Numeri complessi, proprietà e rappresentazione

Numeri complessi

Si introduce un oggetto i: unità immaginaria con condizione i² = -1

z = a + bi, a, b ∈ℝ

z̅ = a + bi, a, b ∈ℝ

a = Re z = parte reale di z

b = Im z = parte immaginaria

Esempio

Re (3 - 4i) = 3

Re (2i) = 0

Im (3 - 4i) = -4

Im (8) = 0

Proprietà

1. (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
2. (a + bi) · (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i

dim(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bd(i²) == ac + adi + bci - bd == (ac - bd) + (ad + bc)i

Frazione tra numeri immaginari

3. z = 0 ⇔ Re z = 0 e Im z = 0
4. z = w ⇔ Re z = Re w e Im z = Im w

Posto z = Re z + Im z

z ≠ 0

z = a + bi

Se suo reciproco

¹/_z = ¹/₂ = ^z/_|z|²

dim: z̅ = z

¹/_z = ¹/_z

z = a + bi

¹/₂ = ^a/_{a² + b²} - ^b/_{a² + b²} i

num. complesso che, moltiplicato per 2, dà 1

Si introduce un oggetto i: unità immaginaria con condizione i² = -1

z = a + bi, a, b ∈ ℝ

z̅ = a + bi, a, b ∈ ℝ

a = Re z = parte reale di z

b = Im z = parte immaginaria

Esempio

Re (3 - 4i) = 3

Im(3 - 4i) = -4

Re (2i) = 0

Im (8̅) = 0

Proprietà

1. (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
2. (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i

dim(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bd(i²) == ac + adi + bci - bd == (ac - bd) + (ad + bc)i

Condizione tra numeri immaginari

3. z = 0 ↔ Re z = 0 e Im z = 0
4. z = w ↔ Re z = Re w e Im z = Im w

Due numeri sono = se hanno stessa parte reale e stessa immaginaria

Posto z = Re z + Im z

z ≠ 0

z = a + bi

E se suo reciproco

¹/_z = ^a/_{a² + b²} + ^-b/_{a² + b²} i

num. complesso che, moltiplicato per 2 di i.

¹/₂ = ^z̅/_|z|²

dim: z̅ = ¹/_z * z = 1

z = a + bi

¹/₂ = (a + bi)(&LowBar;&LowBar;&LowBar;&LowBar;&LowBar;&LowBar;&LowBar;&LowBar;&LowBar;&LowBar;&LowBar;&LowBar;&LowBar;&LowBar;)(^a/_{a² + b²} + ^-b/_{a² + b²} i)

Uso la proprietà: (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i

OSS: le disequazioni tra numeri complessi non esistono.

Coniugato

Dato z = Re z + Im z

Coniugato è: z̅ = Re z - Im z

ES. z = 3 + 4i, z̅ = 3 - 4i

z = z̅ => ∂ = ∂̅

Proprietà

∀ z, w ∈ℂ

• Re(z + w) = Re z + Re w
• Im(z + w) = Im z + Im w
• z̅̅ = z
• Re z = Re z̅ ed Im z = -Im z̅
• (z + w)̅ = z̅ + w̅
• (z ⋅ w)̅ = z̅ ⋅ w̅
• z = z̅ ∈ℝ => Im z = 0
• Re z = (z + z̅)/2
• Im z = (z - z̅)/2i

Dato: i = -i = (-1/2)(-z̅)

Modulo di un numero complesso

Dato z: Re z + i∙Im z

C → ℝ

|z| = √((Re z)² + (Im z)²)

Esempio

Calcolare il modulo di 3 + 4i => |3 + 4i| = √3² + 4² = √25 = 5

Calcolare il modulo coniugato => |3 - 4i| = √3² + (-4i)² = √25 = 5

Proprietà

∀ z, w ∈ℂ

• |z| = |z̅| modulo valore assoluto
• |Re z| ≤ |z| modulo valore assoluto
• |Im z| ≤ |z| modulo
• |z∙z̅| = |z|² modulo

dim: (Re z + i∙Im z)∙(Re z - i∙Im z) == (Re z)² - (Im z)²

• Modulo |z∙z̅| = |z|∙|z̅| prodotto dei due moduli
• Modulo |z + w| ≤ |z| + (|w|) somma dei due moduli
• Disuguaglianza triangolare
• Modulo |z| = √(Re z| + (Im z|)
• Modulo |z| ≥ 0
• Modulo |z| = 0 ⟺ z = 0

So che z = Re z + Im z i

z = ρ (cosθ + i senθ)

ρ² = |z|

cosθ = Re z / |z|

senθ = Im z / |z|

Esercizi

Riscrivere in forma trigonometrica

z = 3 + √3 i

Soluzione

1. Trovo il modulo

|z|² = ((3)² + (√3)²)² = 9 + 3 = 12 → √z > √12 = 2√3

2. Trovo parte reale ed immaginaria

Scrivo z come z / |z|

3 + √3 i = 2√3 (3/2√3 + √3/2√3 i) = 2√3 (√3/2 + 1/2 i)

Re z / |z|

Im z / |z|

Cerco un θ

cosθ = ^√3/₂

sinθ = ¹/₂

θ = π/6

⇒ 2√3(cosπ/6 + i sinπ/6)

Esercizio: scrivere in forma trigonometrica

z = 4i

|z| = 4

cosθ = ^Re/_|z| = 0

sinθ = ^Imm/_|z| = ⁴/₄ = 1

θ = π/2

z = 4(cosπ/2 + i sinπ/2)

z = 2 - 2i

|z| = ρ = √(2² + (-2)²) = 2√2

cosθ = ^Re/_|z| = ²/_2√2 = ^√2/₂

sinθ = ^Imm/_|z| = -²/_2√2 = -^√2/₂

θ = -π/4

⇒ z = 2√2(cos(-π/4) + i sin(-π/4))