Paniere con risposte aperte di logica e filosofia della scienza

Lezione 03804

Quali particolari stati di cose possiamo esprimere mediante l'impiego della relazione di identità informule quantificate? Si forniscano anche alcuni esempi al riguardo.

Grazie alle relazioni di identità si arricchisce il potere espressivo del nostro linguaggio. Mediante l'identità è possibile fare affermazioni numericamente determinate su oggetti.

Tramite l'occorrenza delle relazioni di identità in formule quantificate possiamo esprimere molteplici stati di cose, come ad esempio affermare che:

• al massimo un individuo ha la proprietà F ("per ogni due individui x e y qualunque vale che, se entrambi hanno la proprietà F, allora sono lo stesso individuo");
• esiste solo e soltanto un individuo che ha la proprietà F ("esiste un individuo x tale che, per ogni individuo y, se y ha la proprietà F, allora y è lo stesso individuo di x").

Queste formule permettono di formalizzare nel linguaggio della logica predicativa particolari espressioni numeriche determinate con relativa agilità. Lezione 03910. Si enuncino le condizioni restrittive per le sostituzioni su formule.

Un'operazione molto importante sulle formule è la sostituzione. Dati una qualunque formula α, una qualunque variabile individuale x e un qualunque termine individuale t si dice sostituzione di x con t in α la formula ottenuta rimpiazzando sistematicamente tutte le occorrenze libere della variabile x in α con t.

Tuttavia,

l'operazione di sostituzione, se indiscriminatamente applicata, può produrre nelle formule su cui si applica alterazioni simili a quelle che si ottengono scambiando l'ordine di quantificatori eterogenei. Sono necessarie perciò alcune restrizioni. In modo particolare, se vogliamo sostituire in una formula α tutte le occorrenze libere di x con il termine individuale t dobbiamo prima assicurarci che il termine t sia libero per x, ossia bisogna verificare che non ci siano sotto formule di α tali per cui cominciano con un quantificatore, e in cui una delle variabili occorrenti nel termine t viene vincolata. Dire che il termine t è libero per x è equivalente a dire che t è (legittimamente) sostituibile a x.

Lezione 04005. Che cos'è un "sistema formale"? Che cos'è una "dimostrazione formale"? Come possono venir definiti i "teoremi" del calcolo proposizionale e del calcolo

Un sistema formale è un apparato di regole e princìpi che ci consenta di costruire dimostrazioni formali.

Una dimostrazione formale è una deduzione logica che consente di giungere a una formula a partire da altre formule mediante una sequenza di formule (ognuna delle quali viene considerata di indubbia validità), senza fare alcun riferimento al loro "contenuto".

In particolare, la dimostrazione formale di un ragionamento valido (e quindi di un'inferenza) si presenta come una "concatenazione" di inferenze più basilari la cui validità sia indubbia, e senza prendere in minima considerazione il "contenuto" del ragionamento di cui si voglia vagliare la validità.

I teoremi sono formule derivabili sulla base delle regole d'inferenza, in dipendenza da un insieme vuoto di assunzioni. Dunque, i teoremi non sono assunzioni né ipotesi, né dipendono da assunzioni di alcun tipo.

Da un

Da un punto di vista semantico, i teoremi sono verità logiche, formule vere da un punto di vista puramente logico. Essi nel calcolo proposizionale prendono la forma di tautologie, mentre nel caso della logica del primo ordine i teoremi sono fbf che risultano vere in ogni "modello".

Lezione 04105. Quali sono le principali regole d'inferenza caratterizzanti il calcolo predicativo? Si enuncino le regole facendo alcuni esempi.

Le regole d'inferenza del calcolo predicativo sono 16, le prime 10 coincidono con le regole, quelle per i connettivi logici, coincidono con quelle del calcolo proposizionale.

• Eliminazione del quantificatore universale: Questa regola è l'espressione formale del fatto che ciò che è vero per ogni individuo deve essere anche vero di qualunque individuo particolare. Essa prende il nome di esemplificazione universale perché, a partire da un'asserzione universale, consente di dedurne i singoli casi che la esemplificano.

