Modellistica e controllo dei sistemi elettronici di potenza

Appunti di modellistica e controllo dei sistemi elettronici di potenza

Pompeo Marino, Francesco Vasca

Maggio 2002

Copyright by Pompeo Marino, Francesco Vasca

Indice

• I Conversione alternata/continua
• Raddrizzatori non controllati
• Raddrizzatori ad una semionda
• Carico resistivo
• Carico ohmico-induttivo
• Carico generalizzato
• Carico ohmico-capacitivo
• Carico con generatore di corrente
• Ponti monofase
• Raddrizzatore a presa centrale a due vie di conduzione
• Carico generatore di corrente
• Carico generalizzato
• Carico ohmico-capacitivo
• Raddrizzatori polifase
• Raddrizzatori a presa centrale
• Valore medio della tensione sul carico
• Fattore di potenza
• Commutazione reale
• Analisi spettrale delle correnti alternate
• Ponti trifase
• Carico generatore di corrente
• Carico ohmico-capacitivo
• Carico generalizzato
• Ponti in serie
• Ponti in parallelo
• Esercizi
• Raddrizzatori con controllo di fase
• Configurazioni monofase
• Raddrizzatore ad una semionda con carico resistivo
• Raddrizzatore a ponte
• Limiti di inversione
• Configurazioni trifase
• Controllore di fase
• Caratteristiche sul lato continua
• Esercizi
• Raddrizzatori a quattro quadranti
• Modelli trasformati
• Il raddrizzatore boost
• Esercizi

Introduzione

Elenco dei simboli

• A: matrice dinamica dei modelli nello spazio di stato
• B: matrice degli ingressi dei modelli nello spazio di stato
• Capacità
• C: diodo
• D: forza controelettromotrice
• E: ampiezza tensione continua
• I: corrente di alimentazione sinusoidale monofase e prima fase di quella trifase
• i_a: corrente seconda fase dell'alimentazione trifase
• i_b: corrente terza fase dell'alimentazione trifase
• i_c: corrente nel carico DC
• i_d: ampiezza corrente
• I_a: corrente di corto circuito
• I_c: generatore di corrente continua, valore medio corrente nel carico
• I_d: fattore di distorsione
• k_d: fattore di potenza
• k_p: fattore di potenza al primario
• k_pp: fattore di potenza al secondario
• k_ps: fattore di sfasamento
• L: induttanza
• L_c: numero di vie di conduzione
• P: valore medio potenza sul lato continua
• P_d: potenza di dimensionamento del trasformatore
• P_dim: funzioni di switching
• R: resistenza
• S: interruttore controllato (SCR, BJT, MOSFET)
• T: tempo
• ω: angolo di commutazione reale
• u: vettore degli ingressi per modelli nello spazio di stato
• THD: Total Harmonic Distortion
• v_a: tensione di alimentazione sinusoidale monofase e prima fase di quella trifase
• v_b: seconda fase dell'alimentazione trifase
• v_c: terza fase dell'alimentazione trifase
• v_d: tensione sul carico sul lato continua, componente diretta di tensione bifase
• v_D: tensioni ai capi dei diodi
• v_q: componente in quadratura di tensione bifase
• V_a: ampiezza tensione alimentazione monofase sinusoidale
• V_d: valore medio tensione sul lato DC
• V_sx: ampiezza tensioni di alimentazioni trifase

Parte I: Conversione alternata/continua

Capitolo 1: Raddrizzatori non controllati

I convertitori alternata/continua sono dei convertitori che consentono di trasformare una fonte di energia elettrica di tipo alternata in una di tipo continua da applicare ad un carico (vedi Figura 1.1). Bisogna notare che i raddrizzatori non producono una tensione continua in senso matematico, in quanto la tensione di uscita di un raddrizzatore è costituita da una componente continua cui sono sovrapposte componenti alternate. Tali componenti, in particolare, producono delle fluttuazioni che vanno sotto il nome di "ripple". Per eliminare tale ripple si rende spesso necessario l'uso di filtri opportunamente dimensionati.

