Modellistica per l'ambiente e la sicurezza (matrici)

Matrice Hermitiana: elemento della i-esima riga e j-esima colonna

uguale al coniugato della j-esima riga e i-esima colonna!!!

Cli ÓJI

] =

,

La matrice Hermitiana ha elementi reali sulla diagonale principale!

MATRICE REALE SIMMETRICA

esempio 612=621

2)

,

[ 9

-1 613=631

B- 5 -

a

_ 623--632

g -2 7

La matrice reale simmetrica ha tutti gli elementi simmetrici tranne quelli

posti sulla diagonale principale. Si può notare dall’esempio infatti che

b12=b21, b13=b31, b23=b32. "

MATRICE ‘CONIUGATA’(A), ‘TRASPOSTA’(A ) E ‘TRASPOSTA

CONIUGATA’(A )

-

, ]

5

i

-1

} 3-

- i 5

3

1 + Hai 2

ai

A i 4- 2 i

1 2 -

2 i

1 =] ]

[

:& i <

^ i

a- A 2

i

i 4 #

3-

mi

a , i i

s =

Una matrice A con elementi complessi è Hermitiana se A=A

Una matrice B con elementi reali abbiamo che B =B

Quindi per una matrice REALE B chiedere che sia Hermitiana ovvero B=B

equivale a chiedere B=B (Matrice reale simmetrica)

In generale una matrice che è B=B si dice SIMMETRICA

PRODOTTO MATRICE-MATRICE

PRODOTTO RIGHE PER COLONNE

esempio : }

-

=/ 1

1

3

-

:|

!

!

=/

- → so

1- 2

2

3 2

1 2

mia Hai :] :}

il

:[ )

+610/+14

(1)

③ 5-

① )

+111

6.

) 5- +

+6/-7/+111

-5 3)

(

- - 314+2101+2

)

(111-213)+211 =

(-3/+2/-71+41) 3

A. D= 3 -1101

(1)

-11-7/-211 /

) )

H )

za za

) {

41-3 - -

g- ]

15-42+2 5+28+1 5+0+2

3+0+4

3+6+2

-9-24+2

= =

{

4

4- -

3 -2 o

-

12+7-2

- a)

25

-

[ -56 7

11

21

= 0

-7 -1

AB=BA

DETERMINANTE

Se A appartiene all’ insieme M1(c), allora A[a11], det(A)= a11

: Se A appartiene all’ insieme M2(c), allora A[a11 a12]

[a21 a22]

det(A)= (a11 x a22)—(a12 x a21)

esempio : ]

[ detta

? (2-3)--4-6=-2

=p

} )

/

A- }

→ -

.

esempio : }

⑧

;) -3 0

=/

③ 8

( ° 1- i

A z

1

i 2

1

= -3

b- ti

3

-3

E- i

3 colonna 1+1 di ahi

atah nonno : -

Jet / m

A) (1) )

a) Hotei

(

3

= +

i.

→

• -

.

%

:*

"

1)

( )

8 ( a)

) (

+ ti 3-

i

• •

- -

in un

num , Ji

eliminato -1 ? g)

(

(A) -12 -11

/ 8.

Jet ( si

( =

3 si + -

-10

• -

.

= i

-32 -62+25

i

40

i

-30 15 + =

= - prima riga

Nell’esempio sopra fatto ho deciso di eliminare la (per comodità

visto che c’era uno 0 che mi ha aiutato semplificando i calcoli) per calcolare il

prima colonna

determinante. Avrei potuto anche eliminare la ed il risultato

non mi sarebbe assolutamente cambiato!

esempio : }

È °

•

A- 7- 1 0

+4

c-

= 9 5

10 -411 " (1-5)=5

detta / ① •

= -

MATRICE TRIANGOLARE SUPERIORE, INFERIORE E DIAGONALE

Triangolare inferiore:

Una matrice A appartenente all’insieme Mn(c) si dice triangolare inferiore se

e solo se [A]i, j=0 se j>i. y Proprietà

i °

o :

:

" " deth-k-LAI.tt?i.-Ettn.n

2.1 22 . . . . {

: mm

Arryn

Ana -1

Triangolare superiore:

Una matrice A appartenente all’insieme Mn(c) si dice triangolare superiore

se e solo se [A]i, j=0 se i>j. Proprietà

-9µm

-911

1 012 :

.

. .

. : :[ :[ ]

)=[

AI Dai

detta A

ora

: .

' »

÷ .

.

Diagonale:

Una matrice A appartenente all’insieme Mn(c) si dice diagonale se e solo se

[A]i, j=0 se i=j • ]

Ehi [

detta ) A

proprietà -

ai

-

_

: . . »

.

