Moto rotazionale 3D

Moto rotazionale in 3D

H = - (ħ² / 2m) ∇² ψ

∇² = (∂² / ∂x²) + (∂² / ∂y²) + (∂² / ∂z²)

V = 0 per semplificare → la particella NON ha vincoli, è libera di muoversi.

• θ: ANGOLO DI INCLINAZIONE o COLATITUDINE
• φ: AZIMUT

Eq. di Schrödinger

∇²ψ + (2mE / ħ²)ψ = 0

→ separa le variabili per semplificare

ψ(θ, φ, r) = Θ(θ) Φ(φ)

∇² = ⊿ _r + (1 / r²) ⊿ _{θ, φ}

⊿ _{θ, φ} = operatore angolare dell'operatore di Laplace.

L'energia è costante quindi l'operatore si semplifica

1 / r ∂ / ∂r (r² ∂ψ / ∂r) + ⊿ _{θ, φ}ψ / ΘΦr²

Eq. di Schrödinger diventa:

(1 / Φ) d²Φ / dφ² = - m_l²

⊿²ψ = Eψ

Separa le variabili:

(1 / Θ) d / dθ (senθ dΘ / dθ) / Θsenθ = -εΘΦ

Moltip. a sx e dx per senθ

d / dΘ d / dθ (senθ dΘ / dθ) - εsenθΘ = E.senθ

funzione di Θ funzione di φ

Separa le variabili:

(1 / Φ) d²Φ / dφ² = - m_l²

senθ d / dθ (senθ dΘ / dθ) - EsenθΘ - m_l ²

la risoluzione è complessa → risolta con le funzioni associate di Legendre

Moto rotazionale in 3D

H = - (ħ² / 2m) ∇² V

∇² = (∂² / ∂x²) + (∂² / ∂y²) + (∂² / ∂z²)

V=0 per semplificare → la particella non ha vincoli, è libera di muoversi

non utilizzo le coordinate cartesiane siccome non che R=cost. La posizione della particella come funzione dell'angolo:

Θ: ANGOLO DI INCLINAZIONE o COLATITUDINE Φ: AZIMUT

- Eq.ne di Schrödinger

ħ² / 2m ∇² ψ + Eψ

→ spazio le variabili per semplificare

ψ(Θ,Φ) = Θ(Θ) Φ(Φ)

∇²= 1/r² ∂/∂r (r² ∂/∂r) + 1/r² sinΘ ∂/∂Θ sin Θ ∂/∂Θ + 1/r² sin²Θ ∂² / ∂Φ²

I raggi e costante quindi l'operatore si semplifica in:

1/sinΘ ∂/∂Θ sinΘ ∂/∂Θ + 1/sin²Θ ∂² / ∂Φ²

φ(Θ,Φ) = Λ² ψ, Λ² leggendrano parte angolare dell'operatore di Laplace

- Eq. di Schrödinger diventa:

1/senΘ ∂/∂Θ • senΘ ∂ψ/∂Θ + 1/sen²Θ ∂²ψ/∂Φ² = εΘΦ

Λ²ψ = Eψ

Separo le variabili:

1/senΘ d/dΘ (senΘ dΘ/dΘ) + εΘ/Θ = - m²_Φ

dove E = 2IE / ħ²

Separo le variabili:

1/Φ d²Φ/dΦ² = -m²

1/senΘ d/dΘ senΘ dΘ/dΘ = E sin²Θ -m²

la risoluzione è complessa risolta con le funzioni associate di Legendere

Ottengo un nuovo NUMERO QUANTICO (l)

l = 0, 1, 2, ...

• m_l = l, l-1, ..., -l
• 2l + 1 valori di m_l

La soluzione dell'eq di Schrödinger per quanto riguarda l'energia è:

E_l = l (l + 1) ^h2/_2I

• l = 0, 1, 2, ...
• per ogni l, ho 2l +1 stati che hanno la stessa energia → DEGENERAZIONE

Le funzioni d’onda assumono delle forme:

Y_l,ml(θ,Φ) sono delle HARMONICHE SFERICHE

• l=0 ⇒ Y = (1/4π)^1/2
• l=1 ⇒ Y = (3/4π)^1/2cosθ
• l=1, m_l=±1 ⇒ Y = (3/8π)^1/2senθe^±iΦ

Cosa succede all'energia:

• l=0, E=0
• l=1, E=2
• l=2, E=6
• l=3, E=12
• l=4, E=20

→ il ΔE tra i livelli sarà:

• ΔE = (l + 1)(l + 1) ^h2/_2I - l(l + 2) ^h2/_2I = (l + 1) ^h2/_I → i livelli sono via via più distanziati

Confronto l'espressione appena discussa con quella del momento:

E_l = l (l + 1) ^h2/_2I

E_r = j²/_2I

• l(l + 1) ^h2/_2I = j²/_mkh ⇒ j² = l (l + 1) ^h2 quindi anche il momento angolare è QUANTIZZATO

Solo alcune proiezioni del momento sono possibili, in base a m_r ^kk e N(l)

l = 2 ⇒ m_l = -2, -1, 0, 1, 2

L'orientazione di j può assumere solo 5 valori (2l+1)

non posso conoscere le proiezioni r, x, e z del vettore J, causa il PRINCIPIO DI INDETERMINAZIONE

QUANTIZZAZIONE SPAZIALE

Particelle su neutroni possono dare luogo a proprietà magnetiche

• L’osservazione di sole 2 bande e non 5 porta a pensare che: (sperimentale)
• (2l + 1) = 2
• l = 1/2 però non può essere perché l è un intero

ipotizzo che le particelle di fermo ruotano su se stesse in cui ciò è più esatta fenomeno

CONCETTO DI SPIN