Operazioni con le matrici, trasposte, coniugate, tipi di matrici

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[ ]−1[ ] (−1 )+ ( ) ( )⋅ ⋅ ⋅=−7 +371+i 3 1+i 1−i 2i=−5+6 i1−i2iNB1:1. T ⋅0=0v2. T T⋅ ⋅v u=u vNB2: non vale la legge di cancellazioneT T Teu≠ 0 ⋅u=0 ⇏ =0v veT T T ⋅u=0 ⇏u=0=0v vProdotto di matrici riga per colonnaA BDate , , il prodotto riga per colonna di e è possibile soloA Bm × n r × sse r=n⋅ =C =(A B cij)m × n n × s m ×sdove = ( -esima riga di )( -esima colonna di )cij i A j BEsempio[ ]2 3 7=A 2 ×3 6 0 5[ ]ⅈ ⅈ7 6=F −2 53 × 2 −34[ ]ⅈ ⅈ22+ 14 6+2AF= ⅈ ⅈ20+42 8Proprietà di cui gode il prodotto riga per colonna( )=( )1. A BC AB C=O =OO A A O2. k ×m m × n k × n m × n n × s m × s1 0 0 [ ]1 0=I =3. identica identicamatrice di ordine matricen I⋱0 0 2n 0 10 0 1di ordine 2=AA IIA= A( )=4. A B+C AB+ AC( )5. + +A B C= AC BC( )=( ) ( )6. scalareαα AB αA B= A

αBProprietà di cui NON gode il prodotto riga per colonna

1. NON commutativo⟶il prodotto è AB ≠ BA
2. NON vale la legge di cancellazione{ AB=O ⟹ B=OA≠O

Potenze di matrici quadrate

Le matrici possono essere elevate a potenza solo se sono matrici quadrate (ovvero se il numero di righe è uguale al numero di colonne). Infatti, se A ≠ m× n e n ≠ m, quindi la moltiplicazione non è possibile.

Trasposte, coniugate ed H-trasposte

Sia A m × n

Trasposta T

La trasposta di A è A^T dove A^Tij=a_ji

Coniugata ´

La coniugata di A è B dove B_ij=a_ij´

H-trasposta H

La H-trasposta di A è la trasposta e coniugata e si indica con A^H

1. ⅈ1 2+ 3 1−ⅈ H⟹ =A= A 2−3i 0ⅈ7 0 4 ⅈ1+ 4

2. NB: H T T= =(A Á Á)

3. Proprietà delle trasposte, delle coniugate e delle H-trasposte´

4. T T H T( ) ( )=α =αA A αA ά AαA= ά Á´

5. T T T H H H( ) ( )+ =A + + =A ++A B B A B BA B= Á+ B́A AT HÁ= A(¿¿ ) = (¿¿ ) =T A H A¿ ¿´

6. T T T H H H( ) ( )⋅ ⋅=B =BAB A AB AAB= Á B́

7. Tipi di matrice e notazioni

8. L’insieme di tutte le matrici a coefficienti (complessi) si indicam× n Ccon: (C)M m ×n

9. Matrice quadratasi dice quadrata se . In tal caso, l’ordine della matrice.A m=n m=n=¿(C)M n

10. Esempio[ ]7 3 1−ⅈ ( )∈A= A M Cⅈ0 2+3 4 35 1 2 ⟶ coefficienti diagonali di(7,2+3 Ai , 2)

11. Matrice diagonalesi dice diagonale se:A è quadrata; se aij=0 i≠ j[ ]d 0 01D= ⋮ ⋱ ⋮0 0 d nnd ,d … , d ¿1 2 ¿D=DiagEsempio[ ]2 0 0 ( )∈A= A M C0 i 0 30 0 8Matrice scalare

• ⋅ = Diag(d)A = dI
• si dice diagonale se A =
  [2 0 0
  0 2 0
  0 0 2]
• Matrice triangolare superiore
  si dice triangolare superiore se:
  A è quadrata;
  aij = 0 se i > j
  A =
  [1 1 2
  0 1 3
  0 0 1]
• Matrice triangolare inferiore
  si dice triangolare inferiore se:
  A è quadrata;
  aij = 0 se i < j
  A =
  [1 0 0
  3 2 0
  3 2 1]
• Vettore colonna e vettore riga
  Vettore colonna v =
  [v1
  v2
  ...
  vn]
  Vettore riga vT =
  [v1 v2 ... vn]