Numeri complessi

Introduzione ai Numeri Complessi

1.1 Definizione2 ≡ × ≡ {(a, ∈Sia b) : a, bR R R R}.2 ·)Teorema 1.1 L’insieme (R , + è un campo con le seguenti operazioni:· · −(a, b) (c, d) = (a + c, b + d), (a, b) (c, d) = (ac bd, ad + bc)Dim. Basta verificare la definizione di campo.

Definizione 1.1 Il campo di cui al teorema precedente si chiamerà il campo complesso e saràdenotato con C.

Teorema 1.2 L’insieme è isomorfo aC R.0 →Dim. Si verifica facilmente che l’applicazione ϕ : è un isomorfismo.C R0

Definizione 1.2 Dato un numero complesso z = (a, b) poniamo (0, 1) = i, (1, 0) = 1 e otteniamo−z = a + ib, dove a si chiama parte reale e b si chiama parte immaginaria. Il numero z̄ = a ib sidice coniugato di z. ∈

Teorema 1.3 Per ogni z si ha:C 1 1¯· ·− z + z = z̄ + z̄ , z z = z̄ z̄ , z̄ = z, =z + z̄ = 2a, z z̄ = 2ib 1 2 1 2 1 2 1 2 z z̄√∈ |z| ·

|z|Definizione 1.3 Dato z poniamo = z z̄. Il numero si dice modulo del numeroCcomplesso z.

Teorema 1.4 Si ha:

1. |z| ≥ ∀z ∈ |z|1. 0, e = 0 se e solo se z = 0;C|Rez|, |Imz| ≤ |z| ≤ |Rez| |Imz|, ∀z ∈2. + C;
2. |z̄| |z| ∀z ∈3. = C; G.Di Fazio|z · | |z | · |z |, ∀z ∈4. z = C;1 2 1 21 1 ∀z ∈5. = , C;|z|z|z | ≤ |z | |z |, ∀z ∈6. + z + , z C;1 2 1 2 1 2||z | − |z || ≤ |z ± |, ∀z ∈7. z , z C;1 2 1 2 1 2−x ∈ ≤ |x|8. x, allora xR|x| ≤ −a ≤ ≤ ∀a, ∈9. a, x a, x R.

I numeri complessi possono essere scritti utilizzando le cosiddette forma trigonometrica e formaesponenziale. Precisamente indichiamo con θ l’angolo (con segno) formato dalla congiungente ilnumero z con 0 e la semiretta asse reale positivo. Si ha: iθ|z| |z| |z| ≡ |z|ez = cos θ + sen θi = (cos θ + i sen θ) .iθ iθ i(θ

+θ )|z |e |z |e · |z · |e

Osservazione 1.1 Siano dati z = ., z = . Allora z z = z1 2 1 21 1 2 1 1 2 1 2

Dall’ osservazione precedente segue subito la Formula di De Moivreiθ n n inθ|z|e |z|

Teorema 1.5 (formula di De Moivre) Se z = allora z = e .

Dim. Affrontiamo adesso il problema della estrazione di radice n-esima nel campo complesso.iϕ iθ n≡Sia dato ω re . Dobbiamo cercare - eventuali numeri z = %e tali che z = ω. Ciò é come direche deve accadere: n ∀k ∈% = r, nθ = ϕ + 2kπ, Ze quindi √ iϕ+2kπpn |ω|en ω = .nNotiamo esplicitamente che, visto che lo sfasamento angolare tra due radici consecutive éϕ + 2(k + 1)π ϕ + 2kπ 2π− −A A = = .k+1 k n n n√n |1|

Esempio 1.1 Calcolare le radici 1. Tenuto presente che = 1 e che arg(1) = 0, basta applicarela formula da cui si ottiene √ 2kπin −1= e , k = 0, 1, . . . , n 1.n 20

Esempio 1.2 Calcolare il

numero (1 + i) . Trasformiamo il numero in forma trigonometrica,√ πi1 + i = 2e . Si ha:4 √ π20 i 20 10 5iπ 10−2(1 + i) = ( 2e ) = 2 e = .42

Appunti di Analisi Matematica I

Esercizio 1.1 Risolvere l’equazione 2(z|z|) = iz̄.4|z| |z| |z|Prendendo i moduli di ambo i membri si ha: = da cui = 1 oppure z = 0. Quindiiθ 3iθ∈z = e , θ Sostituendo nell’equazione data si ottiene e = i da cui cos 3θ = 0, sen 3θ = 1 eR.quindi π 2kπi( + )z = e , k = 0, 1, 2.6 3

Esercizio 1.2 Risolvere l’equazione 4 4|z|z = .4 iθ≥ |z|e ∈Dopo avere osservato che z = 0 è soluzione si ha: z 0 da cui z = con 4θ = 2kπ, k Zovvero le soluzioni sono i numeri reali ed i numeri immaginari.

Esempio 1.3 Dalla formula del binomio di Newton si possono ricavare le formule di n-plicazionedella trigonometria.Infatti, n n Xinθ n n−k k ke = (cos θ + i sen θ) = cos θi sen θkk=0da cui segue 

!n n X∥ n−k k kcos nθ =Re cos θi sen θ∥∥∥ k∥∥ k=0 !n n ∥ X n−k k k∥ cos nθ =Im cos θi sen θ∥∥ k∥∥ k=0 ∈ 6Per concludere, diamo qualche applicazione dei numeri complessi alla geometria. Se a, b a = bC,poniamo {z ∈ − −L(a, b) = L = : z = a + t(b a), tC R}.∈ −Teorema 1.6 z L(a, b) se e solo se Re((z a)i(b a)) = 0.∈Dim. Se z L(a, b) allora, dalla definizione 2− − − − −ti|b −(z a)i(b a) = ti(b a)(b a) = a|da cui − −∈(z a)i(b a) = iλ, λ R− −e quindi la tesi. Viceversa, Dal fatto che Re((z a)i(b a)) = 0 segue che− −∈(z a)i(b a) = is, s R