Appunti di Fisica I sul moto rotazionale

TRASLAZIONALI

Quando un corpo rigido ruota intorno a un asse fisso, come in figura, ogni particella del corpo percorre

una circonferenza avente il centro sull’asse di rotazione. Poiché il punto P nella figura si muove lungo

una traiettoria circolare di raggio r, il vettore velocità traslazionale v è sempre tangente alla traiettoria;

→

quindi spesso si chiamerà questa quantità velocità tangenziale. Il modulo della velocità tangenziale

della particella, per definizione è la velocità scalare tangenziale v = ds/dt, dove s è lo spazio

percorso dalla particella lungo la circonferenza. Ricordando che s = rθ e notando che r è costante, si

ha:

= =

=

Cioè, il modulo della velocità tangenziale di un punto su un corpo rigido in rotazione è uguale al prodotto

della distanza della particella dall’asse di rotazione per la velocità angolare.

RELAZIONI FRA GRANDEZZE ROTAZIONALI E

TRASLAZIONALI

Quindi, sebbene ciascun punto sul corpo rigido abbia la stessa velocità angolare, non tutti i

punti hanno la stessa velocità scalare tangenziale perché r non è lo stesso per tutti i punti sul

corpo. Si può mettere in relazione l’accelerazione angolare del corpo con il modulo

dell’accelerazione tangenziale del punto P calcolando la derivata rispetto al tempo di v:

= =

=

Cioè, il modulo della componente tangenziale dell’accelerazione traslazionale di un punto

soggetto a moto circolare è uguale al prodotto della distanza del punto dall’asse di rotazione

per l’accelerazione angolare. Una particella in moto lungo una traiettoria circolare è sottoposta

a una accelerazione centripeta, o radiale, di modulo v /r diretta verso il centro di rotazione,

2

come in figura.

RELAZIONI FRA GRANDEZZE ROTAZIONALI E

TRASLAZIONALI

Poiché v = rω, si può esprimere il modulo dell’accelerazione centripeta di quel punto in funzione della velocità angolare

come: 2 2

= =

Il vettore accelerazione totale del punto è a = a + a , dove il modulo a è l’accelerazione centripeta a . Siccome a

→ → → → →

t r r c

è un vettore con componente sia radiale che tangenziale, il modulo dell’accelerazione totale a del punto P su un corpo in

→

rotazione è:

2 2 2 2 2 4 2 4

= + = + = +

ENERGIA CINETICA ROTAZIONALE

Si considera un corpo come un sistema di particelle e si assume che ruoti attorno a un asse fisso z con velocità

angolare ω. La figura a fianco mostra il corpo rotante e identifica una particella sul corpo a distanza r dall’asse

i

di rotazione. Sia m la massa dell’i-esima particella e v la sua velocità tangenziale; la sua energia cinetica è:

i i

1 2

= 2

L’energia cinetica totale del corpo rigido in rotazione è la somma delle energie cinetiche dei singoli punti che lo

compongono: 1 1

2 2 2

∑ ∑ ∑

= = =

2 2

Si può scrivere questa espressione nella forma:

( )

1 2 2

∑

= 2

dove si è messo a fattore ω perché è comune ad ogni particella.

2

ENERGIA CINETICA ROTAZIONALE

Si semplifica questa espressione definendo la quantità in parentesi come il momento di inerzia I del corpo rigido:

2

∑

≡

Dalla definizione di momento d’inerzia si nota che questa grandezza ha dimensioni ML (kg•m nelle unità SI). Con questa notazione, l’equazione

2 2

( )

1 diventa:

2 2

∑

= 2

1 2

= 2

Il momento di inerzia è una misura dell’opposizione del corpo alla variazione della sua velocità angolare. Si noti che il momento di inerzia dipende

non solo dalla massa del corpo rigido ma anche da come la massa è distribuita attorno all’asse di rotazione. Benché la grandezza 1/2Iω 2

dell’equazione precedente sia comunemente indicata come energia cinetica rotazionale, essa non è una nuova forma di energia. Essa è la normale

energia cinetica essendo stata ricavata dalla somma delle singole energie cinetiche delle particelle che costituiscono il corpo rigido.

