3 Numeri complessi

Equazioni con i numeri complessi

Zb Innaginaioasse FeolaAhai Reza Oss! èse Rez sedetotalmente2 giace suz Ieee èse innitotalmentesugiocasiCirconferenze sul piano con i numeri complessiH RedI Preso OcentroCeo unun raggioputto yoyaJ P 2 Xxivchiamiamo tifoe ioZoR t G fadice Dti R xc y yoR notadunque yoyo 20162 12Izzo a Eilt risulta dueDuque didella diffmoduloesserenumeri allaEedcol centrocompressi curvaunomaOss!: |z-z |oJ2 ZolaZo ZXo yoyEsempio: stile OEa ZEE Rez E2 2ZK 2 condizioni intersecaredaIna vi20112 IZoComE 21 i intera1 f 2 areaÈ sise 2 pazEquazioni con i numeri complessi:JPrimo tipo:Zi i13 Ot Z ifXcomeii3Gt i O1Svolgimento e'gg 1l'x i3 3 fig O1gi i 1 O3 1 3g x7 01eun 3kgnucleo E Enudoè Xequando g01la 3g2 componenti 1nullesonolo algebrica graficasoluzione IeeeeE2 Z Z i RatSecondo tipo: E axils12 iz12 12 11 2 2O comeSvolgimentoPer della basta cueandamentodilegge prodotto siadei l'eegsiafattori verificatadue unouno oggimai1211212 ER1 0 di fatto poiana2 questa caIRE

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radicateZI essendo comeneI21 BERfaradicando o talebanoK 1ZI aneltabile2 Non0X 1212 2 allettabileZZ iz2 1 si risolve0 eq.dequesta come qualsiasica2 realenelgrado campoI Fs iterti i questionesonoumani2 2 2 totalmenteimmaginariSoluzione in vieni si uniscanosolalacasoquesto1 I qualsiasidire2 aequivalente21 umanocominci ildache comecomplesso raggiodi de ocirconferenzauna centro a2raggioiter 22 innienteumani totalecomplessi2 verticalesull'assegiacentialgebrica graficaitiZi2Z v a 2 aiz2Rappresentazione trigonometrica:Spiano GansiArgand data la algebricaformaInez 12 troviamo2 1 cheX µZP troviamoY dile coordinate 2polariTO GaussArganosul piano di0 ReaXP distanza 121pdall'origineReaZfra e orgeangolo cosaReale X pcoordinatax senocoordinata Immaginariaf pg ti senocosaa 2rumeno complesso pP ItUsando le feniani 7 Oi se o_taaf.iaaexcotrigonometrica vediamo rgzOperazioni fra numeri complessi in forma trigonometrica:KTutti dimostranianeunapossiedano appresso_Moltiplicazione:DatiS i2

seno Zzicaso palco 02 senorp esenoi i2 caso22 02p senorfa cos senocosatifosocosa seno02 seno 1senop pa cos travianodella dila sauna seno cosenoseguendo proprietà eè 00P 02Zaza 02cos senfa12 al II2 1221Zi Z ZzGila orgorg orgDivisione:Dati iM 2 Zzsenoicaso palco 02 senorp e2 EaZÉ ZIIZi cueSapendo2 HIa arglzikarqffimaargz.orgallora eseconiarono oppostoangolocspanweiisnaoa denqueargzI arg.EE orgeRicandocendoci moltiplica cianeallea è 0 02QZZ cosPipa senOaTeorema di De Moivre: l’elevamento a potenzaK e'seno tuttise allorapecoraI senileècosap seno costi2 sentocacaopdunqueRadici n-esime:K demaniodiEsse ricavano dallasi formulaK i 0 haasia r seq2 cos sue sensonon4 nocosa ismeoAllora id r pcasula SeungQuesto solodecade sepero animante ENp 0 con u12kt0 KE 7periodicitàne come4Dunque l'IIpt inie'II2 cose 9però risultano infinitiangoli esseregli escluderedunque periodicitàlaBisogna 2ktTt queil'ItOnse allora qua r n

