Operazioni con le matrici, trasposte, coniugate, tipi di matrici

Algebra Lineare – Settimana 2

(5 e 6 ottobre 2020)

Operazioni con le matrici

Prodotto di una matrice per uno scalare

=(

A aij)

Data , scalare, si definisce prodotto dello scalare per la

α α

m × n =(bij) ⋅aij

B

matrice , la matrice , dove .

A bij=α

m ×n

Esempio [ ]

[ ] [ ]

ⅈ(1−i)

(1−i) (1−i)

7 0 3

ⅈ ⅈ

7 0 3 7−i 0 3+ 3

( )

ⅈ = =

1− ⅈ ⅈ ⅈ

−ⅈ −4 −1− −4 +4

1+ 2 3+ 2 i

ⅈ (1−i) −ⅈ(1−i ) −4 (1−i )

1+2

NB: ⇒

cancellazione:

vale la legge di e/o

αA=O α=0 A=O

Proprietà del prodotto matrice per scalare

1. ∀ ∀

αA= Aα a A

2. ∀

1 A= A A

3. ∀

0 A=O A

4. ∀ ∀

⋅

(α ) (βA) a,β A

β A=α

NB: (−1 ) opposta

⟶ matrice di

A=−A=(−aij) A

Somma di due matrici {

r=m

=( =(bij) stesse dimensioni,

Date , con le cioè si

A aij) B

m × n r × s n=s

definisce

+

A B=[aij+bij]

Esempio

[ ] [ ] [ ]

ⅈ

7 0 3 5 2 3 12 2 3+3 i

+ =

ⅈ ⅈ

−ⅈ −4

1+2 7 i 9 1+ 9i 0 5

Prodotto di un vettore riga per un vettore colonna

[ ]

v 1

v

[ ]

T = =

v v v … v v 2

1 2 n …

v n

Esempio

[ ]

−1

[ ] (−1 )+ ( ) ( )

⋅ ⋅ ⋅

=−7 +3

71+i 3 1+i 1−i 2i=−5+6 i

1−i

2i

NB1:

1. T ⋅0=0

v

2. T T

⋅ ⋅

v u=u v

NB2: non vale la legge di cancellazione

T T T

e

u≠ 0 ⋅u=0 ⇏ =0

v v

e

T T T ⋅u=0 ⇏u=0

=0

v v

Prodotto di matrici riga per colonna

A B

Date , , il prodotto riga per colonna di e è possibile solo

A B

m × n r × s

se r=n

⋅ =C =(

A B cij)

m × n n × s m ×s

dove = ( -esima riga di )( -esima colonna di )

cij i A j B

Esempio

[ ]

2 3 7

=

A 2 ×3 6 0 5

[ ]

ⅈ ⅈ

7 6

=

F −2 5

3 × 2 −3

4

[ ]

ⅈ ⅈ

22+ 14 6+2

AF= ⅈ ⅈ

20+42 8

Proprietà di cui gode il prodotto riga per colonna

( )=( )

1. A BC AB C

=O =O

O A A O

2. k ×m m × n k × n m × n n × s m × s

1 0 0 [ ]

1 0

=

I =

3. identica identica

matrice di ordine matrice