Modelli matematici per l'ambiente - dinamica del tonno rosso

Questo modello si basa sui seguenti presupposti:

1. La popolazione di tonno cresce logisticamente.

2. Le nascite e le morti avvengono solo per cause naturali e rimangono costanti nel

tempo.

3. La popolazione è isolata e non ci sono né immigrazioni né emigrazioni.

4. Non c'è la presenza dell'uomo.

L'equazione differenziale che rappresenta questo modello è la seguente:

dove:

P' è il numero di individui in funzione del tempo

t è il tempo

N è la natalità o tasso di natalità

M è la mortalità o tasso di mortalità

a è il tasso di crescita della popolazione

Quindi l'equazione differenziale che rappresenta la crescita di una popolazione nel

“La Legge di Malthus”:

caso più semplice è

Da questa formula otteniamo il seguente sistema:

dal quale, analizzando il comportamento di “a”, possiamo prevedere l'andamento della

popolazioni di tonni.

Osservazioni:

Il Grafico 1) mostra la possibilità che la popolazione si estingua poiché la curva tende a

zero, in quanto le morti sono superiori alle nascite.

Il Grafico 2) non mostra alcuna variazione dell'andamento della curva, poiché nascite e

morti si eguagliano.

Il Grafico 3) mostra una crescita esponenziale, in quanto le nascite sono superiori alle

morti; tuttavia esso descrive un evento che nella realtà non si verifica, poiché come ben

si sa, la popolazione cresce fino ad un determinato valore soglia, (ovvero la capacità

portante di quell'ecosistema).

Di conseguenza è necessario riformulare le ipotesi fino ad ottenere un'equazione simile

a questa:

Da qui si procede applicando lo studio di una funzione, ottenendo di conseguenza il

seguente grafico, che sarà quello definitivo e che dimostra come una popolazione,

isolata con nascite superiori alle morti possa svilupparsi in un determinato ambiente.

(Grafico 4)

Modello 1b: “Crescita logistica senza la presenza della pesca

(popolazione non isolata)”

I tonni per potersi riprodurre percorrono ogni anno centinaia di km per passare

dall'oceano Atlantico al mar Mediterraneo e viceversa. Naturalmente questo comporta

una variazione tra la popolazione di partenza e quella di arrivo; questo può avvenire a

causa di predatori, di malattie, di smarrimento del proprio gruppo durante il viaggio,

di immigrazioni ed emigrazioni.

In questo modello si considerano solo immigrazioni ed emigrazioni e si basa sui

seguenti presupposti:

1. La popolazione di tonno cresce logisticamente.

Le nascite e le morti avvengono solo per cause naturali e rimangono costanti nel

2. tempo.

La popolazione non è isolata e ci sono immigrazioni ed emigrazioni.

3.

4. Non c'è la presenza dell'uomo.

L'Equazione differenziale che rappresenta questo caso è la seguente e viene chiamata

“Equazione di Riccati”, che è un'equazione di Bernoulli con la presenza di due

costanti I e E:

dove:

I è il tasso di immigrazione.

E è il tasso di emigrazione.

Se “I” ed “E” rimangono costanti nel tempo, l'andamento della popolazione resterà

sempre costante intorno al valore soglia. (Grafico 5)

In caso contrario si avranno risultati irregolari. (Grafico 6)

Modello 1c: “Crescita logistica di tonno senza struttura per età”

Questo modello si basa sui seguenti presupposti:

1. La popolazione di tonno cresce logisticamente.

2. C'è solo una fascia di età di tonno.

3. Il numero di pescatori è costante.

4. Il numero di pesci rimosso da pesca è proporzionale alla dimensione della

popolazione del tonno

Pertanto, la variazione della popolazione di tonno rosso dell'Atlantico occidentale può

essere rappresentato dall'equazione differenziale:

dove:

F è la dimensione della popolazione ittica

t è il tempo in anni dopo il 1970

r è il tasso di crescita della popolazione

K è la capacità di carico ambientale

b è il tasso di pesca

I valori stimati e le unità di misura per questi parametri sono riportati nella Tabella 1.

Parametro Valore Stimato Unità Fonte

Reynolds e Jennings,

r 1.13 Tonno all'anno 2000

K 1200000 tonno totale Reynolds e Jennings,

b 0.2329 tonno pescato/tonno tot 2000

/anno Portico, 2005

Tabella 1: I valori dei parametri elencati di seguito sono stati utilizzati nelle equazioni (1)­(3)

per determinare la dinamica della popolazione del tonno.

Il valore di r ipotizzato può essere lo stesso di quello per il merluzzo del Nord (Reynolds e

Jennings, 2000). Molte altre popolazioni hanno infatti mostrato risposte simili alla pesca

durante l'intervallo 1970­2000 e hanno simili storie di vita. Pertanto, nell'assenza di dati

effettivi sul valore r per il tonno, il tasso di crescita della popolazione di merluzzo del Nord

dovrebbe essere un adeguato sostituto.

Modello 2: “ Struttura per età delle popolazioni di tonno”

Mentre il modello precedentemente descritto fornisce una prima stima degli effetti

della pesca sulle popolazioni di tonno, le analisi della struttura per età possono

svolgere un ruolo importante nel determinare la suscettibilità del tonno rosso

dell'Atlantico occidentale a pesca eccessiva a causa della ritardata maturità sessuale.

Pertanto, il prossimo modello impiega tre equazioni differenziali accoppiate per tenere

conto di struttura d'età. Per questo modello valgono le seguenti ipotesi:

(J) (A)

1. Le tre classi di età sono i giovani (anni 1­2), adolescenti (anni 3­7), e

(M)

adulti maturi (anni 8 +).

2. Queste classi di età hanno ciascuno specifico tasso di mortalità naturale, di

pesca, riproduttivo e di crescita. Si noti che i tassi riproduttivi per i giovani e

gli adolescenti sono entrambi pari a zero.

3. Pesci che vengono catturati e poi rilasciati sopravvivono. Pertanto, tutti i pesci

che sono catturati in eccesso al di là delle quote viene rigettato in mare e tutti

sopravvivono.

4. Nessun novellame sarà raccolto a causa della moratoria sulla pesca raccolta

sotto 6,4 kg, che corrisponde a un'età di circa 2 anni (Portico, 2005).

All'interno di ogni classe di età, i tonni hanno una distribuzione uniforme di età.

5. Così, in un dato anno, il numero di pesci che passano alla classe di età

successiva sarà proporzionale sia al numero di pesci in quella classe di età sia

inversamente proporzionale al numero di anni che ci vuole per un individuo a

crescere fuori da quella fase.

6. Il numero di pescatori è costante.

Utilizzando questi presupposti, le seguenti tre equazioni differenziali rappresentano la

crescita

(o declino) delle popolazioni di tonno:

dove:

a è il tasso di riproduzione,

mi è lo specifico tasso di mortalità naturale per classe d'età i,

hi è il tasso specifico età raccolto per classe d'età i,

J, A e M sono rispettivamente le dimensioni delle tre classi di età giovane, adolescente

e maturo.

Le stime per questi parametri sono forniti di seguito in Tabella 2.