Microeconomia, prof. Valsecchi

ALCUNI TIPI DI FUNZIONI DI LUNGO PERIODO:

• FUNZIONE DI PRODUZIONE COBB-DOUGLAS

f(Z, Z) = Z^a Z^b (a, b > 0)

Ottimo di prod.: |MRTS| = w / w (inclinazione isoquanto = inclinazione isocosto)

|MRTS| = MP_Z / MP_Z = aZ^a-1 Z^b / bZ^a Z^b-1 -> (a/b)(Z_Z/Z_Z) = w / w

1/a-1 2/b 1/a 2/b

-1 1 2 2 1 1 2

-> Z = (b/a)(w / w )Z (sentiero di espansione dell'output, semiretta dall'origine)

2 1 2 1

y = Z ((b/a)(w / w )Z ) = (b/a)(w / w ) Z -> Z = (a/b)(w / w ) y

1/a b b 1/a+b b/(a+b) 1/(a+b)

1 2 1 1 2 1 1 2

LTC(y) = wZ + w(b/a)(w / w )Z = ((a+b)/a)wZ = 1 1 2 1 2 1 1 1

= ((a+b)/a)w(a/b)(w / w )y = (a+b)(w /a)(w /b)y

b/(a+b) 1/(a+b) a/(a+b) b/(a+b) 1/(a+b)

1 1 2 1 2

LMC(y) = δLTC/δy = (a+b)(w /a)(w /b)((1/(a+b))y)a/(a+b) b/(a+b) (1-a-b)/(a+b)

1 2

LAC(y) = LTC/y = (a+b)(w /a)(w /b)y

a/(a+b) b/(a+b) (1-a-b)/(a+b)

1 2

• SOSTITUTI PERFETTI

y(·) = aZ + bZ (isoquanti sono semirette negativamente inclinate)

|MRTS| = MP_Z / MP_Z = a/b (inclinazione isoquanti)

Caso 1: |MRTS| > w / w (isocosti più piatti)

1. Z ≥ 0
2. Z = 01 2 1 2
3. Sentiero di espansione dell'output è il semiasse positivo delle ascisse y=aZ -> Z =y/a -> LTC(y) = w (y/a) lineare, CRS perché omogenea di grado 1
4. LMC(y)=w /a = LAC(y)1
5. Caso 2: |MRTS|< w /w Z =0 Z ≥ 01 2 1 2
6. Sentiero di espansione dell'output è il semiasse positivo delle ordinate y=bZ -> Z =y/b -> LTC(y) = w (y/b)2 2 2
7. LMC(y)=w /b = LAC(y)2
8. isoquanti• COMPLEMENTI PERFETTI (funzione di produzione Leontief) y(·)= MIN{aZ ,bZ } -> rapporto fisso: aZ =bZ -> Z =(a/b)Z1 2 1 2 2 1
9. Sentiero di espansione dell'output y = aZ -> Z =y/a1 1
10. LTC(y)= w Z + w (a/b)Z = ((w b+w a)/b)Z =1 1 2 1 1 2 1= ((bw +aw )/b)*(y/a) semiretta dall'origine1 2
11. funzione di produzione omogenea di grado 1, CRS
12. LMC(y)=LAC(y) = ((bw1+aw2)/(ab))
13. CURVA DI OFFERTA DELLA SINGOLA IMPRESA NEL LUNGO PERIODO
14. MAX π(y)= TR(y)-LTC(y)
15. y = δTR(y)/δy = δLTC(y)/δy -> MR(y)=LMC(y) -> p=LMC(y)
16. Ottimo output nel

Caso in cui si produce tratto concavo della funzione di profitto -> tratto non decrescente di LMC(y)

Nel caso in cui non si produce (y=0), tutti gli input sono variabili quindi si sostengono LTC=0 -> l'impresa si troverà sempre ad operare in una situazione in cui p = LMC(y) ≥ LAC(y) -> perché p=MR=AR