L'eliminazione del quantificatore universale è proprio la regola che viene impiegata nell'esempio classico di sillogismo per derivare la conclusione "Socrate è mortale" a partire dalle due premesse "Tutti gli uomini sono mortali" e "Socrate è uomo";

• Introduzione del quantificatore universale: ciò che si dimostra per variabili libere implicitamente vale per tutto ciò che appartiene al loro campo di variazione. Se posso dimostrare qualcosa per un certo individuo, senza fare alcuna assunzione che lo distingua dagli altri, allora ciò che è stato dimostrato per quell'individuo può essere dimostrato nello stesso modo per qualunque altro. Perciò questa regola prende il nome di generalizzazione universale. ES: il professore di geometria può dimostrare, poniamo, che la somma degli angoli interni di un triangolo equivale a 180°. Egli disegna alla lavagna un certo triangolo

• Il triangolo può essere classificato come isoscele, scaleno, ecc.
• Il triangolo può godere di una certa proprietà.
• Il triangolo disegnato alla lavagna rappresenta qualsiasi triangolo.
• Eliminazione del quantificatore esistenziale: c'è almeno una cosa che soddisfa certi requisiti o per cui vale una certa proprietà.
• Scegliamo un individuo "rappresentativo" e ipotizziamo che sia proprio quello che soddisfa i requisiti o che gode della proprietà in questione.
• Se riusciamo a derivare la conclusione desiderata da questa ipotesi, senza fare ulteriori assunzioni sull'individuo scelto, allora possiamo essere certi che la conclusione non dipende significativamente dalla nostra particolare scelta.
• Quindi, se la nostra ipotesi ci consente di derivare la conclusione desiderata, allora la derivazione ipotetica è generalizzabile: vale anche per altri individui.

• Introduzione del quantificatore esistenziale: dal fatto che un certo individuo ha una certa proprietà segue che esiste almeno qualcuno che ha quella proprietà. Se una condizione vale per un individuo t, allora esiste qualcosa per cui vale quella condizione. Ad es. dalla proposizione "La Lazio ha vinto due scudetti" posso inferire che "Esiste almeno una squadra che ha vinto due scudetti". Questa regola d'inferenza, che prende il nome di generalizzazione esistenziale, consente di dimostrare ragionamenti del tipo: "Paolo è un fumatore, Paolo è un tipo riflessivo, (dunque) qualche fumatore è un tipo riflessivo";
• Introduzione dell'identità: viene chiamato calcolo dei predicati con identità o, in analogia con il linguaggio quasi elementare, calcolo quasi elementare. La regola d'inferenza di introduzione dell'identità ci dice che

ogni oggetto è necessariamente identico a se stesso. L'identità è un tipo di relazione logica particolare, rappresentativa delle cosiddette relazioni di equivalenza. In logica una relazione di equivalenza è una relazione che è riflessiva, simmetrica e transitiva. Una relazione R è riflessiva se e soltanto se per ogni oggetto per cui vale R esso è in quella determinata relazione con se stesso. Essa è poi simmetrica se, presi due oggetti qualsiasi, il primo è in relazione R con il secondo se e soltanto se il secondo è nella relazione R con il primo (ad es. la relazione "essere padre di" non è simmetrica). Si dice infine transitiva quella relazione R che, dati tre oggetti, se il primo è in relazione R con il secondo e il secondo è in relazione R con il terzo, allora ne segue che il primo è in relazione R con il terzo. (L'identità è, dunque, una relazione di equivalenza).

equivalenza);

• Eliminazione dell'identità: riflette l'idea che due nomi diversi che si riferiscono al medesimo oggetto sono intercambiabili. Dalla proposizione "Venere è la Stella della sera" e dall'identità "Venere = Stella del mattino" posso inferire correttamente "La Stella del mattino è la Stella della sera".

06. Che vuol dire che il calcolo dei predicati è "completo", "corretto" e "indecidibile"?

Il Teorema di Church afferma che la logica dei predicati è indecidibile. L'indecidibilità del calcolo dei predicati è diretta conseguenza della sua correttezza e della sua completezza: l'insieme delle regole d'inferenza genera solo e tutte le forme di ragionamento valide della logica del primo ordine. Se siamo dunque incapaci di costruire una dimostrazione per una forma di ragionamento espressa nel linguaggio della logica predicativa,

allora questo può significare che la forma è effettivamente invalida, ma che non è possibile dimostrarlo. La completezza della logica del primo ordine e dei sistemi formali su di essa impiantati è stata dimostrata da Gödel. I sistemi formali del primo ordine riescono a dimostrare con i soli "mezzi" della logica del primo ordine tutte le verità logiche che le appartengono, ossia tutte le verità logiche del primo ordine.

Lezione 04205. Che cosa affermano i principi di "comprensione" ed "estensionalità"? Il principio di comprensione dice che una qualunque proprietà F determina un insieme {x | F(x)}, ossia l'insieme di tutte e sole quelle cose per cui vale quella proprietà. Il principio di estensionalità stabilisce le condizioni sufficienti per l'identità fra insiemi. Il principio di estensionalità ha interessanti conseguenze, di grande rilevanza epistemologica.