Numeri complessi, analisi

Numeri complessi

Difetto degli insiemi numerici

Difetto di _ℝ: x² + 1 = 0 non ha soluzioni in _ℝ. Perciò si introduce il campo _ℂ dei numeri complessi.

Ci ricordiamo:

• Difetto di _ℕ: x + 1 = 0 non esiste soluzione in _ℕ, perciò si introduce _ℤ.
• Difetto di _ℤ: 2x - 1 = 0 non ha soluzioni in _ℤ, perciò si introduce _ℚ.
• Difetto di _ℚ: x² - 2 = 0 non ha soluzioni in _ℚ, perciò si introduce _ℝ.

Teorema

Esiste un campo _ℂ con:

1. _ℝ ⊆ _ℂ (_ℝ è un "sottocampo" di _ℂ).
2. _ℂ contiene un elemento i con i² = -1.
3. Ogni Z ∈ _ℂ ha la forma z = x + iy con x, y ∈ _ℝ.

(Tramite queste proprietà, _ℂ è anello di isomorfismo - univocamente determinabile.)

Costruzione di un campo

K = _ℝ²(x, y) + (a, b) := (x + a, y + b)

(x, y) · (a, b) := (xa - yb, xb + ya)

Si verifica: Con queste operazioni, K è un campo, e := (1, 0) è l'elemento neutrale rispetto alle moltiplicazioni.

Numeri complessi (versione duplicata)

Difetto di ℝ: x² + 1 = 0 non ha soluzione in ℝ. Perciò si introduce il campo ℂ dei numeri complessi.

Ci ricordiamo:

• Difetto di ℕ: x + 1 = 0 non è soluzione in ℕ, perciò si introduce ℤ.
• Difetto di ℤ: 2x - 1 = 0 non dà soluzioni in ℤ, perciò si introduce ℚ.
• Difetto di ℚ: x² - 2 = 0 non ha soluzione in ℚ, perciò si introduce ℝ.

Teorema (versione duplicata)

Esiste un campo ℂ con:

1. ℝ ⊆ ℂ (ℝ è un "sottocampo" di ℂ).
2. ℂ contiene un elemento i con i² = -1.
3. Ogni z ∈ ℂ ha la forma z = x + iy con x, y ∈ ℝ.

(Tramite queste proprietà, ℂ è anello di isomorfica - univocamente determinabile.)

Costruzione di un campo con 1), 2), 3):

K := ℝ²(x, y) + (a, b) := (x + a, y + b)

(x, y) (a, b) := (xa - yb, xb + ya)

Si verifica: Con queste operazioni, K è un campo, e := (1, 0) è l'elemento neutrale rispetto alla moltiplicazione.

Per i := (0,1), vale i² = -e

R² -> (x,0) definisce un isomorfismo da R su {(x,0); x ∈ R}.

“Identificando” (x,0) con x si può scrivere (x,y)= (x,0)+(0,1) + (y,0).

(0,1)= x.1 + y.i = x + yi

Attenzione: C è un campo, però non un campo ordinato.

Esercizio

Rappresentare ₁/²⁺³ⁱ nella forma x + iy= ₁/²⁺³ⁱ = _{2 - 3i}/^(2+3i)(2-3i) = _{2 - 3i}/^{22 - (3i)2} = ₂/¹³ - ₃/¹³ i

Coordinate cartesiane (Piano complesso)

Prop. R² -> C è biettiva

(x,y) -> x + iy

Dim. dell'iniettività: Sia x + iy = a + ib con x,y,a,b ∈ R. Allora (x - a) = i.(b - y), e quindi 0 ≤ (x - a)² = -(b - y)² ≤ 0. Ne segue x - a = b - y = 0, x = a, y = b.

Sia z = x + iy con x,y ∈ R

x := Re z (parte reale di z)

y := Im z (parte immaginaria di z)

Identificando numeri complessi con vettori in R², l'addizione in C corrisponde all'addizione di vettori.