ENERGIA CINETICA ROTAZIONALE

Il momento di inerzia di un insieme discreto di particelle può essere calcolato direttamente con l’equazione . Si può valutare il momento di inerzia di un corpo rigido

2

∑

≡

continuo immaginando il corpo come suddiviso in tanti piccoli elementi, ciascuno con massa Δm . Usiamo la definizione I = Σ r Δm e calcoliamo il limite per Δm In questo

i2 →0.

i i i i

limite, la somma diventa un integrale sul volume del corpo:

∫

2 2

∑

= lim ∆ =

∆ →0

Si può esprimere la massa di un elemento scrivendo l’equazione nella forma differenziale, dm=ρdV. Usando questa espressione, l’equazione precedente diventa:

≡

∫ 2

=

Se il corpo è omogeneo, la densità ρ è uniforme su tutto il volume del corpo e si può calcolare l’integrale per una data geometria. Se ρ non è uniforme su tutto il volume del corpo,

per poter eseguire l’integrazione deve essere nota la sua variazione in funzione della posizione. Per corpi simmetrici, il momento d’inerzia si può esprimere in funzione della massa

totale del corpo e una o più dimensioni del corpo.

MOMENTO DI UNA FORZA E PRODOTTO VETTORIALE

Sia dato un corpo rigido imperniato su un asse. Quando su questo corpo si esercita una forza risultante e la retta

d’azione della forza non passa per il perno, il corpo tende a ruotare attorno a quell’asse. La tendenza di una forza

a far ruotare un corpo attorno a un certo asse si misura con una grandezza vettoriale chiamata momento della

forza. Il momento della forza è la causa delle variazioni nel moto rotatorio ed è analogo alla forza che causa le

variazioni nel moto traslazionale. Si considera la chiave inglese imperniata attorno all’asse passante per O, come

mostrato in figura. La forza applicata F generalmente agisce formando un angolo Φ rispetto al vettore posizione

→

r che individua il punto di applicazione della forza. Si definisce il momento della forza Τ dovuto alla forza F con

→ →

l’espressione:

≡

Il momento si esprime nell’unità di misura di Newton • metri (N•m) nel sistema internazionale SI. È estremamente

importante riconoscere che il momento della forza è definito solo quando è specificato un particolare asse di

riferimento, rispetto al quale è definita la distanza r.

MOMENTO DI UNA FORZA E PRODOTTO VETTORIALE

Guardando le componenti della forza nella figura precedente, si nota che la componente FcosΦ parallela a r non causerà una rotazione della

→

chiave inglese attorno all’asse del perno, poiché la sua retta d’azione passa proprio per il perno. Quindi, soltanto la componente perpendicolare

FsenΦ mette in rotazione la chiave inglese attorno all’asse del perno. In questo caso possiamo scrivere l’equazione come:

≡

= ( )

sicché il momento della forza (o momento meccanico) è il prodotto della componente perpendicolare della forza (FsenΦ) e della distanza r tra

il punto di applicazione della forza e l’asse. Il secondo modo di interpretare l’equazione è di associare la funzione seno alla distanza

≡

r, cosicché si possa scrivere:

( )

= =

La grandezza d = rsenΦ, chiamata braccio del momento (o braccio della leva), o semplicemente braccio della forza, rappresenta la

distanza fra l’asse di rotazione e la retta d’azione della forza F .

→

⁡

MOMENTO DI UNA FORZA E PRODOTTO VETTORIALE

Se vi sono due o più forze che agiscono sul corpo rigido, come in figura, ciascuna di esse

tende a produrre una rotazione intorno all’asse passante per O. Per esempio, se il corpo è

inizialmente a riposo, F tende a far ruotare il corpo in verso orario, mentre F tende a farlo

→ →

2 1

ruotare in verso antiorario. Per convenzione il segno del momento della forza è positivo quando

la forza tende a produrre una rotazione antioraria, negativo quando tende a produrre una

rotazione oraria. Sempre in figura, il momento dovuto a F , che ha come braccio d , è positivo

→

1 1

ed è uguale a +F d ; quello dovuto ad F è negativo e vale -F d . Il momento risultante che

→ →

1 1 2 2 2

agisce sul corpo rigido rispetto all’asse passante per O è dunque:

= + = −

1 2 1 1 2 2

Il momento di una forza non deve essere confuso con la forza. Il momento dipende dalla forza,

ma anche da dove la forza è applicata.

MOMENTO DI UNA FORZA E PRODOTTO VETTORIALE

Si considera una forza F che agisce su una particella individuata dal vettore posizione r ,

→ →

come in figura. Il modulo del momento di questa forza rispetto all’asse passante per l’origine è |

rFsenΦ|, dove Φ è l’angolo tra r e F . L’asse intorno al quale la forza tenderebbe a produrre

→ →

la rotazione del corpo è perpendicolare al piano individuato da r ed F . Se la forza giace sul

→ →

piano xy, allora il momento è rappresentato da un vettore parallelo all’asse z. La forza crea un

momento che tende a far ruotare il corpo in senso antiorario guardando l’asse z dall’alto. Si

definisce il verso del momento della forza in modo che il vettore τ sia nel verso positivo delle

→

z. Se si inverte il verso di F , τ è nel verso negativo delle z. Con questa scelta, il vettore

→ →

moment