Numeri complessi

Introduzione ai numeri complessi

Definizione

2 ≡ × ≡ {(a, ∈Sia b) : a, b ∈ ℝ ℝ ℝ ℝ}.

Teorema 1.1

L’insieme (ℝ, +) è un campo con le seguenti operazioni:

• (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
• (a, b) · (c, d) = (ac − bd, ad + bc)

Dim. Basta verificare la definizione di campo.

Definizione 1.1

Il campo di cui al teorema precedente si chiamerà il campo complesso e sarà denotato con ℂ.

Teorema 1.2

L’insieme è isomorfo a ℂ ℝ.

Dim. Si verifica facilmente che l’applicazione φ è un isomorfismo.

Definizione 1.2

Dato un numero complesso z = (a, b), poniamo (0, 1) = i, (1, 0) = 1 e otteniamo z = a + ib, dove a si chiama parte reale e b si chiama parte immaginaria. Il numero z̅ = a - ib si dice coniugato di z.

Teorema 1.3

Per ogni z si ha:

• z + z̅ = z̅ + z̅,
• z z̅ = z̅ z̅,
• z̅ = z,
• z + z̅ = 2a,
• z z̅ = 2ib
• |z| = √(z z̅)

Definizione 1.3

Dato z poniamo |z| = √(z z̅). Il numero si dice modulo del numero complesso z.

Teorema 1.4

Si ha:

• |z| ≥ 0, e |z| = 0 se e solo se z = 0;
• |Re(z)|, |Im(z)| ≤ |z| ≤ |Re(z)| + |Im(z)|, ∀z ∈ ℂ;
• |z̅| = |z|, ∀z ∈ ℂ;
• |z₁z₂| = |z₁| |z₂|, ∀z₁, z₂ ∈ ℂ;
• |z₁ + z₂| ≤ |z₁| + |z₂|, ∀z₁, z₂ ∈ ℂ;
• |z₁ - z₂| ≤ |z₁| + |z₂|, ∀z₁, z₂ ∈ ℂ;
• |x| ≤ −x, se x ∈ ℝ;
• |x| ≤ |a|, ∀a, x ∈ ℝ.

Forme dei numeri complessi

I numeri complessi possono essere scritti utilizzando le cosiddette forma trigonometrica e forma esponenziale. Precisamente, indichiamo con θ l’angolo (con segno) formato dalla congiungente il numero z con 0 e la semiretta asse reale positivo. Si ha:

|z| ≡ |z|e^iθ = cos θ + i sen θ = (cos θ + i sen θ).

Osservazione 1.1

Siano dati z₁, z₂. Allora z₁z₂ = z₁z₂.

Dall’osservazione precedente segue subito la Formula di De Moivre

Teorema 1.5 (Formula di De Moivre)

Se z = |z|e^iθ, allora zⁿ = |z|ⁿe^inθ.

Dim. Affrontiamo adesso il problema della estrazione di radice n-esima nel campo complesso.

Sia dato ω ∈ ℂ. Dobbiamo cercare eventuali numeri z = ...