Modellistica per l'ambiente e la sicurezza (matrici)

Dimostrazione

Utilizziamo il fatto che B è invertibile se e solo se ogni autovalore di B è diverso da 0.

Abbiamo visto che gli autovalori di B sono della forma +4i, dove è l'autovalore di A.

Ma A è Hermitiana quindi i suoi autovalori sono reali.

Immaginiamo che esista un numero c con parte immaginaria uguale a 4 che sia un autovalore di B.

Quindi c = +4i.

Ma un numero c con parte immaginaria uguale a 4 non può essere nullo.

Quindi B non può avere autovalori uguali a 0. Quindi B è INVERTIBILE.

Dimostriamo che gli autovalori sono +4i:

Con Ax = cx, per x ≠ 0, otteniamo:

(A - cI)x = 0

Ma Bx = (A - cI)x = 0

Quindi c è un autovalore di B.

Hai autovalore +4i per ogni autovalore di A.

Ma B è una matrice n x n e quindi ha esattamente n autovalori.

Anche A ha esattamente n autovalori, quindi se scrivo +4i al variare di c tra gli autovalori di A ottengo TUTTI gli autovalori di B.

..autovalori di B .Come misuro la "lunghezza" di un vettore?x CC- dire quanto ×misura :modi Per3Ci sonoNorme: Normak=ÈÈ; o=☒ → EuclideanormaÈ Normasi/ 1→✗la/ ☒ = , infinitoNormaI -K/ Max1×1 ≥• JEM← X ,esempio ✗ i: =2=2 >-a✗←( fi) 1¥TÈ1×21 G✗ ==haha= di→fÈÈ= TINik = EVE/ti✗ =☒ / 21ti }HaI /=a 4)/ Fs( 4MI s =Max= ,,• traValgono sia per i vettori colonna che per i vettori rigaCerchi nel piano complesso: }) I(lz sai c- 2{ %K -:ez=.K È il cerchio pieno (disco) nel piano c di centro (1+i) e raggio 2.( )ZIma "1← raggio9- 2"?i ;..._ > Recz)RIGHETeoremi di GerschgorinMm ( )A %c- ;)Tera[ Clap- .aar . .1- azn«? '22 -2 . .' i.ai . .. .. .. _Definiamo il cerchio di G con Kj relativo alla riga j, il centro a e raggiojjpari alla [ lclj KI,K =LKIJ }/ Rj12--9{ È : ,E2-K ⇒ Èlai.ir/K--2K---r , =esempio

:):è ::: 0-1Gti1 1- si1701 -1 i 1204 O- / 01+1011-111+14Haas+1011aerei //=/ tasso =/ra =+2= /+19251=1-11+111+1 /// lo72=1%11+1923 % -2+ + =,=3 / /la 01+1-11+11+ /It/ /ldsz asg=/↳ d =/ ++e }> , /ti+ ==3ry 11+111+101+1=/ / 6=si-il lo /↳ -41+1=L +101=5+ }ke IZ{ c- 1<-23)-¢= :ze }kr { )(IZ¢ Gti= / 3z ±: -e↳ }{ 81¢ I -2 Ez= 3e : -KF { 12--171<-6}¢z e : }{ / 12115Kee ¢ z2- e : -KIM )( z -K2 K 3K2 •h>Retz )PRIMO TEOREMA DI GERSCHGORIN: UnA Éber[Data (f)c-- .in.. .j 1 M_ . /.., talet 1-autovalore diOgni cheè ilÙ dovet 'kjKJE e5=1 n ,, .. . ,,=Ld- dirighedicerchio Geschgorim PerF- esimo-1 .SECONDO TEOREMA DI GERSCHGORINUniciA eSi assuma che l’Unione dei cerchi di G. sia formata da due sottoinsiemidisgiunti M ed M , cioè1 2ÙK MzU MsMr Mrncon 0= =,d- 1=Dove M è costituito da n cerchi e M è costituito da n cerchi, con n + n =n1 21 2 12 .Allora in M sono contenuti n autovalori

di A e in M sono contenuti n1 21 2autovalori di A. KIM )( z -K2 K 3K2 •Fire )( zprimo teorema di Gerschgorin,Riprendendo l’esempio precedente, per il gliautovalori di A appartengono all’unione dei cerchi di G. per riga, e quindiappartengono all’area colorata di azzurro (bordi compresi).In particolare, vediamo che l’unione dei cerchi NON comprendel’origine. Questo ci permette di dire che tutti gli autovalori di A sonodiversi da 0 e che quindi A è invertibile!GrafoUn grafo G è una coppia {V, E} doveV={insieme dei nodi}={1,…,n}E={insieme degli archi}={(i,j) per certi i e j {1,…,n}}C-esempio :{1,2/3,476}ti = { 1411 }(()1,21 ( !E 1,3( 43 (1,41/15,6)3,2 )= , ,, ,③②② →# Èè ④oppure ⑥⑤④③②② ← →Eraesempio : ;]È °": {I }G. v. e0 ={ } Abbiamo una matrice 3x3 quindi la massimaV }1,2 → ‘posizione’ che avremo sarà il numero 3= . } Segnamo tutte le

1. 4,1E ) ) 1)( () ) posizioni degli(1,2 3,22,3 →= , ,, , elementi diversi da 0
2. Notiamo che in questo grafo da ogni nodo posso← ; trovare una successione di archi per andare adogni altro nodo (compreso se stesso).
3. Definizione:A Mn (c) si dice irriducibile se e solo se Ga è tale che per ogni coppia di nodiE(i, j) esiste una successione di archi che unisce il nodo i con il nodo j.
4. TERZO TEOREMA DI GERSCHGORIN
5. Un (4)Data IRRIDUCIBILEA € diilSia autovalore 1-)JCÙ KJSe il c- f- a( frontierad- ¥-1KjleAllora .si, . ..esempio : }tale cheMmiA )e 4-Aj 2 =L n= , .. .> ,,AJ TÈ 1=L-11=-1 n] -, . .., ,µam , ., ., ,, .. .. .Ai altrimentio=], )°[ ° " "" " """" :" " j' - . .-12-1A - . . .= .2-1o . ..È ' '" ": -:O -2÷Dimostriamo che A è invertibile.A è reale simmetrica (Hermitiana), quindi gli autovalori di A sono reali.Scriviamo gli n

dij= i -1 autovalori AProprietà: A Mn ( ), te .tnè .. ...Ètre1) ↳(A) = , autovaloridegli )¥ Prodotto2) 'det (A) (' T←y= ,,Matrici definite positive matrice HermUn è una :ASe e allora il"¢) ✗" e( A etiana A- ,- reale'"- Axnumero ✗ ea- .= È