Microeconomia, prof. Valsecchi

Alcuni tipi di funzioni di lungo periodo

Funzione di produzione Cobb-Douglas

f(Z₁, Z₂) = Z₁^a Z₂^b, a, b > 0

Ottimo di produzione: |MRTS| = w₁/w₂ (inclinazione isoquanto = inclinazione isocosto)

|MRTS| = MP₁/MP₂ = aZ₁^a-1 Z₂^b/bZ₁^a Z₂^b-1 -> (a/b)(Z₁/Z₂)=w₁/w₂

Z₂ = (b/a)(w₁/w₂)Z₁ (sentiero di espansione dell'output, semiretta dall'origine)

y = Z₁^a ((b/a)(w₁/w₂)Z₁)^b = (b/a)(w₁/w₂)^b Z₁^a+b

Z₁ = (a/b)(w₂/w₁) y^b/(a+b)

LTC(y) = w₁ Z₁ + w₂ (b/a)(w₁/w₂)Z₁ = ((a+b)/a)w₁ Z₁

= ((a+b)/a)w₁ (a/b)(w₂/w₁) y^b/(a+b) = (a+b)(w₁/a) (w₂/b) y^b/(a+b)

LMC(y) = δLTC/δy = (a+b)(w₁/a) (w₂/b) ((1/(a+b))y)^a/(a+b) b/(a+b)

LAC(y) = LTC/y = (a+b)(w₁/a) (w₂/b) y^a/(a+b) b/(a+b)

Sostituti perfetti

y(·) = aZ₁ + bZ₂ (isoquanti sono semirette negativamente inclinate)

|MRTS| = MP₁/MP₂ = a/b (inclinazione isoquanti)

Caso 1: |MRTS| > w₁/w₂ (isocosti più piatti) -> Z₁ ≥ 0, Z₂ = 0

Sentiero di espansione dell'output è il semiasse positivo delle ascisse

y = aZ₁ -> Z₁ = y/a -> LTC(y) = w₁ (y/a) lineare, CRS perché omogenea di grado 1

LMC(y) = w₁/a = LAC(y)

Caso 2: |MRTS| < w₁/w₂, Z₁ = 0, Z₂ ≥ 0

Sentiero di espansione dell'output è il semiasse positivo delle ordinate

y = bZ₂ -> Z₂ = y/b -> LTC(y) = w₂(y/b)

LMC(y) = w₂/b = LAC(y)

Complementi perfetti (funzione di produzione Leontief)

y(·) = MIN{aZ₁, bZ₂} -> rapporto fisso: aZ₁ = bZ₂ -> Z₂ = (a/b)Z₁

Sentiero di espansione dell'output

y = aZ₁ -> Z₁ = y/a

LTC(y) = w₁ Z₁ + w₂ (a/b)Z₁ = ((w₂b + w₁a)/b)Z₁

= ((bw₁ + aw₂)/b)*(y/a) semiretta dall'origine

Funzione di produzione omogenea di grado 1, CRS

LMC(y) = LAC(y) = ((bw₁ + aw₂)/(ab))

Curva di offerta della singola impresa nel lungo periodo

MAX π(y) = TR(y) - LTC(y)

y = δTR(y)/δy = δLTC(y)/δy -> MR(y) = LMC(y) -> p = LMC(y)

Ottimo output nel caso in cui si produca

Tratto concavo della funzione di profitto -> tratto non decrescente di LMC(y)

Nel caso in cui non si produce (y = 0), tutti gli input sono variabili quindi si sostengono LTC = 0 -> l'impresa si troverà sempre ad operare in una situazione in cui p = LMC(y) ≥ LAC(y) -> perché p = MR = AR