Figura 1.1: Schema a blocchi di un generico raddrizzatore non controllato: v_a è la tensione di alimentazione, v_d la tensione sul carico, e i_d la corrente nel carico.

Anche se esistono diversi tipi di raddrizzatori, i principi di funzionamento della conversione alternata/continua sono pressoché indipendenti dalla topologia di raddrizzatore. In questo capitolo presenteremo i concetti base della conversione alternata/continua considerando innanzitutto una semplice topologia di raddrizzatore monofase: mediante tale esempio analizzeremo il comportamento del raddrizzatore in presenza di diversi tipi di carico e calcoleremo alcuni parametri fondamentali nella conversione alternata/continua.

Successivamente considereremo le topologie di raddrizzatori a ponte monofase, tipicamente impiegati per utenze di potenze medio-basse, fino a circa 10 kW (circuiti elettronici di misura e controllo, alimentatori per computers e processi elettrochimici, sistemi di ricerca delle batterie, azionamenti elettrici di piccola potenza). In presenza di utenze corrispondenti a potenze più elevate (una tipica applicazione è la produzione e distribuzione dell'energia elettrica) bisogna impiegare un'alimentazione trifase. Con riferimento a tale alimentazione considereremo innanzitutto i raddrizzatori polifase a presa centrale che, pur non avendo un pratico impiego, consentono di introdurre in maniera semplice le strutture a ponte trifase e le connessioni di ponti.

Per analizzare il comportamento dinamico dei raddrizzatori uno strumento fondamentale è la simulazione. Presupposto della simulazione è ovviamente un modello del circuito che si intende analizzare. A tale fine, sempre assumendo i diodi come interruttori ideali, i circuiti con raddrizzatori possono essere modellati come sistemi stazionari a tratti: a ciascuna configurazione del raddrizzatore viene associato un modello lineare e tempo-invariante dell'intero circuito e la commutazione tra i diversi modelli viene determinata dalla commutazione di uno o più diodi. Seguendo questo approccio, nel capitolo saranno presentati i modelli dinamici dei raddrizzatori con diversi tipi di carico ed alcuni risultati di simulazione ottenuti con l'ausilio del programma MATLAB (The MathWorks) e dei suoi tools Simulink e Stateflow.

Le topologie di raddrizzatori presentate in questo capitolo non consentono di regolare il valore medio della tensione sul carico, che, al contrario, in alcuni casi dipende addirittura dal carico stesso (in Figura 1.1 è evidenziata la retroazione della corrente). Per ovviare a questa limitazione è possibile impiegare i raddrizzatori controllati; l'analisi di tali convertitori sarà oggetto del prossimo capitolo.

Raddrizzatori ad una semionda

Carico resistivo

La Figura 1.2 mostra il raddrizzatore ad una via di conduzione con carico puramente resistivo. Dallo schema circuitale risulta evidente che il percorso della corrente dall'alimentazione al carico è unico (solo attraverso il diodo) e quindi il raddrizzatore viene detto "ad una via di conduzione", a causa della forma d'onda della tensione che si ottiene sul carico, raddrizzatore "ad una semionda".

Principio di funzionamento

Consideriamo una tensione di alimentazione di tipo sinusoidale:

v_a(t) = V_asin(ωt)

dove ω è la pulsazione di alimentazione (misurata in radianti al secondo), T è il corrispondente periodo e t il tempo. Poiché nell'analisi dei raddrizzatori non controllati assumeremo la frequenza di alimentazione costante, è spesso utile indicare la (1.1) nella forma:

v_a(t) = V_asin(θ)

ponendo cioè θ = ωt. Analizziamo ora il funzionamento del convertitore. La Figura 1.3 riporta gli andamenti di tensione e corrente nel carico e la tensione ai capi del diodo. Applicando il secondo principio di Kirchhoff, per ogni t, vale la relazione:

