Numeri complessi

NUMERI COMPLESSI

Equazioni del tipo: 2 +1=0

x

Non hanno radici effettive in R, allora si rende necessario introdurre un nuovo

unità immaginaria,

numero, detto tale che: 1

2 2

i=(−1 )

=−1,

i

In questo modo è possibile fornire soluzioni a ogni equazione in un insieme

numerico che contiene tutti i numeri reali più i numeri complessi, definiti come:

+iy

z=x

In cui x è detta parte reale [Re(z)], mentre y è detta parte immaginaria [Im(z)],

x e y appartengono a R, ma il numero z appartiene a uno speciale insieme: C,

di cui R è un sottoinsieme, esso contiene tutti i numeri reali più i complessi, più

le sue somme e i suoi prodotti.

Somma e prodotto fra numeri complessi si eseguono come se si facessero fra

i

polinomi con come variabile.

( )

' ' ' ' ' '

+iy =x +i + = + +i( + )

z=x , z y , z z x x y y

( )

' ' ' ' '

= − +i( + )

z∗z x x y y x y y x

Dato che un numero complesso è un insieme di due valori (uno reale e uno

complesso), si riporta su un grafico cartesiano in cui sull’asse delle x va la

parte reale, e su quello delle y la parte immaginaria. Si introduce inoltre il

coniugato di un numero tale che: 2 2

ź=( ) ( )=x

+iy =x−iy +iy +

z=x , ź , z∗ x x−iy y

Ma nel grafico, il risultato è uguale al quadrato della distanza del punto

dall’origine, grazie alla formula di sopra si può anche definire i/z come il

coniugato di z fratto la distanza al quadrato. Si ricordi che essendo una

divisione sia x che y devono essere diversi da 0.

Dato che un numero complesso rappresenta un punto nel grafico cartesiano, la

distanza fra questo e l’origine è una retta, che individua un particolare angolo

con l’asse delle x, in tal modo si può anche scrivere:

x y ( )=rcisφ

+iy

z=x , cos φ= , sin φ= → z=r∗cos φ+ri sin φ=r cos φ+isin φ

r r

Con r la distanza fra il punto e l’origine e phi l’angolo individuato da r e

dall’asse delle x, in questo modo si può ricondurre il tutto ad una circonferenza

goniometrica. Con i numeri scritti in questo modo, le operazioni di somma e

prodotto risultano molto più semplici e si possono ricondurre alle formule di

goniometria.