il 1° nel quale si fornisce energia alla sostanza in condizioni isocore (V costante), e quindi

il calore specifico c a volume costante è dato dalla variazione dell’energia interna specifica

v

( ) [ ].

=

della sostanza rispetto alla variazione unitaria di temperatura, ossia: ∗

Siccome per una trasformazione internamente reversibile in un sistema chiuso vale che

= −, la forma differenziale della 1° legge della dinamica per un sistema di tal tipo

= − , = ,

diventa ma dato che V è costante allora si può scrivere che e

()

( ) [ ];

= =

dunque la relazione per il calcolo di c diventa:

v ∗

- il 2° nel quale si fornisce energia alla sostanza in condizioni isobare (P costante), e quindi

il calore specifico c a pressione costante è dato dalla variazione dell’entalpia specifica

p ℎ

( )

= [ ].

della sostanza rispetto alla variazione unitaria di temperatura, ossia: ∗

Siccome per una trasformazione internamente reversibile in un sistema aperto la 1° legge

ℎ = + ,

della dinamica assume la forma la relazione per il calcolo di c diventa

p

()

( ) [ ].

= =

quindi: ∗

Da alcuni esperimenti effettuati da J. P. Joule nel 1843 si è evinto che sia l’energia interna

che l’entalpia di un gas ideale sono funzioni unicamente della temperatura e dunque si può

scrivere che:

ℎ = + ()

{ → ℎ = + = + = ℎ()

=

E quindi anche i calori specifici c e c dipendono unicamente dalla temperatura:

v p

()

()

( )

= = =

(()

() + ) () () ()

( )

= = = = + = + = ()

Da cui la relazione di Mayer:

() ()

− = . . .

N.B. Ciò che è segnato in grigio è superfluo. 3

Pag. 14 n° 05

Pag. 14 N°02

Un dispositivo cilindro-pistone contiene 0.8 kg di azoto a 100 kPa e 300 K. L'azoto

1.3

in seguito viene compresso lentamente secondo la legge del tipo PV = costante

fino a dimezzare il suo volume. Si determini:

a) il lavoro fatto durante tale trasformazione;

b) il calore trasferito durante tale trasformazione.

Uno schema del sistema ed il diagramma pV del processo sono mostrati sotto:

a) Alle condizioni specificate l’azoto può considerarsi un gas ideale in quanto la

temperatura è alta rispetto al suo valore critico T = 126,15K e la pressione è bassa

c

rispetto al valore critico P = 3390kPa.

c 1,3

Essendo dunque il gas compresso con una legge del tipo PV = k, si può scrivere

11,3 11,3

che: P V = k; 100000*V = k

1

Il volume specifico iniziale v è calcolabile dall’equazione di stato dei gas perfetti

1

Pv= RT, per cui: ∗

296,8 ∗ 300 296,8 ∗ 300

∗ ∗

1

= = =

1

100000 100000

1 2

( )

∗ ∗ 2

296,8 ∗ 300 296,8 ∗ 300

2

∗ ∗ 2

∗

= =

∗

100000 100000

2 2 2

∗ ∗

3

= 0,8904 /

Dove la costante R dell’azoto vale R= 296,8J/(kg*K).

Per cui il volume iniziale V sarà:

1 3

V = v *m= 0,8904*0,8= 0,7123m

1 1

E dunque: 1,3 3 2 3

100000*0,7123 = k; k= 64337,151Pa*m = 64337,151N/m *m = 64337,151N*m=

= 64337,151J= 64,337kJ

Dopo la trasformazione il volume è dimezzato e dunque:

21,3 1,3 1,3

P V = k; P *(V /2) = 64337,151; P *(0,7123/2) = 64337,151

2 2 1 2

1,3

P *0,356 = 64337,151; P = 64337,151/0,261= 246502,494Pa= 246,502kPa

2 2

Il lavoro svolto è dunque calcolabile mediante la relazione per le trasformazioni

polintropiche con n= 1,3, ossia:

− 246502,494∗0,356−100000∗0,7123 87754,888−71230

2 2 1 1

= = = = −55082,96 =

1− 1−1,3 −0,3

−55,083, ovvero il lavoro è svolto dall’ambiente verso il sistema. 4

b) Siccome per molti gas di comune impiego tra 0°C (273,15K) e 100°C (373,15K) si può

scrivere che Δu= c *ΔT, allora si può calcolare la variazione dell’energia interna del

v

sistema come:

1

2 2

2 2

( ) ( (

∆ = 0,743 ∗ − = 0,743 ∗ − 300) = 0,743 ∗ − 300)

2 1

∗

(369,754 300) (69,754)

= 0,743 ∗ − = 0,743 ∗ = 51,827 →

(51,827)

∆ = ∗ ∆ = 0,8 ∗ = 41,462

Dove il valore di c = 0,743kJ/(kg*K) è stato preso dalla tabella “calori specifici medi

v

impiegabili nell’intervallo 0 – 100°C”.

