Numeri complessi

Numeri complessi

Equazioni del tipo: 2 + 1 = 0 non hanno radici effettive in R, allora si rende necessario introdurre una nuova unità immaginaria, numero, detto tale che: i² = (–1) = –1. In questo modo è possibile fornire soluzioni a ogni equazione in un insieme numerico che contiene tutti i numeri reali più i numeri complessi, definiti come: z = x + iy in cui x è detta parte reale [Re(z)], mentre y è detta parte immaginaria [Im(z)]. x e y appartengono a R, ma il numero z appartiene a uno speciale insieme: C, di cui R è un sottoinsieme, esso contiene tutti i numeri reali più i complessi, più le sue somme e i suoi prodotti.

Somma e prodotto fra numeri complessi

Somma e prodotto fra numeri complessi si eseguono come se si facessero fra polinomi con come variabile.

(z + z') = (x + x') + i(y + y') e (z · z') = (x x' – y y') + i(x y' + y x')

Dato che un numero complesso è un insieme di due valori (uno reale e uno complesso), si riporta su un grafico cartesiano in cui sull’asse delle x va la parte reale, e su quello delle y la parte immaginaria. Si introduce inoltre il coniugato di un numero tale che: z̅ = (x + iy) = x – iy.

Nel grafico, il risultato è uguale al quadrato della distanza del punto dall’origine. Grazie alla formula di sopra si può anche definire i/z come il coniugato di z fratto la distanza al quadrato. Si ricordi che essendo una divisione sia x che y devono essere diversi da 0.

Rappresentazione sul piano cartesiano

Dato che un numero complesso rappresenta un punto nel grafico cartesiano, la distanza fra questo e l’origine è una retta, che individua un particolare angolo con l’asse delle x. In tal modo si può anche scrivere: z = r(cos φ + i sin φ) = r cis φ con cos φ = x/r, sin φ = y/r. Con r la distanza fra il punto e l’origine e φ l’angolo individuato da r e dall’asse delle x, in questo modo si può ricondurre il tutto a una circonferenza goniometrica.

Con i numeri scritti in questo modo, le operazioni di somma e prodotto risultano molto più semplici e si possono ricondurre alle formule di goniometria.