ete INKEE ut1On 0ma npercio concerteRicapitolando e'Ittip sene'It2 cos KENKE 11EO le con lei e le2T dividereà indovrò'l'indiceseno u unel el'angolo confingendopianogiro TI troverola ogni indi poligonoregpauraOss!: le radici n-esime e la scomposizione in fattori abbiasi 1 eziopuò Zmedunque offende preso3 dato sisalarialisicuramente cuecomplessescriverelepuo 33 èsi231 2I O2 dilegua 0 f iz iti E ORadici n-esime dell'unità, un gruppo abeliano:J ZEE loENIn 1Z come inAssociatività1 Si ZfI ZI212 E 12 12 2 22In2 Si2 ei neutro ZI.tl ZI Zia2 12 In2 siinversi3 inerti LOsiti YuenZtutti poiane 1 zioinvertibiliitutti loviventi sono tranne 0Aboliamo Si connettivoprodotto chiusoQuesto è un piccolo gruppoIsomor smo:Prendiamo abeliandue gruppiPz 12Ia 7ZEE 1 02 31 40,1no 11 3 2UIÈ 3orgia e 324 come neit0 uneCome 30 EQuesti hannopoicheisomorfidue sonogruppi lain saunacannequaicosaOss!: perché nelle equazioni di

secondo grado spurie vi sono le soluzioni +-Prendiamo E e1 2 orgeconper esempioinnate ocoscos'è ismeo 1p argra.eeisenfIf ftp.lcosE E.it avg.toDei argtaaitsuecosMa illo aveteèl'argomento numerose eoppostotraI Taal tpeargtai argtatra.lapoianeForma esponenziale di un numero complesso:cio PeioiCasa seno 2con pienox in menoio inno tvcasoeFormule di Eulero:M tramite ricamanoesponenzialigliiocioe laseno geniocoseno ee gonnae annessemetricheCos come2 isuio0 s.eucosoèseno ètra abbiamoAvianodile varie 1formuledove delle costantilacompaiano partemaggiorin matematicaOss!: varie2 YERxtiy.com xcitexitet èè i senocos esponenzialecomplessoareelett è ImeorgTrasformazioni Geometriche con i numeri complessi:JRotazione R W linkprendiamo E E1 considerando RevEWE comediLa agiretrasformaliane fatto su nuovome complessoin umanometrasformandolo complessocomunque Cui elementisi senne Z suglicrea cuzi agisce insiemidell'insieme

linonèe'seno seu Y2 fasce è svelatoRwe 9r2iva Rwe invariatorotaciane mantieneLail del venetomodulo complessoZyq.io cambiandoneil l'Arginvariato r121 0tqagwOss!: Rotomotitie rotazioni dilatanoesistano witscheameneTeorema: la rotazione compone un gruppo abeliano rispetto alla composizioneE E lw.IE 1aavgWitargWwlIWiWii aABEliANO CzCZRwiRwc RwRw Rw Z 2we no wzRw CZwa1 AssociativitàRw GRai3 RwRenRui knewo o curviwaftRca Rw Rnao Rai3owa2 El neutroRw CZ can 1 fè IZW 2I1 anello3 Oppoti Rai CZ1 Rue CZRw IRyzo2Oss!: potenze n-esime di numeri complessi sono n rotazioni del numeroRi essioni-Simmetrie S WM linkprendiamo E E1 considerando RevEWE comediLa agiretrasformaliane sufatto nuovome complessoin nullometrasformandolo complessocomunqueWE elementiCuisi senne z suglima i agisce insiemidell'insieme suglinonQuesto perché REEDRutta RwSuez soRw so è EÈsaluteRw Evi novi rettaPorto adsimmetria tramitela rispetto

una ilrotariano utilizzandoall'asseuna coniugatoindietro rotondatornando comeeper unaspocchiosaprimaauguale

Teorema: la composizione di due simmetrie forma una rotazione

K E E lui twitI 1 targaWi arguiiWii a a WETSweetSu WESu E cuiSuedesui Ufita RwWZ CZz lei fluivacome

Teorema: la composizione di una simmetria ed una rotazione forma una simmetria

EE lui Inizi 1 targaIWi arguiiWii a a WERwCZ ERwsua WEESuarezRw noo lei 2 WICome Wi Wz

Polinomi in C:PG È 21 EAnz IRdue A anao Con anePGdato ree delèallora0 radicer polinomio

Teorema: ogni equazione di secondo grado a coe cienti complessi ammette 2 rK t ditol'qq.dz TERBOfa dcomeZi e2 socinianidurette compiesse8 SEDini arbitrariocdeconsidero Wt2 comeBlu O8 F8d w PWante 48 J.co82am ip8 6284psBdue WELS 0EP 882 allora laOdura Xslt PS JF Fciao ciaodue neaTÈ