Microeconomia, prof. Stefano Colombo

G B* B* B* B*

!

Quindi prenderà il contratto disegnato per il tipo cattivo. Ne consegue che tutti quanti scelgono il contratto disegnato per il tipo B e allora per il principale le

cose non vanno più bene perché quei contratti {(w , e ); (w , e )} erano ottimali nella misura in cui il tipo G prendeva G ed il tipo B prendeva B. Quei contratti

G* G* B* B*

sono ottimali con informazione simmetrica ma qui non posso riproporli perché mi troverei in una situazione in cui tutti scelgono un tipo di contratto.

!

Il principale deve quindi pensare a un diverso menù di contratti {(w , e ); (w , e )} tale che B scelga il contratto B e G scelga il contratto G. É ottimale per il

G G B B

principale strutturare un menù di contratti tale che ognuno scelga il suo tipo, perché alla base vi è il “principio di rivelazione”. Il principio di rivelazione dice che

se esiste un meccanismo qualsiasi che permette di riprodurre il risultato della funzione di scelta sociale (funzione che associa alle caratteristiche di coloro che

compongono una certa società un determinato risultato), allora quel meccanismo è replicabile tramite un meccanismo per cui ognuno rivela direttamente il suo

tipo. Questo spiega in estrema sintesi perché il principale può concentrarsi soltanto su quei contratti in corrispondenza dei quali ognuno effettivamente prende

il suo tipo, perché il risultato che otterrei con qualsiasi altro meccanismo lo posso replicare con un meccanismo per cui il tipo B dice di essere tipo B ed il tipo G

dice di essere tipo G. Se non ci fosse il principio di rivelazione, non potrei mai trovare il meccanismo ottimale per il principale quando non conosce chi ha di

fronte. Dunque il problema del principale è il seguente, supponiamo che il principale conosca la probabilità che il soggetto sia di un tipo o dell’altro:

Pagina 21 di 64

!

q = probabilità che il soggetto sia del tipo G

(1 - q) = probabilità che il soggetto sia del tipo B

!

max q[π(e ) - w ] + (1 - q)[π(e ) - w ]

G G B B

[(w , e ); (w , e )]

G G B B

!

s.v.

!

PC : u(w ) - v(e ) ≥ u

G G G

PC : u(w ) - kv(e ) ≥ u

B B B

!

ICC : u(w ) - v(e ) > u(w ) - v(e )

G G G B B

ICC : u(w ) - kv(e ) > u(w ) - kv(e )

B B B G G

!

Si può notare che il vincolo di partecipazione PC è automaticamente soddisfatto quando sono soddisfatti il secondo ed il terzo vincolo PC e ICC , perché:

G B G

!

u(w ) - v(e ) ≥ u(w ) - v(e ) > u(w ) - kv(e ) ≥ u

G G B B B B

u(w ) - v(e ) ≥ u

G G

!

Quindi il problema originario che è un problema di massimizzazione sotto quattro vincoli si riduce ad un problema di massimizzazione sotto tre vincoli. Togliamo

il primo vincolo nel senso che ai fini della massimizzazione possiamo trascuralo però è implicito nel problema. Un altro secondo risultato preliminare è che in

corrispondenza del contratto ottimale lo sforzo richiesto al tipo buono dev’essere più alto rispetto allo sforzo richiesto al tipo cattivo:

!

e ≥ e

G B

!

Consideriamo i due vincoli di compatibilità degli incentivi ICC e ICC :

G B

!

v(e ) - v(e ) ≤ u(w ) - u(w ) ≤ k[v(e ) - v(e )]

G B G B G B

v(e ) - v(e ) ≤ k[v(e ) - v(e )]

G B G B

!

