Numeri complessi e trasformate

Formula di Cauchy

δI z contenuto in A, e vale la seguenteSe f(z) è olomorfa in A, allora f(z) è olomorfa in ogni intorno circolare 0formula: δ+ ∂1 f ( z ) I z∫= δ∀ ∈ of ( z ) dz z I z è la frontiera dell’intorno circolaredove 0π −0 0 0δ+ ∂2 j z zI z 0 0δzdi centro e raggio . (con dim).0Per quanto riguarda i punti esterni di A l’integrale di Cauchy è nullo;f z( )1 ∀ ∉ ∪ ∂∫ z A A=0dzπ − 0+ ∂2 j z zA 0Derivate d’ordine n di una funzione olomorfa in un aperto.Se f(z) è una funzione olomorfa è possibile calcolare la derivata ennesima, dato che sappiamo per certoche esiste, attraverso la formula di Cauchy.n! f ( z )= ∫( n ) .f ( z ) dzπ +− n 1+ Γ2 j ( z z )0Metodi matematici per l’Ingegneria Pagina 9 Serie di funzioni e serie di potenze nel campo complesso.+∞ ∀ ∈∑ n f z( )f z(

1. Prendiamo in considerazione una serie di funzioni supponiamo che sia olomorfa in A. Per definizione una serie di funzioni olomorfe ha per somma una funzione olomorfa. Se f(z) è la somma della serie, ci chiediamo se f(z) coincide con la somma delle derivate. Ciò può accadere solo se la serie delle derivate converge uniformemente in A.
2. Supponiamo che la serie di funzioni in questione sia una serie di potenze, allora deve risultare che: f'(z) = Σ n=1 ∞ f_n z^n-1 (quindi la serie delle derivate è ancora una serie di potenze).
3. Si dimostra che dove R è il raggio di convergenza della serie, tale raggio di convergenza è lo stesso per ogni grado di derivazione della serie, ed inoltre la serie converge in ogni cerchio di centro 0 e raggio R. Inoltre la serie di potenze è sempre olomorfa.

Serie di Laurent: +∞ +∞ a δ = - + < - < <- ≠∑ ∑n nf(z) a(z z) 0 z z dz z con per-0 0 0n n(z z) = =0 1n n 0 dove la prima serie è una serie di potenze come quella di Taylor mentre la seconda è ≠z zun'approssimazione di una funzione non olomorfa per detta anche parte singolare dello sviluppo0di Laurent.

I coefficienti delle serie: f(z1) = 1 - = -∫∫ 1na dz a f(z z) z dz ( )( )e -π π-- 0n n1n+ Γ + Γj j2 2z z( )0 z Sono detti coefficienti di Laurent, mentre la seconda serie è detta serie di Laurent di centro .0a z Di grande importanza è il coefficiente il quale è detto Residuo di f(z) in .-1 0z z Il punto è di singolarità isolata se preso un intorno di non cadono altri punti di singolarità, in oltre0 0zse operiamo l'integrale su una circonferenza contenente , punto di singolarità, tale

integrale potrebbe0 aznon essere nullo, il valore di tale integrale è comunque detto Residuo di f(z) in e corrisponde ad .−0 11= =∫a f z dz Rf z( ) ( ) .− π1 + Γj2Metodi matematici per l'Ingegneria Pagina 10 Classificazione dei punti di singolarità ⇔z è una singolarità isolata, allora tale punto è un polo d'ordine k nello sviluppo di Laurent-Se 0≠ ∀ >a a h k0 e =0 . Ciò vuol dire che nello sviluppo di Laurent, tutti i coefficienti maggiori di k− −k hsono nulli. ⇔z zè una singolarità isolata, allora si dice singolarità essenziale la parte-Sempre nel caso in cui 0 0singolare dello sviluppo di Laurent è fatta da infiniti termini tutti distinti.zSe ci troviamo in condizioni in cui la singolarità è dubbia in , e se f(z) è olomorfa in un intorno0zcircolare di centro allora:0= +∞f zlim ( ) z è un polo per f.1. se