v_a(t) = v_D(t) + v_d(t)

dove con v_D(t) e v_d(t) si sono indicate rispettivamente la tensione tra catodo ed anodo del diodo e quella sul carico. Assumiamo il diodo ideale (vedi Appendice). Supponendo i_d(0) = 0 ed essendo la tensione sul carico v_d(t) = i_d(t)R, dalla (1.3) si ricava che v_D(0) = v_a(0). Per t > 0, poiché la tensione di alimentazione diventa positiva, il diodo si polarizza direttamente ed entra in conduzione consentendo il passaggio della corrente. In questa fase, cioè per 0 ≤ θ ≤ π (o, equivalentemente, per 0 ≤ t ≤ T/2), il diodo è come un corto circuito per cui la corrente nel carico risulta i_d(t) = v_a(t)/R. Per θ = π la corrente si annulla e la presenza del diodo, che è dispositivo unipolare in corrente, non consente che la corrente diventi negativa. Il diodo quindi si contropolarizza e tale resta per π ≤ θ ≤ 2π, rendendo nulle, in tale intervallo angolare, sia i_d(t) che v_d(t). Appena θ diventa maggiore di 2π ricomincia il comportamento del circuito fin qui descritto.

Valore medio di tensione sul carico

Uno dei parametri caratteristici di un raddrizzatore è il valore medio della tensione, valore medio che indicheremo con V_d. Nel caso del raddrizzatore ad una semionda, essendo la tensione sul carico nulla nel secondo semiperiodo, si ha:

Figura 1.3: Tensione e corrente sul carico e tensione sul diodo per il raddrizzatore ad una via di conduzione con carico resistivo.

V_d = (1/T) ∫[0, π] V_asin(θ) dθ = V_a/π

Quindi il valore medio della tensione sul carico risulta proporzionale al valore di picco della tensione di alimentazione secondo il coefficiente 1/π. Il fatto che V_d e V_a siano tra loro proporzionali è una caratteristica comune alle diverse topologie di convertitori ac/dc, mentre ciò che li differisce è il coefficiente di proporzionalità. Come vedremo nel prossimo capitolo, mediante il controllo di fase è possibile variare direttamente tale coefficiente di proporzionalità, consentendo quindi la regolazione del valore medio della tensione sul carico.

Fattore di potenza

Tra i parametri caratteristici di un raddrizzatore, di particolare interesse è, relativamente al lato alternata, il "fattore di potenza". Definiamo fattore di potenza a due morsetti il rapporto tra il valore medio della potenza ai morsetti e la potenza apparente ai morsetti stessi, ottenuta come prodotto dei valori efficaci di tensione e corrente ai morsetti. Scegliendo ad esempio come morsetti quelli di un'alimentazione v_a(t) con corrente i_a(t) il fattore di potenza può essere espresso come:

k_p = (1/2) ∫[0, 2π] v_a(t) i_a(t) dt / V_a I_a

dove l'apice "rms" indica i valori efficaci (in inglese root-mean-square) delle corrispondenti grandezze:

V_arms = (1/T) ∫[0, T] v_a²(t) dt

I_arms = (1/T) ∫[0, T] i_a²(t) dt

Il fattore di potenza è di notevole importanza per l'analisi dei raddrizzatori in quanto fornisce una misura di come la potenza disponibile (la potenza apparente) sia stata impiegata (la potenza media). Come vedremo tra poco, il fattore di potenza è sempre compreso tra 0 ed 1, ciò significa che un convertitore ac/dc utilizzerà tanto meglio la potenza disponibile quanto più il fattore di potenza è prossimo ad uno.