Significato di λ z nel piano (λ ∈ R), z ∈ C: se -1 z̅ = x - iy (il coniugato di z) |z| = √(x² + y²) (il valore assoluto o modulo di z) (= distanza tra (x,y) e (0,0) nel piano)

Formule

(che si verificano facilmente)

• Rez = z̅ + z / 2
• Imz = z - z̅ / 2i
• Re(z₁ + z₂) = Rez₁ + Rez₂
• Re(λz) = λRez se λ ∈ R
• Im(z₁ + z₂) = Imz₁ + Imz₂
• Im(λz) = λImz se λ ∈ R
• z₁ + z₂ = z₁ + z₂
• z₁ - z₂ = z₁ - z₂
• z₁ · z₂ = z₁ · z₂
• z₁/z₂ = z₁/z₂
• (z₁/z₂) = z₁/z₂ (se z₂ ≠ 0)
• z = z|z| = |z|z · z = |z|²
• |Re z| ≤ |z|, |Im z| ≤ |z|, |z| ≤ |Re z| + |Im z|
• z = z ⇔ Im z = 0 ⇔ z ∈ ℝ
• z = -z ⇔ Re z = 0 ⇔ 1/i z ∈ ℝ

Esercizio

Verificare 1/z = 1/|z|² z , in particolare |z| = 1 ⇒ 1/z = z

Esempio: 1/(2 + 3i) = 1/(2 + 3i) (2 - 3i) = 2/13 - 3/13 i

Esercizio

Disegnare { z ∈ ℂ : |z - z₀| = r } (z₀ ∈ ℂ, r > 0)

Regole per il modulo

1. |z| > 0, |z| = 0 ⇔ z = 0
2. |z₁ + z₂| ≤ |z₁| + |z₂|
3. |z₁ · z₂| = |z₁| · |z₂|

Dim (iii) _ovvio

(iii) |z₁ · z₂|² = z₁ · z₂ · z₁ · z₂ = z₁ · z₁ · z₂ · z₂ = |z₁|² · |z₂|²

Da |z₁ · z₂|² = |z₁|² · |z₂|² segue la formula (iii)

(iii) Mostriamo

|z₁ + z₂|² ≤ (|z₁| + |z₂|)²

|z₁ + z₂|² = (z₁ + z₂) (z₁ + z₂) = (z₁ + z₂) (\overline{z₁} + \overline{z₂})

= z₁ \overline{z₁} + \overline{z₂} z₁ + z₂ \overline{z₁} + z₂ \overline{z₂}

= |z₁|² + \overline{z₂} z₁ + z₂ \overline{z₁} + |z₂|²

= 2 · Re(z₂\overline{z₁}) ≤ z₂ \overline{z₁} + \overline{z₂} z₁ = 2·|z₁| |z₂| ≤ |z₁|² + 2 |z₁| |z₂| + |z₂|² = (|z₁| + |z₂|)²

Rappresentazione trigonometrica

(per z ≠ 0) z = x + i y

z = r (cos φ + i sen φ)

con r = |z|

φ è un argomento di z

Sia z ∈ ℂ, z ≠ 0. arg z := { φ ∈ ℝ : z = |z| (cos φ + i sen φ) }

Se φ₀ è arg z allora arg z = { φ₀ + 2π k    k ∈ ℤ } =: φ₀ + 2π ℤ.

L'unico φ ∈ arg z ∩ ] -π, π ] si chiama argomento principale e denotiamo con Par gz.

Riepiliano. z = r (cos φ + i sen φ)         (forma trigonometrica) con r = |z|, φ ∈ arg z

Spesso più comodo è la forma esponenziale utilizzando la formula cosφ + i senφ = e^iφ

Più avanti vediamo.

Si può definire e^z per ogni z ∈ ℂ t.c.

1. La nuova definizione estende la definizione nota di e^x per x ∈ ℝ.
2. e^z₁+z₂ = e^z₁ · e^z₂ (z₁, z₂ ∈ ℂ).
3. cos φ + i sin φ = e^iφ (φ ∈ ℝ)

con (3) si ottiene dalla forma trigonometrica la forma esponenziale z = r · e^{i φ} con r = |z|, φ e arg z.

