Numeri complessi

Corrispondenza tra numeri complessi e punti del piano

C'è quindi una corrispondenza biunivoca tra i numeri complessi e i punti del piano: x+yi (x;y). L'asse delle ascisse è detta retta reale, poiché i punti su tale asse sono i numeri reali. L'asse delle ordinate è detta retta immaginaria, poiché i punti su tale asse sono i numeri immaginari. La somma tra numeri complessi può essere associata alla somma tra vettori; la somma di numeri complessi è un numero complesso che ha per coordinate la somma delle coordinate.

Forma trigonometrica

I punti del piano possono essere individuati, oltre che dalle loro coordinate cartesiane, anche dalle coordinate polari: p (raggio polare, cioè la distanza del punto dall'origine) e θ (angolo polare, cioè l'angolo che la retta forma con l'asse delle ascisse positive) determinato a meno di multipli di 2π. Gli intervalli più usati sono [0;2π) e (-π;π). Dato un numero complesso z = x+yi, il suo modulo.

coincide con il raggio polare: |z| = √2. Il modulo è sempre |z|>0.

L'argomento di z coincide con θ.

Le coordinate polari sono: x = cos θ e y = sen θ.

Perciò la forma trigonometrica di z è z = |z|(cos θ + isen θ) con θ = argz + 2kπ con k ∈ Z.

In forma trigonometrica, un cambiamento di modulo equivale a una dilatazione, mentre un cambiamento di angolo equivale a una rotazione.

Formule di De Moivre:

Prodotto in forma trigonometrica:

n nz = p [cos(nθ) + isen(nθ)]

Elevazione in forma trigonometrica:

iθ = cosθ + isenθ

e^(θ + θi) = cos(θ + θ) + isen(θ + θ)

Perciò z = pe^(θi)

z^2 = p^2e^(2θi)