Appunti di Fisica I sul moto rotazionale

MOTO ROTAZIONALE

Quando un corpo esteso ruota intorno al proprio asse, il moto

non può essere analizzato considerando il corpo come una

particella puntiforme in quanto in ogni istante le differenti parti

del corpo si muovono con velocità differenti e in direzioni

differenti. Si può analizzare il moto considerando il corpo

esteso come composto da un insieme di particelle in moto. La

INTRODUZIONE trattazione di un corpo in rotazione si semplifica notevolmente

quando si può assumere che il corpo sia rigido. Un corpo

rigido è un corpo indeformabile, cioè un corpo in cui le

distanze relative di tutte le particelle di cui il corpo è composto

sono costanti nel tempo. Tutti i corpi reali sono deformabili

entro certi limiti; il nostro modello di corpo rigido, comunque, è

utile in molte situazioni in cui le deformazioni sono trascurabili.

POSIZIONE, VELOCITÀ E ACCELERAZIONE

ANGOLARE

Lo studio del moto traslazionale è iniziato con la definizione dei termini di posizione, velocità e accelerazione.

Per esempio, per definire la posizione di una particella in uno spazio unidimensionale, si usa la variabile di

posizione x. Ora si accoppia l’aggettivo traslazionale alle variabili cinematiche per distinguerle dalle analoghe

variabili rotazionali che si andranno ad introdurre. La figura mostra un compact disk in rotazione visto dall’alto.

Il disco ruota intorno ad un asse fisso che è perpendicolare al piano della figura e passa per il centro del disco

in O. Una particella nel punto P è ad una distanza fissa r dall’origine e ruota intorno ad essa lungo una

circonferenza di raggio r. È conveniente rappresentare la posizione del punto P con le sue coordinate polari (r,

θ), dove r è la distanza del punto P dall’origine e θ è misurato in senso antiorario rispetto ad una linea di

riferimento. In questa rappresentazione, la sola coordinata che varia nel tempo per la particella è l’angolo θ

mentre r rimane costante. Quando la particella si muove lungo la circonferenza dalla linea di riferimento che

corrisponde a θ = 0, essa si muove lungo un arco di lunghezza s come in figura b. La lunghezza dell’arco s è

legata all’angolo θ attraverso la relazione:

=

=

POSIZIONE, VELOCITÀ E ACCELERAZIONE

ANGOLARE

Poiché l’angolo θ è il rapporto tra la lunghezza dell’arco e il raggio della circonferenza, esso è un numero puro. Ciononostante, si assegna

all’angolo θ l’unità di misura artificiale di radiante (rad), dove un radiante è l’angolo sotteso da un arco la cui lunghezza è uguale al raggio

dell’arco. Poiché la lunghezza di una circonferenza è 2πr, segue dalla seconda equazione che 360° corrispondono a un angolo di (2πr/r) rad

= 2π rad. Quindi 1 rad = 360°/2π ≈ 57.3°. Per convertire un angolo espresso in gradi in un angolo in radianti usiamo la relazione π rad =

180° e quindi:

( )= ( )

180°

Approssimare un corpo reale a un corpo rigido è un modello semplificato, il modello di corpo rigido. Poiché il disco nella figura precedente è un

corpo rigido, quando la particella si muove lungo la circonferenza dalla linea di riferimento, ogni altra particella del corpo ruota dello stesso

angolo θ. Quindi possiamo associare l’angolo θ all’intero corpo rigido così come a ciascuna particella, il che ci permette di definire la posizione

angolare del corpo rigido nel suo movimento rotazionale. Scegliamo una linea radiale sul corpo, come la linea che connette O con una particella

scelta sul corpo.

POSIZIONE, VELOCITÀ E ACCELERAZIONE

ANGOLARE

La posizione angolare del corpo rigido è l’angolo θ fra la linea radiale

sul corpo e la linea di riferimento fissa nello spazio, linea che è spesso

scelta come asse x. Si identifica la posizione di un corpo nel moto

traslazionale come la distanza x fra il corpo e la posizione di riferimento,

che è detta origine, x = 0. Quindi nel moto rotazionale l’angolo θ ha lo

stesso ruolo della posizione x nel moto traslazionale. Quando una

particella di un corpo rigido si muove dalla posizione A alla posizione B

in un intervallo di tempo Δt come nella figura a fianco, la linea di

riferimento solidale al corpo spazza un angolo Δθ = θ - θ . Questa

f i

quantità Δθ è definita come lo spostamento angolare del corpo rigido:

∆ ≡ −

POSIZIONE, VELOCITÀ E ACCELERAZIONE

ANGOLARE

Se il corpo rigido ruota rapidamente, questo spostamento avviene in un breve intervallo di tempo. Se ruota lentamente, questo spostamento

avviene in un intervallo di tempo più lungo. Queste differenti modalità di rotazione possono essere quantificate introducendo la velocità

angolare media ω definita come il rapporto dello spostamento angolare di un corpo rigido e l’intervallo di tempo Δt durante il quale lo

med

spostamento avviene:

− ∆

≡ =

− ∆

La velocità angolare istantanea ω è definita come il limite, per Δt tendente a zero, della velocità angolare media:

∆

= lim =

∆

∆ →0

La velocità angolare si misura in unità di rad/s o in s , essendo il radiante una grandezza adimensionale. Adotteremo la convenzione di

-1

prendere ω positivo quando θ è crescente e negativo quando θ è decrescente.

