Numeri complessi e trasformate

M etodi m atem atici per l’Ingegneria

Appunti di Maggiacomo Riccardo

Metodi matematici per l’Ingegneria Pagina 1

I numeri complessi

• Forma algebrica

La forma algebrica si esprime con una coppia di valori:

= +

z a jb − 1

dove a è la parte reale e b è la parte immaginaria; j è l’unità immaginaria e corrisponde a

Re z = a; Im z = b;

Valori di j: = −

3

j j

=

j j ; π

=

4

j 1 I valori si ripetono per alla volta;

= − 2

2

j 1 −1 = −

j j

+ ⋅ + = − + +

a jb c jd ac bd j ad bc

( ) ( ) ( ) ( )

Moltiplicazione: + −

( ac bd ) ( ad bc )

+ ÷ + = +

( a jb ) ( c jd ) j

Divisione: + +

2 2 2 2

a b a b

−

1 a b z *

= + =

j

+ +

2 2 2 2 2

z a b a b z

• Forma trigonometrica

La forma trigonometrica si esprime come: ρ ϑ ϑ

= + ⇔ = +

z a jb z (cos jsen )

ρ ϑ

dove è il modulo di z e è l’argomento o fase, si ha che :

 b >

arctg se a

____ _ 0

 a



ρ ϑ

=

 

a cos b

ϑ π

= + − <



 arctg se a

___ _ 0

mente

ρ ϑ

=

 b sen a

 b

 π

− + <

arctg se a b

___ _ , 0



 a

ρ = + =

2 2

a b z

• Forma esponenziale

La forma esponenziale si esprime con: ϑ

ρ ϑ ϑ ρ

= + ⇔ = + ⇔ j

z a jb z (cos jsen ) e

valgono le tesse regole della forma trigonometrica;

= =

j 0

z ae a

-se z =a reale positivo π

= j

z a e

-se z = a reale negativo π j

= 2

z be

-se z =jb con b>0 π

− j

= 2

z b e

-se z =jb con b<0 ϕ φ ϕ φ

ρ γ ργ +

⋅ =

e e e

Moltiplicazione: ρ

ϕ φ ϕ φ

ρ γ −

÷ =

e e e

Divisione: γ

Metodi matematici per l’Ingegneria Pagina 2

Le serie a valori complessi, criteri di convergenza

1) Condizione necessaria ma non sufficiente per la convergenza di una serie

∞ = =

∑ Zn converge lim Zn 0

⇒

se → ∞

n

=

n 0

la successione dei moduli tende a zero;

2) Condizioni necessarie:

∞ ∞

= =

∑ ∑

Zn converge Zn converge

;

• ⇒

= =

n 0 n 0 ∞

= =

• ∑

lim 0

Zn Zn Zn converge

con infinitesimo di ordine h>1 allora la serie

→

∞

n = 0

n

• Criterio del rapporto:

+ ∞

1

Zn = =

∑

lim l Zn converge

se con l<1

→ ∞ Zn

n = 0

n

• Criterio della radice: ∞

= =

∑

lim Zn l Zn converge

con l<1

se n

→ ∞

n = 0

n

La serie geometrica (serie di funzioni):

∞

= ∑

n n

f ( Z ) Z Z

n = 0

n

La successione dei moduli ci dice per quali valori di Z la serie può convergere :

∞

 Se |z|>1



=  Se |z|<1

lim Zn 0

→ ∞

n  Se |z|=1

1



a noi interessa solo il caso in cui |z|<1.

Proprietà dell’esponenziale nel campo complesso

Presa la funzione complessa a valori complessi:

∞ n

z

= = ∑

z

f ( z ) e n

!

=

n 0 +

2 2

= = =

z x y

z Re z

e e e e

- π

2 k

- arg z = Im z la funzione è periodica di

+ ρ ρ ϑ ϑ

= ⋅ +

⋅ =

z 1 z 2 z 1 z 2 j ( 1 2 )

e e e z

1 z 2 1 2

e

- ; -

- arg z* = -arg z; - arg(-z) = arg z+л;

Metodi matematici per l’Ingegneria Pagina 3

Seno, coseno, seno h, coseno h, nel campo complesso.

+ − −

− − − +

∞ ∞

n 2 n 1 n 2 n

jz jz jz jz

( 1

) z e e ( 1

) z e e

∑ ∑

sen z = = cos z = =

+

( 2 n 1

)! 2 j ( 2 n )! 2

= =

n 0 n 0

+ − −

− +

∞ ∞

2 1 2

n z z n z z

z z

e e e e

∑ ∑

sen hz = = cos hz = =

+

( 2 n 1

)! ( 2 n )!