Il termine v(e ) - v(e ) ≤ u(w ) - u(w ) è semplicemente il vincolo di compatibilità degli incentivi del tipo buono riaggiustato. A questo ci colleghiamo direttamente

G B G B

al vincolo di compatibilità degli incentivi del tipo cattivo: u(w ) - u(w ) ≤ k[v(e ) - v(e )]. Quindi confrontando il primo termine con l’ultimo termine ottengo che

G B G B →

v(e ) - v(e ) ≤ k[v(e ) - v(e )]. Siccome k > 1 e v è crescente in e, affinché sta roba sia soddisfatta devo avere che v(e ) - v(e ) > 0 quindi v(e ) > v(e ) e ≥ e

G B G B G B G B G B

Quindi come secondo risultato che utilizzeremo più avanti abbiamo che il vincolo di compatibilità degli incentivi del tipo buono G ed il vincolo di compatibilità

degli incentivi del tipo cattivo B, se soddisfatti, insieme implicano che e sia maggiore uguale di e .

G B

!

Scriviamo il lagrangiano:

!

L = q[π(e ) - w ] + (1 - q)[π(e ) - w ] + λ [u(w ) - kv(e ) - u] + μ [u(w ) - v(e ) - u(w ) + v(e )] + ∂ [u(w ) - kv(e ) - u(w ) + kv(e )]

G G B B B B G G B B B B G G Pagina 22 di 64

!

F.O.C.s.:

!

∂L/∂w = -q + μ u’(w ) - ∂ u’(w ) = 0 divido per u’(w ) -q/u’(w ) + μ - ∂ = 0

G G G G G

1

μ - ∂ = q/u’(w )

G

!

∂L/∂w = -(1 - q) + λ u’(w ) - μ u’(w ) + ∂ u’(w ) = 0 divido per u’(w ) -(1 - q)/u’(w ) + λ - μ + ∂ = 0

B B B B B B

2

λ - μ + ∂ = (1 - q)/ u’(w )

B

!

∂L/∂e = q π’(e ) - μ v’(e ) + ∂ kv’(e ) = 0 divido per v’(e ) q π’(e )/v’(e ) - μ + ∂k = 0

G G G G G G G

3

μ - ∂k = q π’(e )/v’(e )

G G

!

∂L/∂e = (1 - q) π’(e ) - λ kv’(e ) + μ v’(e ) - ∂k v’(e ) = 0 divido per v’(e ) (1 - q) π’(e )/v’(e ) - λk + μ - ∂k = 0

B B B B B B B B

4

λk - μ + ∂k = (1 - q) π’(e ) /v’(e )

B B

!

Queste sono le quattro condizioni del prim’ordine, che adesso dovremo usare con un po’ di ingegno al fine di risolvere il nostro problema di massimizzazione. In

sostanza il problema di massimizzazione consiste nel trovare w , w , e , e ottimali, cioè trovare il menù di contratti ottimali. Cominciamo a guardare la prima e

G B G B

la seconda condizione, se faccio la somma 1+2 i termini μ e ∂ se ne vanno e ottengo:

! →

5 7

λ = q/u’(w ) + (1 - q)/u’(w ) > 0 u(w ) - kv(e ) = u

G B B B

!

La condizione 5 che si ottiene è sicuramente > 0 perché sono tutti termini positivi: importante perché mi dice che in corrispondenza del menù di contratti

ottimali il vincolo di partecipazione PC è stringente. Essendo λ > 0 ho che u(w ) - kv(e ) = u. Se faccio la somma 3+4 i termini μ e ∂k se ne vanno e ottengo:

B B B

! 6

λk = qπ’(e )/v’(e ) + (1 - q) π’(e ) /v’(e )

G G B B

!

Anche questa, esattamente come quella vista sopra mi dice che λ > 0. Quindi per ora abbiamo trovato che λ > 0, cioè che il vincolo di partecipazione del tipo B

è stringente. Ricordate che prima avevamo trovato che il vincolo di partecipazione del tipo G non è stringente e quindi questo mi dice che l’utilità del tipo B in

corrispondenza del menù ottimo è pari all’utilità di riserva.

!

Consideriamo ora i moltiplicatori μ e ∂:

→

• possiamo avere μ > 0 oppure μ = 0 μ non può essere = 0 per la prima condizione μ - ∂ = q/u’(w ) quindi μ > 0

G

!