POSIZIONE, VELOCITÀ E ACCELERAZIONE

ANGOLARE

Se la velocità angolare istantanea di un corpo varia dal valore ω al valore ω nell’intervallo di tempo Δt, il corpo ha un’accelerazione

i f

angolare. L’accelerazione angolare media α di un corpo rigido in rotazione è definita dal rapporto fra la variazione di velocità

med

angolare e l’intervallo di tempo Δt nel quale questa variazione avviene:

− ∆

≡ =

− ∆

L’accelerazione angolare istantanea α è definita come il limite dell’accelerazione angolare media per Δt tendente a zero:

∆

≡ lim =

∆

∆ →0

L’accelerazione angolare si misura in unità di rad/s o semplicemente in s . Si noti che α è positivo quando un corpo rigido sta ruotando in

2 -2

senso antiorario con velocità angolare in valore assoluto crescente o quando sta ruotando in senso orario con velocità angolare in valore

assoluto decrescente.

POSIZIONE, VELOCITÀ E ACCELERAZIONE

ANGOLARE

Quando un corpo rigido ruota attorno ad un asse fisso, ogni particella del corpo ruota attorno a quest’asse dello stesso angolo

in un dato intervallo di tempo e ha la stessa velocità angolare e la stessa accelerazione angolare. Cioè, le grandezze θ, ω e α

caratterizzano il moto rotazionale di tutto il corpo rigido ed anche delle singole particelle del corpo. La posizione angolare (θ), la

velocità angolare (ω) e l’accelerazione angolare (α) di un corpo rigido corrispondono, rispettivamente, alle grandezze

traslazionali posizione (x), velocità (v) e accelerazione (a), per il corrispondente moto unidimensionale di una particella. Le

variabili θ, ω e α differiscono dimensionalmente dalle variabili x, v e a solo per un fattore di lunghezza. In senso stretto, ω e α

sono i moduli del vettore velocità angolare ω e del vettore accelerazione angolare a ed essi dovrebbero essere sempre

→ →

positivi. Poiché stiamo considerando rotazioni attorno a un asse fisso, possiamo indicare il verso di questi vettori assegnando un

segno positivo o negativo a ω e α.

POSIZIONE, VELOCITÀ E ACCELERAZIONE

ANGOLARE

Quindi, la direzione di ω è lungo quest’asse. Se una particella ruota nel

→

piano xy, la direzione di ω è uscente dal piano del grafico quando la

→

rotazione è antioraria ed entrante quando la rotazione è oraria. Per illustrare

questa convenzione, è utile usare la regola della mano destra, come in

figura a fianco. Quando le quattro dita della mano destra si avvolgono nel

verso della rotazione, il pollice destro esteso punta nel verso di ω . La

→

direzione di deriva dalla sua definizione d ω /dt. La direzione di a è la

→ →

stessa di ω se la velocità angolare è crescente nel tempo ed è antiparallela

→

a ω se la velocità angolare è decrescente nel tempo.

→ MODELLO DI ANALISI: CORPO RIGIDO SOGGETTO AD

ACCELERAZIONE ANGOLARE COSTANTE

Si immagina che un corpo rigido ruoti intorno a un asse fisso e che abbia un’accelerazione angolare costante. In questo caso si sviluppa un nuovo modello per il moto

∆

rotazionale chiamato il corpo rigido soggetto ad accelerazione angolare costante. Se si scrive l’equazione nella forma dω=αdt e si integra

≡ lim =

∆

∆ →0

questa espressione da t = 0 a t = t si ottene:

i f

= + ( ) ∆

dove ω è la velocità angolare del corpo rigido al tempo t = 0. Sostituendo l’equazione precedente nell’equazione e integrando nuovamente si ottiene:

= lim =

i ∆

∆ →0

1 2

= + + ( )

2

dove θ è la posizione angolare del corpo rigido al tempo t = 0. Eliminando il tempo t da entrambe le equazioni precedenti, si ottiene:

i ( )

2 2

= +2 − ( ) 1

Eliminando il tempo t dalle equazioni e si ottiene:

2

= + +

= + 2

1 ( )

= + + ( )

2

RELAZIONI FRA GRANDEZZE ROTAZIONALI E

TRASLAZIONALI

Quando un corpo rigido ruota intorno a un asse fisso, come in figura, ogni particella del corpo percorre

una circonferenza avente il centro sull’asse di rotazione. Poiché il punto P nella figura si muove lungo

una traiettoria circo