2 2

= =

0 0

n n

Varie z

e

• cos hz + sen hz = ;

• (cos hz )² - (sen hz)² = 1;

• sen h jz = jsen z;

• cos h jz = cos z;

• jz

e

cos h jz + sen h jz =

• jz

cos z + jsen z = e −

• jz

e

cos (-z) + jsen (-z) =

− jz

e

• cos z - jsen (-z) =

Proprietà del logaritmo

Per definizione si pone: = +

= ⇔ =

w w w jw

log z w e z 1 2 π

= + = = +

= ⇔ = = ⇔

w w w w jw w z w z k

log arg 2

e z e z z w

log 1 2 1 2 π

• │z1│+ │z2│) k

2

log(z1·a2) = log z1 + log z2 = (log log + j(arg z1 + arg z2 + );

π

• │z1│- │z2│) k

2

log(z1/z2) = log z1 - log z2 = (log log + j(arg z1 - arg z2 + );

π

• │z│) k

2

log zª = a log z = (a log + j(a arg z + );

= +

z z j z

log log* arg

La determinazione principale è data da

La potenza con esponente complesso:

=

w ( w log z )

z e con w e z numeri complessi.

Metodi matematici per l’Ingegneria Pagina 4

La serie di Fourier

La serie di Fourier si applica a funzioni reali di variabile complessa chiamiamo queste funzioni

segnali. In genere tale serie serve per approssimare i segnali periodici, anche discontinui con

∞

C

discontinuità di Iª specie, con funzioni buone, (di classe ) come seno e coseno.

+∞

= ∑

f ( t ) f ( t )

Quindi la generica funzione uniformemente in (a,b). (se f(t) è continua);

n

= −∞

n f t

( )

Dove (a,b) è l’intervallo di definizione della f(t) mentre è una serie di funzioni tale che:

n ω ϖ ω

ω = +

= ⋅ j nt

j nt e cos( n t ) jsen ( n t )

f ( t ) c e c

con successione di numeri complessi e è

n n n

la successione dei seni e dei coseni. c

A noi interessa trovare la successione , tramite una dimostrazione (che non riportiamo) si giunge

n

al risultato: T

+∞ 2

1 ω

−

∫

⇔ = ⋅

= j nt

∑ c f ( t ) e dt

f ( t ) f (

t ) n

n T

= −∞ − T

n 2

π

2

ω =

dove T = periodo; frequenza angolare (pulsazione).

T

Valgono i seguenti teoremi:

1. Se una funzione f(t) è continua a tratti e limitata, allora è anche integrabile.

2. Se abbiamo una finzione f(t) periodica di periodo T, regolare a tratti in R, allora il segnale

regolarizzato fr(t) è la somma della serie di Fourier del segnale f(t) e la convergenza è puntuale.

3. Se abbiamo una finzione f(t) periodica di periodo T, regolare a tratti in R, ma continua, allora la

convergenza è uniforme. C :

Per il calcolo della serie di Fourier c’è bisogno di calcolare da prima il coefficiente 0

T 2

1 ∫

=

c f (

t ) dt cioè per n=0;

0 T − T 2 C

in seguito va calcolata la ridotta ennesima che approssima il segnale con la serie di Fourier:

n

T 2

1 ω

−

∫

= ⋅ j nt

c f (

t ) e dt per n≠0;

n T − T 2

Quando è stato trovato anche Cn la serie avrà la forma:

+∞ ω

= + ⋅

∑ j nt

f ( t ) c c e =

0 n

= −∞

n ≠

n 0

+∞ ω ω ω ω ω

−

+ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

∑ j nt j nt j nt j nt j nt

c ( c e c e ) c e ( c e )* 2 Re( c e )

⇒ ⇒

= −

0 n n n n n

=

n 1

≠

n 0 ω

α β

= + j nt

C c j e

Da ciò, scrivendo come una successione complessa e portando in forma

n n n n

trigonometrica, si può scrivere la serie di Fourier come la somma di seni e coseni:

+∞ +∞ +∞

ω

= + ⋅ =

∑ j nt α ω β ω

+ + −

f ( t ) c c e ∑ ∑

c 2 cos( n t ) ( 2 ) sen ( n t )

0 n 0 n n

= −∞

n = =

n 1 n 1

≠

n 0

Metodi matematici per l’Ingegneria Pagina 5

Tipi di convergenza della serie di Fourier

Supponiamo di aver calcolato la serie di Fourier di un segnale periodico, vediamo che tipo di

convergenza ha questa serie:

+∞ +∞

ω =

∑ ∑

j nt

c e c

- Essendo , ci calcoliamo la serie dei moduli e notiamo che questa serie converge

n n

= −∞ = −∞

n n 1 ( )

L R

secondo i criteri già enunciati, avremo quindi che la serie converge uniformemente in ed anche

nel senso dell’energia. 2

+∞

∑ c

- Se la serie dei moduli non converge bisogna osservare se converge, se ciò avviene avremo

n

= −∞

n

2 ( )

L R

una convergenza in ed anche nel senso dell’energia.