Riguardo all'uso del fattore di potenza nel caso di circuiti dell'elettronica di potenza, vanno fatte alcune considerazioni. In particolare, nel caso dei raddrizzatori, mentre le tensioni di alimentazione possono essere con buona approssimazione assunte sinusoidali, non altrettanto lo sono le correnti, così come già visto nel caso del raddrizzatore ad una semionda con carico resistivo in cui i_a(t) = i_d(t). Volendo però esaminare caratteristiche di regime, possiamo comunque supporre la corrente periodica e quindi assumere la tensione sinusoidale e la corrente espressa secondo la sua espansione in serie di Fourier (ovviamente la corrente sarà periodica dello stesso periodo dell'alimentazione):

i_a(t) = I₀ + Σ[n=1, ∞] I_nsin(nωt + φ_n)

dove I₀ è il valore medio della corrente nel periodo e le espressioni delle ampiezze e fasi delle armoniche delle correnti sono riportate in Appendice. Utilizzando la (1.2) e la (1.8) si ottiene la seguente espressione della potenza media:

P_av = (1/2) V_aI₁cos(φ₁)

dove φ₁ è lo sfasamento tra la prima armonica di corrente e la tensione e si è usata la relazione:

sin(φ₁) = ∫ sin x dx = -cos x + C

Sostituendo quest'ultima relazione nella (1.5) si ottiene:

k_p = (I_arms/I_1rms) cos φ₁

Quest'ultima relazione può essere riscritta come:

k_p = k_d k_φ

dove k_d si dice fattore di distorsione e k_φ = cos φ₁ fattore di sfasamento.

Il primo coefficiente tiene in conto la distorsione della forma d'onda di corrente rispetto ad un andamento ideale di tipo sinusoidale, mentre il secondo porta in conto lo sfasamento tra tensione e prima armonica di corrente. Si noti che se tensione e prima armonica di corrente sono in fase, il fattore di potenza sarà solo il fattore di distorsione (Esercizio 1). Dalla definizione del fattore di distorsione e del fattore di sfasamento risulta evidente che entrambi sono minori o uguali ad uno, rendendo quindi anche il fattore di potenza compreso tra zero ed uno.

Per evidenziare la distorsione della forma d'onda di corrente, invece del fattore di distorsione viene a volte impiegato il coefficiente di distorsione armonica totale (Total Harmonic Distortion, THD) definito come:

THD = √[Σ(I_an)²]/I_a1

Dalla definizione del fattore di distorsione si ricava:

k_d = 1/√(1 + THD²)

o reciprocamente:

THD = √(1/k_d² - 1)

Carico ohmico-induttivo

Consideriamo ora il caso di carico costituito dalla serie di una resistenza e di un'induttanza. Lo schema del circuito è riportato in Figura 1.4.

Figura 1.4: Raddrizzatore ad una semionda con carico ohmico-induttivo.

Principio di funzionamento

Applicando il secondo principio di Kirchhoff al circuito in Figura 1.4 si ha:

v_a = v_D + v_d = Ri_d + L di_d/dt

o, equivalentemente, essendo θ = ωt e quindi dθ/dt = ω:

v_a = v_D + v_d = Ri_d + ωL di_d/dθ

Le forme d'onda di tensione e corrente nel carico sono riportate in Figura 1.5. Per giustificare gli andamenti ripercorriamo le stesse considerazioni fatte nel caso di carico resistivo. Supponendo i_d(0) = 0, si ha v_D(0) = v_a(0), e poiché la tensione v_a sarà positiva per 0 ≤ θ ≤ π, per t > 0 il diodo si polarizza direttamente, entra in conduzione e la corrente segue il tipico transitorio in un circuito ohmico-induttivo con alimentazione sinusoidale (avendo supposto il diodo ideale, quando questo è in conduzione si ha v_D = 0). La soluzione della (1.15) per i_d(0) = 0 risulta (vedi Appendice):

i_d(t) = (V_a/√(R² + (ωL)²)) sin(θ - φ) + I_p e^{-R/ωL θ}

dove:

I_p = V_a/√(R² + (ωL)²)

φ = tan^-1(ωL/R)

Figura 1.5: Tensione e corrente sul carico per il raddrizzatore ad una via di conduzione con carico ohmico-induttivo.