Numeri complessi, analisi

Numeri complessi

Difetto di ℝ: x² + 1 = 0 non ha soluzioni in ℝ Perciò si introduce il campo ℂ dei numeri complessi.

Ci ricordiamo:

• Difetto di ℕ: x + 1 = 0 non ha soluzioni in ℕ, perciò si introduce ℤ.
• Difetto di ℤ: 2x - 1 = 0 non ha soluzioni in ℤ, perciò si introduce ℚ.
• Difetto di ℚ: x² - 2 = 0 non ha soluzioni in ℚ, perciò si introduce ℝ.

Teorema

Esiste un campo ℂ con:

1. ℝ ⊆ ℂ (ℝ è un sottocampo di ℂ)
2. ℂ contiene un elemento i con i² = -1.
3. Ogni z ∈ ℂ ha la forma z = x + yi con x, y ∈ ℝ.

(Tramite queste proprietà ℂ è l’unico di isomorfica - univocamente determinato.)

Costruzione di un campo con 1), 2), 3):

K = ℝ² (x, y) + (a, b) = (x + a, y + b) (x, y) · (a, b) = (xa - yb, xb + ya) si verifica con queste operazioni K è un campo, e (0, 0) è l’elemento neutrale rispetto alla moltiplicazione.

2) per i₂ = (0,1) vale i₂² = -e.

R² > i₁ (x,0) definisce un isomorfismo

da R² su i₂ {(x,0); x ∈ R²}

- Identifichiamo (x,0) con x, si può scrivere

(x,y) = x.(1,0) + y.(0,1)

= x.1 + y.i₂ = x+yi

Attenzione C è un campo, però non è un campo ordinato

Esercizio Rappresentare 1/^z+3i alla forma x+yi

-1/^z+3i = z-3i/(z+3i)(z-3i) = -2 - 3i/_{2 - (3i)²} = 2 - 3i/₁₃ = 2/13 - 3/13 i

Coordinate cartesiane (piano complesso)

Prop R² _x,y → C è biettiva

Dim. della iniettività: Sia x₂ + y₂ = a+bi con

x, y, a, b ∈ R Allora x-a = i₂(b-y), quindi

0 < (x-a)² + (b-y)² ≠ 0 Ne segue x-a= b-y

x=a, y=b

Sia z = x + iy con x, y ∈ R

x := Rez (parte reale di z)

y := Imz (parte immaginaria di z)

Più avanti vediamo.

Si può definire e^z per ogni z∈ℂ, t.c.

1. La nuova definizione, estende la definizione fatta di e^x, x∈ℝ
2. e^z1+z2 = e^z1 · e^z2 (z1, z2 ∈ ℂ)
3. cosφ + i sinφ = e^iφ (φ ∈ ℝ)

Con 3), si ottiene dalla forma trigonometrcia la forma esponenziale z = r e^iφ, con r = |z|, φ = argz.

Significato geometrico del prodotto

Se z = z1 · z2 = r e^{i φ1+φ2}

...e^{i φ1}...

quindi φ1 + φ2 (come φ(z1 z2))

Più in generale: z1 = r1 e^{i φ1}, z2 = r2 e^{i φ2}

In particolare: zⁿ = |z|ⁿ e^{i (n φ)}

|z|ⁿ (cos(nφ) + i sin(nφ))

dove φ = arg z.

Dato n ∈ ℕ e ω ∈ ℂ.

Cerchiamo tutte le soluzioni di zⁿ = ω.