Per vedere se una serie converge puntualmente bisogna osservare il grafico del segnale nel periodo T, se

il segnale è regolare a tratti allora convergerà puntualmente la serie.

Se vogliamo vedere a priori se un segnale converge nel senso dell’energia bisogna operare il limite

seguente:

=

lim c 0 , il limite deve tendere a zero con un ordine di infinitesimo a>1, se ciò avviene la serie

n

→ +∞

n 1 ( )

L R

converge in nel senso dell’energia ed anche in . =

2

1 ( )

L R lim c 0

allora bisogna provare con , il limite deve tendere a zero

Se il limite non esiste in n

→ +∞

n

con un ordine di infinitesimo a>1, se ciò avviene la serie converge nel senso dell’energia ed anche in

2 ( )

L R .

Criteri di sommabilità

I. Se f(t) è continua in (a,b)-{to}, non limitata, ciò è:

= +∞ α;

con infinito di ordine

lim f ( t )

→

t t 0 α

se si quantifica l’ordine di infinito allora:

α < ⇒

 _ 1 _ _

se f è sommabile

 α ≥ ⇒

 _ 1 _ _ _

se f non è sommabile

∞ ∞

II. Se f(t) è continua in (a,+ ) o in (- ,a) allora supponiamo che:

α;

= con ordine di infinitesimo

lim f ( t ) 0

→ +∞

t α

se si quantifica l’ordine di infinitesimo allora:

α > ⇒

 _ 1 _ _

se f è sommabile

 α ≤ ⇒

 _ 1 _ _ _

se f non è sommabile

Metodi matematici per l’Ingegneria Pagina 6

Energia di un segnale periodico

1 f t

( )

([ , ])

L a b

Diremo che f(t) appartiene a se e solo se è sommabile in [a,b].

2

∈ ⇔

2

( ) ([ , ]) ( ) _ _ _[ , ].

f t L a b f t è sommabile in a b

Analogamente: ( è al quadrato sommabile)

Si definisce energia del segnale f(t) al quadrato sommabile, l’integrale:

1

 

b b 2

 

= ⇔ = 2

2 2 2

∫ ∫

f (

t ) dt f (

t ) f (

t ) f (

t ) dt ( )

f t

dove è detta energia del segnale

 

 

a a ( )

f t

O anche se la somma della successione converge nel senso dell’energia alla funzione f(t) se:

n

+∞

= ∑ 2 ([ , ])

L a b

( ) ( )

f t f t in o nel senso dell’energia

n

=

n 1 n

⇔ − = ⇔ = ⇔ − = −

2 2 2 2 2

∑

lim f (

t ) S (

t ) 0 lim S (

t ) f (

t ) f (

t ) S (

t ) f (

t ) T c

n n n k

→ +∞ → +∞

t n = −

k n

T 2

1 ω

− 2 = + = +

∫ ⋅ 2 2 2 2

2

j kt ( )

c c a b a b

( )

f t e dt

dove = , e

k k n n n n

T −

T 2

Dall’ultima implicazione ci ricaviamo l’uguaglianza di Parseval che ci da l’energia della serie di

Fourier: 2

+ ∞ f ( t ) +∞

=

2

∑ ⇔ =

2 2

c ∑

f (

t ) T c

n n

T

= −∞ = −∞

n n 2 ([ , ])

L a b

Quindi partendo da un segnale periodico f(t) di periodo T, se questo segnale appartiene a

allora la serie di Fourier converge nel senso dell’energia.

Esempio:

1 1

= =

2

( ) ( )

f t f t essendo un segnale non regolare a tratti e discontinuo allora si applica:

t

t

1 = +∞

lim l’ordine di infinitesimo è 1 quindi la funzione non è sommabile quindi non è sviluppabile in

→ t

0

t

serie di Fourier.

La convergenza nel senso dell’energia ci fornisce una relazione tra la f(t) ed il suo polinomio di Fourier

al tendere di n all’infinito.

Teorema:

Se la funzione f(t) soddisfa le seguenti ipotesi:

a) f(t) è periodico di periodo T;

≤

f (

t ) k

b) f(t) è limitata ovvero ;

c) f(t) è integrabile in [0,T];

allora risulterà che: +∞ ω

− → → +∞ ⇔ =

2 ∑ j nt

f ( t ) S ( t ) 0 _ per _ n f ( t ) c e

n n

= −∞

n

La misura dell’area compresa tra le due funzioni tende a zero.