IDENTITÀ identità.

In si dice matrice identica o più semplicemente

La matrice I è l’unica matrice tale che Ma /

In

In

A- )

A- A A

A ¢

c-

e .

- -

-

Moltiplicazione di I per un vettore: E

t.it :

:

Invertibilità

Una matrice A appartenente all’insieme Mn (c) si dice invertibile se esiste B

appartenente all’insieme Mn(c) tale per cui AB=In e BA=In. '

La matrice B è detta inversa di A e in genere viene indicata con A .

• A appartenente all’insieme Mn(c) è invertibile se e solo se det(A)=0. "

• il sistema lineare Ax=b, A appartenente all’insieme Mn(c), b appartenente ¢

ha un’unica soluzione se e soltanto se A è invertibile.

•il sistema lineare Ax=b, A appartenente all’insieme Mn(c), b appartenente "

¢

ha un’unica soluzione se e solo se det(A)=0.

• la matrice A è invertibile se e solo se l’applicazione lineare di A è iniettiva, che

significa se x=y, x,y , allora Ax=Ay

"

¢

c- .

Autovalore e autovettore

Data A appartenente all’insieme Mn(c), diciamo che c è autovalore

€

di A con autovettore x c, x=0, se e solo se A x= x.

E . .

1

Vettore Vettore

1- Xx =/

✗ e

✗ = ,

Ax t E

✗

- =

1- II e

✗ =

× - /

A- II ✗ e

=

- )

{ ✗

TI

A- e

=

/ Q

II

( A e

=

-

Dunque, due vettori diversi x e 0 vanno in 0!

Quindi A- I non è iniettiva e quindi A- I non è invertibile.

\

Quindi det(A- I)=0 i [ 1-12 Aa

? " ' "

'

_

. .

" ,

.

Jet "

( "

Jet "

A Azz

II ) -1

Ars

- ?

= . . . i

. Amii )

Ana : :

.

.

.

. . .

.

.

. .

Questo determinante consiste in prodotti e somme di elementi della

matrice, quindi è un polinomio di variabile .

A un certo punto, nel calcolo del det, dovrò sommare il prodotto

degli elementi sulla diagonale principale, che mi porta ad avere un

termine del tipo ( )

" . I

" " - ÌÌ

) 1- d) cnn.at

( II

Jet cm

A t.co

+ ↳

- = +

.

. . .

polinomio caratteristico

Questo polinomio, ovvero il det(A- I), è detto di

A.

Gli zeri del polinomio caratteristico coincidono con gli autovalori.

Infatti è autovalore se e solo se det(A- I)=0.

i

Teorema fondamentale dell’algebra

Una matrice n x n avrà n autovalori (eventualmente ripetuti)

Sia A Mn(c) e siano gli autovalori di A (eventualmente

€ 1 2 M

, _ . . ,

,

ripetuti); Allora det(A)= La di in

- . . . .

Una matrice A Mn(c) è invertibile se e solo se tutti i suoi autovalori sono

C-

diversi da zero.

esempio : gli autovalori

calcoliamo A

di :

[ :]

:

a. :]

-1

:]

[ :] :

: [ :

iii.

a- - ( ;]

Jet )

[

) i

Jet :

( II

A : -11

+

=

- =

È +1=0

Ì a

= - A

te Ti i

±

±

± = =

=

r

,

Quindi, A ha autovalori i.

Esempio 2 :)

:

è :

: O

0

3

0 0

0 2

:D :

:

°

°

[ °

= ✗ o o

0

II 0

3

D- 0

= %

, :]

i

: : ::

: :

: )

( %

Jet ( )

) -1

)

D t

(

II )

( t z

3

t

r

= - -

.

- -

-

)

II

( D o

t

de =

-

4- a)

e-

HEY o

=

Posso prendere come soluzione dell’equazione sia =3 che =2. Però il 2

annulla tre binomio mentre il 3 ne annulla uno solo. Quindi gli autovalori di D

sono 2 e 3; però 2 ha molteplicità algebrica 3, mentre 3 ha molteplicità

algebrica 1.

✗ 1 2

=

tz 3

=

✗ 2

3 =

↳ 2

=

Prendiamo una matrice A appartenente all’insieme Mn(c), A Hermitiana

H

(A=A ).

Allora ogni autovalore di A è reale. (Se è autovalore di A, allora Im( =D

i i

/ ,

)

hi-Fi

ovvero .

Dimostrazione:

Dalla definizione di autovalore, è autovalore di A se Ax= x, x=0, per un

certo x c

?

