Numeri complessi

Numeri complessi (C)

Perché li introduciamo?

Perché non è possibile risolvere in R equazioni come x² = -64.

Numero complesso

Il numero complesso z è la somma di un numero reale e di un multiplo a coefficiente reale dell'unità immaginaria i: z = x + yi in forma algebrica, dove:

• x è la parte reale di z e si indica con Re(z)
• y è la parte immaginaria e si indica con Im(z)

Ricorda: i² = -1.

Somma di numeri complessi

La parte reale della somma è la somma delle parti reali, così come la parte immaginaria della somma è la somma delle parti immaginarie:

z₁ + z₂ = (x₁ + x₂) + (y₁ + y₂)i

Proprietà della somma

• Vale la commutativa
• Vale la associativa
• Elemento neutro: 0 = 0 + 0i
• Elemento opposto: -z = -x - yi

Prodotto di numeri complessi

z₁z₂ = (x₁x₂ - y₁y₂) + (x₁y₂ + x₂y₁)i

Ricorda: in campo complesso, ogni numero reale -x con x > 0 ha 2 radici quadrate ±√xi, ovvero esistono 2 soluzioni in C dell'equazione z² = -x.

Proprietà del prodotto

• Commutativa
• Associativa
• Elemento neutro: 1 = 1 + 0i
• Elemento reciproco: w = 1/z con z ≠ 0 tale che wz = 1
• Distributiva

Proprietà di relazione d'ordine

Tale proprietà non vale in C, poiché non è un campo ordinato; infatti il quadrato dei numeri complessi può essere negativo e ciò è in contraddizione con la relazione d'ordine. Inoltre, i numeri complessi possono essere rappresentati come punti e non ha senso dire se un punto è più grande o più piccolo.

Rappresentazione geometrica

In un piano cartesiano, chiamato piano di Gauss, rappresentiamo i numeri complessi a + bi come punti di coordinate (a; b).