Essendo dunque per il 1° principio della termodinamica ΔU= ΔQ-ΔL, si può infine scrivere

che:

41,462= ΔQ-(-55,083)= ΔQ+55,083; ΔQ= -13,621kJ, ovvero il calore è emesso dal sistema.

Pag. 15 N° 09

Pag. 14 N°03

Una turbina a gas adiabatica fornisce la potenza di 5 MW

alle condizioni di ingresso e uscita indicate in figura sotto.

Considerando i gas che attraversano la turbina come aria,

si chiede di:

a) calcolare e confrontare tra loro ?h, ?ec, ?ep ;

b) determinare il lavoro compiuto per unità di massa dai

gas caldi;

c) calcolare la portata massica dei gas.

Il sistema da considerare è quello interno alla turbina racchiuso

dalla linea tratteggiata in rosso. Poiché il gas attraversa questo

contorno, si parla di Volume di Controllo (V.C.) ed inoltre poiché

non vi sono indicazioni di variazioni nel tempo entro tale V.C., si tratta quindi di un sistema

a flusso stazionario.

Per tale sistema si considererà un calore specifico a pressione costante c alla temperatura

p

media T = (T +T )/2= (1200+600)/2= 900K, per cui c = 1,121kJ/(kg*°C)

med 1 2 p

a) La variazione ?h di entalpia specifica è calcolabile per definizione come:

?h= dh= c *dT= c *(T -T )= 1,121*(326,85-926,85)= -672,6kJ/kg

p p 2 1

La variazione ?e di energia cinetica specifica è calcolabile per definizione come:

c 2 22 12 2 2

?e = de = (1/2)*dw = (1/2)*(w -w )= (1/2)*(180 -50 )= 14950J/kg= 14,95kJ/kg

c c

La variazione ?e di energia potenziale specifica è calcolabile per definizione come:

p

?e = de = g*dz= g*(z -z )= 9,81*(6-10)= -39,24J/kg= -0,04kJ/kg

p p 2 1

Si noti che la variazione dell’energia potenziale è insignificante in confronto alle

variazioni di entalpia e di energia cinetica, e che la variazione di energia cinetica

caratterizza una piccola frazione della variazione di entalpia tanto da essere spesso

trascurata; 5

b) Per il 1° principio della termodinamica applicato ai sistemi aperti, e considerando

che il processo è adiabatico (dq= 0), si ha che:

dh+de +de = dq-dl; -672,6+14,95-0,04= 0-dl;dl= 657,69kJ/kg (ovvero tale lavoro è

c p

compiuto dal Sistema verso l’ambiente);

c) Per ottenere una potenza di 5MW è necessaria la seguente portata massica:

5 5000 5000/

̇ = = = = = 7,6/

657,69/ 657,69/ 657,69/

Pag. 14 N° 03

Pag. 14 N°04

CO2 entra in un compressore adiabatico a 100 kPa e 300 K con una portata

massica di 0.5 kg/s ed esce a 600 kPa e 450 K. Trascurando la variazione di energia

cinetica e potenziale, determinare:

a) la portata volumetrica di CO2 all'ingresso del compressore;

b) la potenza in ingresso al compressore;

a) Alle condizioni indicate l’anidride carbonica può essere

considerata un gas ideale, per cui si può scrivere che:

P*v= R*T

Dove R per tale sostanza vale: R= 188,9J/(kg*K).