Facciamo ora un’ulteriore passaggio. Prima avevamo dimostrato che e ≥ e questo guardando soltanto ai vincoli, adesso dimostriamo che in corrispondenza

G B

del menù di contratti ottimale dev’essere e > e . Supponiamo per assurdo che e = e . Dai vincoli di compatibilità degli incentivi dei due tipi doveva valere

G B G B

questa relazione v(e ) - v(e ) ≤ u(w ) - u(w ) ≤ k[v(e ) - v(e )], adesso se e fosse uguale ad e (se i due contratti prevedessero lo stesso livello di sforzo) allora

G B G B G B G B

anche il salario dovrebbe essere lo stesso. Se e = e = e, allora w = w = w.

G B G B

! Pagina 23 di 64

Consideriamo ora le condizioni 5 e 6:

! → →

λ = q/u’(w ) + (1 - q)/u’(w ) se w = w = w λ = 1/u’(w)

G B G B

→ →

λk = qπ’(e )/v’(e ) + (1 - q) π’(e ) /v’(e ) se e = e = e λ = π’(e)/kv’(e)

G G B B G B

!

Consideriamo ora le condizioni 1 e 3:

! → →

μ - ∂ = q/u’(w ) μ = q/u’(w) + ∂ μ = qλ + ∂ perché abbiamo trovato che λ = 1/u’(w)

G → →

μ - ∂k = q π’(e )/v’(e ) μ = qπ’(e)/v’(e) + ∂k μ = qkλ + ∂k = k (qλ + ∂) perché λ = π’(e)/kv’(e)

G G

!

Stiamo derivando tutto dalle condizioni del prim’ordine nell’ipotesi (non corretta) che e = e . Ora queste due condizioni devono essere vere simultaneamente

G B

allora abbiamo che μ = qλ + ∂ e che μ = k (qλ + ∂) ma chiaramente è impossibile in quanto k > 1 e μ > 0. Quindi abbiamo dimostrato che poiché è impossibile

che e = e , dev’essere e > e . Questo implica che i vincoli di compatibilità degli incentivi non possano essere entrambi stringenti. E ora dimostriamo il

G B G B

perché. Supponiamo per assurdo che ICC e ICC siano entrambi stringenti, vuol dire che deve valere questo sistema:

G B

!

u(w ) - v(e ) = u(w ) - v(e )

G G B B

u(w ) - kv(e ) = u(w ) - kv(e )

B B G G

!

u(w ) = u(w ) - v(e ) + v(e ) sostituisco u(w ) nel secondo vincolo

G B B G G

→ → →

u(w ) = kv(e ) + u(w ) - kv(e ) u(w ) = kv(e ) + u(w ) - v(e ) + v(e ) - kv(e ) 0 = v(e ) (1 - k) - v(e ) (1 - k) (1 - k) [v(e ) - v(e )] = 0

B B G G B B B B G G G B G B

!

Ora siccome abbiamo dimostrato che e > e il lato destro sicuramente non può essere = 0. Naturalmente (1 - k) < 0 e v(e ) - v(e ) > 0 perché e > e quindi

G B G B G B

quella relazione è impossibile e allora abbiamo dimostrato che i due vincoli non possono essere entrambi stringenti. Quindi questa cosa mi dimostra che:

!

μ > 0 μ = 0

oppure

∂ = 0 ∂ > 0

!

Ma noi già abbiamo dimostrato che μ > 0 quindi dev’essere ∂ = 0. Quindi per ora abbiamo dimostrato che:

!

- PC non è stringente

G

- PC è stringente

B

- ICC è stringente (μ > 0)

G

- ICC non è stringente (∂ = 0)

B

!

Il fatto che ICC sia stringente mi consente di scrivere quel vincolo con il segno uguale ed in particolare implica che:

G

!

u(w ) - v(e ) = u(w ) - v(e )

G G B B

! Pagina 24 di 64

Ora riscriviamo il lato destro in questo modo, immaginando di aggiungere e sottrarre kv(e ). Quindi il lato destro lo posso riscrivere così:

B

! → 8

u(w ) - v(e ) = u(w ) - v(e ) + kv(e ) - kv(e ) = u(w ) - kv(e ) + (k - 1) v(e ) = u + (k - 1) v(e ) u(w ) - v(e ) = u + (k - 1)