Numeri complessi, proprietà e rappresentazione

Si introduce un oggetto i: unità immaginaria con condizione i²=-1

z = a+bi a,b∈ℝ

z̅ = a+bi a,b∈ℝ

a = Re z = parte reale di z

b = Im z = parte immaginaria

Esempio Re (3-4i) = 3

Re (2i) = 0

Im (3-4i) = -4

Im (8) = 0

PROPRIETÀ:

1. (a+bi)+(c+di) = (a+c)+(b+d)i

2. (a+bi)·(c+di) = (ac-bd)+(ad+bc)i

dim

(a+bi)(c+di) = ac+adi+bci+bd(i²) =

= ac+adi+bci-bd =

= (ac-bd)+(ad+bc)i

Frazione tra numeri immaginari

3. z = 0 ⇔ Re z = 0 e Im z = 0

4. z = w ⇔ Re z = Re w e Im z = Im w

Posto z = Re z + Im z

z ≠ 0 z = a+bi

Se suo RECIPROCO

1_z=

1₂ = z_|z|²

dim: z̅ = z 1_z = 1_z

z = a+bi

1₂ = a_a²+b² - b_a²+b² i

num. complesso che, multiplicato per 2, dà 1

Si introduce un oggetto i: unità immaginaria con condizione i² = -1

z = a + bi, a, b ∈ ℝ

z̅ = a + bi, a, b ∈ ℝ

a = Rez = parte reale di z

b = Imz = parte immaginaria

Esempio Re (3-4i) = 3

Im(3-4i) = -4

Re (2i) = 0

Im (8̅) = 0

PROPRIETÀ

1 ❶ (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

2 ❶ (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i

dim

(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bd(i²) =

= ac + adi + bci - bd =

= (ac - bd) + (ad + bc)i

Condizione tra numeri immaginari

3 ❶ z = 0 ↔ Rez = 0 e Imz = 0

4 ❶ z = w ↔ Rez = Rew e Imz = Imw

Due numeri sono = se hanno stessa parte reale e stessa immaginaria

Posto z = Rez + Imz

z ≠ 0 z = a + bi

E se suo reciproco

¹/_z = ^a/_{a² + b²} + ^-b/_{a² + b²} i

num. complesso che, moltiplicato per 2di i.

¹/₂ = ^z̅/_|z|²

dim: z̅ = ¹/_z * z = 1

z = a + bi

¹/₂ = (a + bi)

(&LowBar;&LowBar;&LowBar;&LowBar;&LowBar;&LowBar;&LowBar;&LowBar;&LowBar;&LowBar;&LowBar;&LowBar;&LowBar;&LowBar;)

(^a/_{a² + b²} +^-b/_{a² + b²} i)

Uso la proprietà: (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i

OSS: le DISEQUAZIONI TRA numeri COMPLESSI NON esistono.

CONIUGATO

Dato z=Rez+Imz

CONIUGATO è: ̅=Rez-Imz

ES.

z=3+4i, ̅=3-4i

• z=̅ => ∂=∂̅

PROPRIETÀ

∀,∈ℂ

1. Re(+)=Rez+Re Im(+)=Imz+Im
2. ̅=Rez=Rez ed Imz=-Imz
3. +=̅+ ed ⋅=̅⋅
4. =̅
5. =̅ ∈ℝ => Imz=0
6. Re=+̅/2
7. Im=-̅/2i

Dato: i=-i

=(-1/2)(-̅)

MODULO DI UN NUMERO COMPLESSO

Dato z: Rez+i∙Imz

C→ℝ

|z|=√((Rez)^2+(Imz)^2)

Esempio: calcolare il modulo di 3+4i => |3+4i|=√3^2+4^2=√25=5

Calcolare il modulo coniugato => |3-4i|=√3^2+(-4i)^2=√25=5

Proprietà ∀z,w∈ℂ

1. |z|=|ż| modulo
2. valore assoluto |Rez| ≤ |z| modulovalore assoluto |Imz| ≤ |z| modulo
3. 2 |z∙ż|=|z|^2 modulo

dim : (Rez+i∙Imz)∙(Rez-i∙Imz)== (Rez)^2-(Imz)^2

4. Modulo |z∙ż|=|z|∙|ż| prodotto dei due moduli
5. Modulo |z+w| ≤ |z|+(|w|) somma dei due moduliDISUGUAGLIANZA TRIANGOLARE
6. Modulo |z|=√(Rez|+(Imz|)
7. Modulo |z|≥0modulo |z|=0 ⟺ z=0

So che z = Rez + Imz i

z = ρ (cosθ + i senθ)

ρ² = |z|

• cosθ = Re z / |z|
• senθ = Imz / |z|

ESER:

Riscrivere in forma trigonometrica: z = 3 + √3 i

Soluzione

1. TROVO IL MODULO

|z|² = ( (3)² + (√3)² ) ² = 9 + 3 = 12 → √z > √12 = 2√3

2. TROVO PARTE REALE ED IMMAGINARIA

Scrivo z come z / |z|

3 + √3 i = 2√3 ( 3/2√3 + √3/2√3 i ) = 2√3 ( √3/2 + 1/2 i )

• Re z / |z|
• Imz / |z|

cerco un θ

cosθ = ^√3/₂

sinθ = ¹/₂

θ = π/6

⇒ 2√3(cosπ/6 + i sinπ/6)

ESER: SCRIVERE IN FORMA TRIGONOMETRICA

z = 4i

|z| = 4

cosθ = ^Re/_|z| = 0

sinθ = ^Imm/_|z| = ⁴/₄ = 1

θ = π/2

z = 4(cosπ/2 + i sinπ/2)

z = 2 - 2i

|z| = ρ = √(2² + (-2)²) = 2√2

cosθ = ^Re/_|z| = ²/_2√2 = ^√2/₂

sinθ = ^Imm/_|z| = -²/_2√2 = -^√2/₂

θ = -π/4

⇒ z = 2√2(cos(-π/4) + i sin(-π/4))