Si potrà dunque scrivere che: 3

P *v = R*T ; 100000*v = 188,9*300; 100000*v = 56670; v = 0,567m /kg

1 1 1 1 1 1

Sapendo che la portata massica vale:

̇

̇ = = = 0,5/

1 1 1 1 1 1 ρ equivale all’inverso del volume specifico, ossia:

E notando che la densità 1

ρ = 1/v = 1/0,567= 1,764kg/m3

1 1

si può quindi calcolare la portata volumetrica come:

3

̇ 0,5/

1

̇

= = = 0,283

1

1 1,764 3

b) Per tale sistema si considera un calore specifico a pressione costante c alla temperatura

p

media T = (T +T )/2= (300+450)/2= 375K, che è calcolabile mediante l’espressione

med 1 2

2 3

c = a+bT+cT +dT prendendo i coefficienti dalla tabella “coefficienti sperimentali per il

p

calcolo del calore specifico a pressione costante per gas ideale secondo la correlazione:

2 3 -1 -1

c = a+bT+cT +dT ; T[K]. c [kJ*kg *K ]” per cui:

p p

−1 −3 −6 2 −10

= 4,498 ∗ 10 + 1,669 ∗ 10 ∗ 375 − 1,273 ∗ 10 ∗ 375 + 3,898 ∗ 10

∗

3

∗ 375 = 0,4498 + 0,626 − 0,179 + 0,021 = 0,9178 ∗

Essendo il processo adiabatico (ΔQ= 0), il 1° principio della termodinamica in tal caso si può

esprimere come:

dh= dq-dl= 0-dl= -dl; dl= -dh

dove: dh= c *dT= c *(T -T )= 0,9178*(450-300)= 137,67kJ/kg

p p 2 1 6

e quindi: dl= -137,67kJ/kg, ovvero è ricevuto dal sistema.

La potenza è calcolabile mediante la seguente relazione:

(−137,67 )

= ̇ ∗ = 0,5 ∗ = −68,835 = −68,835

Pag. 15 N° 06

Pag. 14 N°05 °C.

Un dispositivo cilindro?pistone contiene 5 kg di R-134a a 800 kPa e 60 Il

refrigerante è ora raffreddato a pressione costante fino a che esso sia

°C.

completamente sotto forma liquida a 20 Determinare l'ammontare del calore

trasferito e mostrare il processo su un piano T-v.

Dalla tabella “proprietà termodinamiche dell’R314a in condizioni di

saturazione – pressione” si può ricavare che ad una pressione

P= 800kPa= 0,8MPa, la temperatura di saturazione è T = 31,33°C e

sat

dunque essendo la temperatura iniziale T = 60°C maggiore di T , ma

ini sat

comunque minore della temperatura critica T = 374K= 99,85°C (presa

c

dalla tabella “pesi atomici e molecolari e proprietà critiche di alcuni

elementi e componenti comuni”) si può dedurre che il refrigerante inizialmente si trova

nella fase di vapore surriscaldato.

Nella fase finale invece essendo T = 20°C minore di T = 31,33°C si deduce che il

fin sat

refrigerante è allo stato liquido.

La quantità di calore trasferito sarà dunque pari a:

Q= m*dh= m*(h -h )

2 1

Dove:

- h è l’entalpia specifica nello stato finale: h = h = 77,26kJ/kg, preso dalla tabella

2 2 liq

“proprietà termodinamiche dell’R314a in condizioni di saturazione – temperatura”

entrando con T= 20°C;

- h è l’entalpia specifica nello stato iniziale: h = h = 294,98kJ/kg, preso dalla tabella

1 1 60°C

“proprietà termodinamiche dell’R134a surriscaldato (3/3)” entrando con P= 0,8MPa e T=

60°C.

Per cui:

Q= m*(h -h )= 5*(77,26-294,98)= -1088,6kJ

2 1

Nella condizione iniziale il refrigerante ha un volume pari ha un volume specifico:

3 3

v = 0,02992m /kg= 29,92dm /kg

1

Dove v è stato preso dalla tabella “proprietà termodinamiche dell’R134a surriscaldato

1

(3/3)” entrando con P= 0,8MPa e T= 60°C”.

Nella condizione finale invece il suo volume specifico è pari a:

3 3

v = 0,0008157m /kg= 0,8157dm /kg

2

Dove v è stato preso dalla tabella “proprietà termodinamiche dell’R314a in condizioni

2

di saturazione – temperatura” entrando con T= 20°C”. 7

Pag. 14 N°06 °C

Una corrente di acqua calda a 80 entra in un miscelatore con una portata di

°C.

0.5 kg/s, mentre è miscelata con una corrente di acqua fredda a 20 Se si

°C.

desidera che l'acqua esca dal miscelatore a 42 determinare la portata massica

necessaria per la corrente di acqua fredda.

Assumere che tutte le correnti siano ad una pressione di 250 kPa.

In un miscelatore per il bil