Numeri complessi, proprietà e rappresentazione

Si introduce un oggetto z unità immaginaria con condizione i²=-1

z = a+bi a, b ∈ ℝ

a = Re z = parte reale di z

b = Im z = parte immaginaria

Re (3-4i) = 3

Im (3-4i) = -4

Re (2i) = 0

Im (8ⁱ) = 0

PROPRIETÀ

1. (a+bi)+(c+di) = (a+c)+(b+d)i

2. (a+bi)(c+di) = (ac-bd)+(ad+bc)i

dim.

(a+bi)(a+di) = ac+adi+bci+bd(i²) =

= ac+adi+bci-bd =

= (ac-bd)+(ad+bc)i

Frazione tra numeri immaginari

3. z = 0 ⟺ Re z = 0 e Im z = 0

4. z = w ⟺ Re z = Re w e Im z = Im w

Due numeri sono = se hanno stesso parte reale e stessa immaginaria.

Posto z = Re z + Im z

z ≠ 0 z = a + bi

Il suo RECIPROCO ¹/_z ⟹ z ⋅ ¹/_z = 1

dim: z ⋅ ¹/_z = 1 ⟹ ¹/_z

z = a + bi

¹/_z = ^a/_a²+b² - ^b/_a²+b² i

(a+bi) (^a/_a²+b² - ^b/_a²+b² i)

num. complesso che, moltiplicato per z, dà 1.

¹/_z = ^z/_|z|²

Diso da es: (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i

a²+b² │(a-b+ab)

OSS: LE DISEQUAZIONI TRA NUMERI COMPLESSI NON ESISTONO!!

CONIUGATO

Dato z=Rez+Imz

CONIUGATO è z̅=Rez-Imz

stesso modulo ma argomento cambiato di segno.

Es

z=3+4i z̅=3-4i

z̅ z

p > 0

PROPRIETÀ ∀Z,W ∈ C

1. Rez+Rew = Re(z+w)
2. Im(z+w)=Imz+Imw
3. z̅ ⇒ Rez=Rez ed Imz=-Imz
4. z·W ed z·W=z̅·W̅
5. z̅=2
6. z=2 (z) 2CR. Imz=0 Se il coniugato di un num. complesso coincide con il numero, il numero è REALE
7. z=z̅ (Rez=0, Im(z=z̅) z=z̅, numero è complesso immaginario
8. Rez= 2 + z̅̅
9. Imz= -(Rez=2) Imz=0
10. -½(z-z̅)

3) – √2 + √6i

Soluzione:

1. |z|²: (√2)² + (√6)² = 2 + 6 = 8 ⇒ |z| = 2√2
2. Riscrivo z = z / |z|

(√2 + √6i) = 2√2 (√2 / 2√2 + √6 / 2√2 i) = 2√2 (√2 / 2√2 + √6 / 2√2) ^{+ sqrt}6⁄_2√2i ^1√2⁄_|z| senΘ

cerco con Θ:

• cosΘ = -¹⁄₂
• senΘ = √₃⁄²

OSS: se fosse stato cosΘ = ¹⁄₂

Θ = π/3 tra dobbiamo essere nel II ⇒ ricavo

π - π/3 = 2π/3 ⇒ z = 2√2 (cos 2π/3 + i sen 2π/3)