Significato geometrico del prodotto

Se z₂ = r₂ e^{i φ_z2} con... z₁ · z₂ = r₁ e^{i φ₁} · r₂ e^{i φ₂} = r₁ r₂ e^{i (φ₁ + φ₂)}

quindi φ₁ + φ₂ = arg (z₁ z₂)

Più in generale: z₁ … z_n = |z₁ … z_n| e^{i (φ₁ + … + φ_n)}

In particolare zⁿ = |z|ⁿ e^{i (nφ)} = |z|ⁿ (cos (nφ) + i sen (nφ)) dove φ = arg z

Dato: n ∈ ℕ

Cerchiamo tutte le soluzioni di zⁿ = w

Dapprima osserviamo: Sia p(z) un polinomio (con coefficienti in C) di grado n cioè dp = n.

Se z₁ è uno zero di p (cioè p(z₁) = 0) allora esiste un polinomio q(z) (di grado n-1) t.c. p(z) = (z - z₁) q(z)

Se z₂ è uno zero di q allora esiste un polinomio r(z) (di grado n-2) con q(z) = (z - z₂) r(z), quindi: p(z) = (z - z₁) (z - z₂) r(z).... e così via ...

Alla fine si ottiene una rappresentazione di p come:

p(z) = (z - z₁) ... (z - z_n) s(z) dove z₁, ..., z_n ∈ C, dp = ks + ds s(z) è un polinomio senza zeri.

Ne segue: p(z) può avere al più n zeri distinti (dove n = dp).

Visto la rappresentazione p(z) = (z - z₁) ... (z - z_n) s(z), dove ... ci chiediamo: Quali sono i polinomi senza zeri?

Teorema fondamentale dell'algebra

(e un teorema profondo) Ogni polinomio non costante con coefficienti complessi ha almeno uno zero in C.

Notazione

Q[Z]={p: p è un polinomio con coefficienti C}

Corollario

Sia p ∈ Q[Z]. ∃ p=m>1

Allora esistono z₁,…,z_m ∈ C ed α ∈ C t.c. p(z) = α (z-z₁)…(z-z_m)

Radici m-esime

Dato m ∈ N. Dapprima cerchiamo le radici m-esime dell’unità, cioè le soluzioni di Z^m=1.

Poniamo z_k = e^{i 2πk/_m} (k=0,1,…,m-1)

Si verifica (z_k)^m = e^i2πk = e^i2mπk = 1 = cos (2mπk) + i sen(2mπk) = 1

Quindi, z₀, z₁,…, z_m-1 sono soluzioni distinte di z^m-1, cioè zeri del polinomio z^m-1.

Poiché z^m-1=0 può avere al più n soluzioni, abbiamo trovato tutte le soluzioni.

n=3 n=4 n=8

Più in generale:

Sia w ∈ ℂ, w ≠ 0. w = r ⋅ e^iθ con r = |w| > 0 e θ ∈ arg w (caso particolare: r = 1, θ = 0 ⇒ w = 1)

Poniamo: z_k = r^1/m ⋅ e^{i(θ + 2πk) / m} (k = 0, 1, …, m-1)

Si verifica: (z_k)^m = r ⋅ e^{i(θ + 2πk)} = r ⋅ e^iθ ⋅ e^{i ⋅ 2πk} = w

Quindi: z₀, ..., z_m-1 sono tutte le soluzioni di z^m = w.

Forma trigonometrica:

z_k = r^1/m ⋅ (cos (θ + 2πk) / m + i ⋅ sen (θ + 2πk) / m)

Un'altra scrittura utile: z_k = r^1/m ⋅ e^{iθ / m} ⋅ e^{i ⋅ 2π / m ⋅ k}

( ⋯ ) radice m-esima dell'unità

Geometricamente z₀, z_m-1 sono n punti sulla circonferenza con centro l'origine e raggio r^1/m.

La distanza di due punti consecutivi (z_k - z_k+1) è sempre la stessa. Identificando z_k con vettori in ℝ² l'angolo tra due vettori consecutivi è sempre uguale (− 2π / m).

z₀ = r^1/m ⋅ e^{iθ / m}, quindi θ_/m è un argomento di z₀.