C- "

x Ax=x x questo è un prodotto di 3 matrici:

\

"

" A ✗

×

→

, ,

,

dimensione

ha

" sxn

× dimensione

A nxm

ha mAh

dimensione

✗ ha 1)

) /

(

a)

( 1 n

nxn

✗ ✗

Per poter fare il prodotto tra due matrici rettangolari, le dimensioni

“interne” devono essere uguali, mentre il risultato avrà dimensione

coincidente con le dimensioni “esterne”.

Quello che interessa a noi è che x Ax ha dimensione 1x1, ovvero è un

H

numero! " XX

✗

" 1-

✗ ✗ = " "

/

" ( Ax

-

"

" ✗

" A ✗ =

)

( " Ax ✗

-

→ ✗ =

mat/

P ¢

Matrice n x p con a E

climi

A [ .

%

-1 "

. .

_ ,

,

j °

1

= '

. /

, .

. ¢

[ Matrice p x m con b

B E

6 j

i.

?

4

i. -

.

j 1

Marsili

= , .

. . ,

Posso fare il prodotto AB perché la matrice A ha un numero di colonne uguale

al numero di righe di B. Il prodotto AB sarà una matrice di dimensioni n x m.

:D

al : al'

: ÷

.

.

.

bp BÈ

1 2

, ,

Se A è una matrice quadrata n x n e B è una matrice di dimensione n x 1

•

(vettore colonna), allora il prodotto AB corrisponderà con il prodotto matrice-

vettore deve

:} avere

B

È

Un B

) colonna

/ ¢

A solo

c- una

, 6ns

:)

Af !

1- D= 621

Se A è una matrice 1 x n (vettore-riga) e B è una matrice di dimensione n x 1

• (vettore-colonna), il prodotto sarà una matrice di dimensione 1x1 (un

numero). ;)

( §

] ☐

[ an

az

A- _ .

ai . ;]

µ

A ]

A. [

B- aaaa an =

'

-

_ in ambu

36 +

t

9161+926 a

+ . . .

}

,

=

Proprietà del prodotto matrice-matrice:

1) A(B+C) = AB+AC

(A+B)C = AC+AB

2) Se ho k c

I

E

K(AB) = (KA) B = (KB) A

3) A(BC) = (AB)C

4) Se A è di dimensione n x m:

A Im = Im A = A

T

T

T

5) (AB) = B A

.

H

H H

6) (AB) = B A invertibile

. )

Un )

¢

(

-1 1

? e

(

- A

7) (AB) = B A

- ☐ ,

,

esercizio : +

'

A Mn(c) Hermitiana (A=A )

e

B= A +4i Im invertibile

'

che B e .

Dimostrare

Utilizziamo il fatto che B è invertibile se e solo se ogni autovalore di B è =0 -

Abbiamo visto che gli autovalori di B sono della forma +4i, dove è

t

t

autovalore di A - !

Ma A è Hermitiana quindi i sono reali

t

/

Imiti 4

i =

Ma un numero c con parte immaginaria uguale a 4 non può essere nullo.

Quindi B ha tutti gli autovalori =0. Quindi è INVERTIBILE.

Dimostriamo che gli autovalori sono +4i :

a

Con Ax= x Per x=0

1 txtsix

1-

( )x=

Bx 1- ti

GII ✗ + =

+

-

_

Bettini ) ✗

=D !

di B

Hai autovalore

'

e

Ma B è una matrice n x n e quindi ha esattamente x autovalori.

Anche A ha esattamente n autovalori, quindi se scrivo +4i

"

al variare di tra gli autovalori di A ottengo TUTTI gli

✗ .hn

tu . .

.

autovalori di B .

Come misuro la “lunghezza” di un vettore?

x C

C- dire quanto ×

misura :

modi Per

3

Ci sono

Norme: Norma

k=ÈÈ o

=

☒ → Euclidea

norma

È Norma

si

/ 1

→

✗

la

/ ☒ = , infinito

Norma

I -

K

/ Max

1×1 >

=

• JEM

⇐ X ,

esempio ✗ i

: =

2=2 >

-

a

✗

⇐

( fi

) 1¥

TÈ

1×21 G

✗ =

=

haha

= di

→

fÉÈ= TI

Nik = EVE

/

ti

✗ =

☒ / 21

ti }

Ha

I /

=

a 4)

/ Fs

( 4

MI s =

Max

= ,

,

• tra

Valgono sia per i vettori colonna che per i vettori riga

Cerchi nel piano complesso: }

) I

(

lz sai c- 2

{ ¢

K -

:

e

z

=

.

K è il cerchio pieno (disco) nel piano c di centro (1+i) e raggio 2.

( )

Z

Im

a "

1

← raggio

9- 2

"

?

i ;

.

.

.

_ > Recz<