Metodi matematici per l’Ingegneria Pagina 7

La derivata di funzioni complesse a valori complessi ∈

( x , y ) A

Le funzioni di variabile complessa a valori complessi associano ad ogni punto , dominio della

∈

( x , y ) B

funzione, un punto , codominio della funzione.

0 0

= + = + +

z x jy f ( z ) f ( x jy ) u ( x , y ) jv ( x , y ) dove la parte reale u(x,y) è funzione del punto z

⇒ ⇒

come la parte immaginaria v(x,y).

Derivare la funzione f(z) significa fare il limite del rapporto incrementale:

+ ∆ −

f ( z z ) f ( z )

′ = = + +

f ( z ) lim z x jy u ( x , y ) jv ( x , y )

essendo e scrivendo f(z) come la derivata

∆

∆ → z

0

z

si può esprimere lungo rette parallele ai due assi cartesiani x,y;

+ ∆ − + ∆ −

f ( x x , y ) f ( x , y ) ( , ) ( , )

f x y y f x y

′ ′

= lim lim

f (z ) f (z )

e = .

∆ ∆

x y

∆ → ∆ →

x j y

0

x 0

y

A questo punto il limite può dipendere o meno dall’incremento però per definizione diremo:

Sia f(z) una funzione di variabile complessa a valori complessi, se esiste ed è finito il:

+ ∆ −

f ( z z ) f ( z )

lim ∆

∆ → z

0

z

indipendentemente da come l’incremento tende a zero allora tale limite si definisce come derivata della

f(z), ciò fa si che la funzione sia anche differenziabile. ∈

Se la funzione f(z) ammette derivata in qualsiasi punto z A allora la funzione è detta olomorfa in

A.

Il fatto che la derivabilità implichi la differenziabilità, nel campo complesso, innesca un nuovo

meccanismo illustrato dal teorema di Cauchy-Riemann.

Essendo: + ∆ − ∂ + ∆ − ∂

f ( x x , y ) f ( x , y ) f x y y f x y f

f ( , ) ( , ) 1

′ ′

=

f (z ) lim f (z ) lim

= e = =

∂ ∆ ∂

∆

x y

∆ → ∆ →

x j y j y

x

0

x 0

y

∂ ∂

f

f 1 ′

f (z )

allora in virtù di ciò avremo che = = , (condizione di Cauchy-Riemann).

∂ ∂

x j y

In base a questo risultato avremo che:

= +

 f ( z ) u ( x , y ) jv ( x , y )

x x x

 = +

f ( z ) u ( x , y ) jv ( x , y )

 y y y

1 = − + = −

f ( z ) ( j )[

u ( x , y ) jv ( x , y )] v ( x , y ) ju ( x , y )

essendo: sfruttando la condizione di

y y y y y

j =

 u ( x , y ) v ( x , y )

x y



Cauchy-Riemann risulterà che: = −

v ( x , y ) u ( x , y )

 x y

Anche la funzioni radice e logaritmo, se prese nella loro

Funzioni olomorfe: determinazione principale escluso l’asse negativo delle x, sono

′ −

= =

n n 1

f ( z ) z f ( z ) nz funzioni olomorfe:

′

= =

z z 1

f ( z ) e f ( z ) e ′ =

f ( z )

=

′

= = −

n

f ( z ) z n n 1

f ( z ) senz f ( z ) cos z n z

=

′

= = − f ( z ) log z 1

f ( z ) cos z f ( z ) senz ′ =

f ( z )

′

= = z

f ( z ) senhz f ( z ) cosh z

′

= =

f ( z ) cosh z f ( z ) senhz

Metodi matematici per l’Ingegneria Pagina 8

La condizione di olomorfia (derivazione, analiticità) di una funzione complessa è più forte della derivata

∞

C

nel campo reale, in quanto una funzione olomorfa è differenziabile ed è di classe .

Un’altra caratteristica delle funzioni olomorfe è:

Se f(z) è olomorfa in A f(z) è armonica in A, una funzione è armonica quando:

⇒

∀ ∈

+ = z A

f ( z ) f ( z ) 0 Tale proprietà è chiamata operatore di Laplace.

xx yy

Quindi se una funzione è olomorfa in A è anche indefinitamente derivabile in A.

Le funzioni complesse a valori reali sono olomorfe solo se sono funzioni costanti.

Integrale curvilineo di funzioni olomorfe γ

Definiamo a questo punto l’integrale di una funzione f(z) lungo una curva , sappiamo che ogni

spostamento