1. ⇒ 0→z z 0 =f z non esistelim ( ) _ zse è una singolarità essenziale per f.
2. ⇒ 0→z z 0 =f zlim ( ) l z zse è un punto di olomorfia cioè la funzione è regolare in .
3. ⇒ 0 0→z z 0*Il caso 3 è uno di quei casi in cui la funzione viene prolungata per continuità, ciò non toglie che tale punto sia disingolarità. Classificazione degli zerig z( )=f z( ) h z( ) zIin un intorno circolare di centro , mentre f(z) è olomorfa inSiano g(z) e h(z) olomorfe 0z 0z z zI -{ }, diremo che f(z) possiede uno zero di ordine k in se f( ) = 0, e le derivate di f(z) sono0 0 0z 0nulle fino alla derivata di orine k.Es: z =0 la funzione possiede uno zero, per classificare l’ordine di questo zero bastaf(z)=cos z –1 per 0seguire la definizione:f’(z)= -sen z f’(0) = 0 zf’’(z)= -cos z f’’(0)=1 Questo significa che =0 è uno zero del k=2° ordine.0 Proposizione:

Siano g(z) e h(z) due funzioni olomorfe in Ω e sia f(z) = g(z)/h(z), con h(z) ≠ 0 per z ≠ 0. Allora 0 è uno zero di ordine k per h(z), ma per f(z) si tratta di un polo di ordine k.

Se h(0) = 0 e g(0) ≠ 0, allora 0 è uno zero di ordine k per h(z) e uno zero di ordine m per g(z), ma f(z) ha un polo di ordine k-m se k > m, f(z) è regolare se k = m, e f(z) ha uno zero di ordine m-k se m > k.

Supponiamo che 0 sia un polo del I° ordine per f(z), per calcolare il residuo della funzione in quel punto avremo: Rf(0) = lim_z→0 (z-z₀)f(z).

Se f(z) è del tipo: f(z) = g(z)/h(z), con h(z) ≠ 0, allora il residuo sarà: Rf(0) = lim_z→0 (z-z₀)g(z)/h(z).

Se siamo nel caso in cui k > 1, allora per calcolare il residuo bisogna fare il seguente limite: Rf(0) = lim_z→0 [(k-1)!/(z-z₀)^k]g(z)/h(z).

Se la singolarità è del tipo essenziale per calcolarci il residuo, è necessario operare lo sviluppo di Laurent. Nel caso tornasse utile si può utilizzare il teorema dell'Hopital.

Teorema dei residui: Supponiamo che f(z) sia una funzione olomorfa definita in un aperto A, tranne che per un numero finito di punti, sia D un dominio limitato interamente contenuto in A con frontiera regolare a tratti, allora:

π = ∑ Res(f(z), z_j) + ∮_∂D f(z)dz

Con singolarità isolate per f(z) le quali sono contenute in D, mentre sulla frontiera di D non ci sono singolarità. (con dim.)

Integrali propri, impropri o a valore principale secondo Cauchy:

+∞ ∫ P(t)dt

Prendiamo in considerazione questo tipo d'integrali, dove Q(t) e P(t) sono polinomi nella variabile reale t, vogliamo applicare

La teoria dei residui permette di calcolare determinati integrali, ma prima dobbiamo considerare alcune condizioni:

• Il grado del polinomio Q(t) deve essere almeno due volte più grande di quello di P(t);
• Gli zeri del polinomio Q(t) devono essere diversi da quelli del polinomio P(t);
• Supponiamo che gli zeri di Q(t) siano tutti di primo ordine;

A questo punto, se gli zeri di Q(t) sono complessi, si tratta di un integrale sommabile chiamato integrale proprio; se gli zeri sono reali, allora si tratta di un integrale improprio detto anche a valore principale secondo Cauchy. In tali ipotesi avremo:

∫ P(t) dt = π + ∑ j[Rf(z) - Rf(z) - ... - Rf(z)] + j[Rf(t) - Rf(t) - ... - Rf(t)]

1/2p 1/2hQ(t) - ∞ ∞ z, z, ..., z

dove z sono gli zeri complessi di Q(t) con parte immaginaria maggiore di zero, mentre t sono gli eventuali zeri reali di Q(t). Si possono inserire anche gli zeri con parte immaginaria negativa.

anteponendo un segno negativo;+∞ P (t ) π π+ + + + + + +∫ dt 2 j[ Rf ( z ) Rf ( z ) .......... Rf ( z )] j[ Rf (t ) Rf (t ) ......... Rf (t )]= - .1 2 p 1 2 hQ (t )− ∞I poli reali non devono essere di grado superiore al 1°.Metodi matematici per l’Ingegneria Pagina 12- Teorema di Jordan (A) per le trasformate e le antitrasformate di FouriorSe