Microeconomia, prof. Stefano Colombo

1. TEORIA DEI CONTRATTI

! “contratto completo” = accordo che specifica, per ogni circostanza rilevante nella transazione, una prestazione a carico di un contraente ed una prestazione a

• carico dell’altro contraente. La teoria dei contratti se ne occupa soltanto in funzione di benchmark, principalmente si occupa di “contratti incompleti” cioè di

quei contratti per cui qualche circostanza non può essere perfettamente colta tra le parti nel momento in cui viene firmato il contratto. La causa principale

della incompletezza dei contratti è data dall’informazione asimmetrica, che si ha quando l’informazione non è distribuita in ugual misura tra tutti i partecipanti

alla contrattazione e può essere:

! →

informazione asimmetrica post-contrattuale situazione di asimmetria informativa che emerge dopo che il contratto è stato firmato. Una volta che il

• candidato è stato assunto dal datore di lavoro, può decidere di svolgere la propria mansione con molto impegno oppure essere lavativo. Può sorgere in

questo caso come conseguenza un problema di moral hazard, situazione per cui, dopo che è stato firmato il contratto, la parte più informata agisce per

massimizzare la propria utilità e non per svolgere ciò per cui il contratto è stato firmato. Questo problema si può risolvere attraverso l’impiego dei

cosiddetti contratti incentivanti, che legano la remunerazione della parte più informata a alcune variabili osservabili che sono collegate, almeno indirettamente,

all’azione non osservabile.

! →

informazione asimmetrica pre-contrattuale situazione di asimmetria informativa che emerge prima che il contratto sia stato firmato. Il datore di lavoro si

• trova di fronte un potenziale lavoratore ma non sa se è sveglio o meno, mentre il lavoratore lo sa. Può sorgere in questo caso come conseguenza un problema

di selezione avversa dato dal permanere sul mercato degli individui caratterizzati dalle caratteristiche peggiori. Esistono due meccanismi per affrontare un

eventuale problema di selezione avversa:

! →

1. tecniche di screening la parte meno informata cerca di estrarre l’informazione in possesso della parte più informata offrendo un menù di scelte. La parte

più informata, attraverso la scelta di un’opzione piuttosto che un’altra, rivela le proprie caratteristiche.

! →

2. meccanismi di segnalazione la parte più informata ha incentivo a rivelare le proprie informazioni alla parte meno informata. Per esempio ogni volta che voi

presentate un curriculum per farvi assumere state segnalando che tipo siete, state dando informazioni che sarebbero private alla parte meno informata

perché ovviamente avete incentivo a farlo.

!

Introduzione del modello

!

I due soggetti coinvolti nell’accordo sono principale (parte meno informata) e agente (parte più informata). É un gioco a due stadi in cui:

!

1. P propone un contratto

2. A accetta o rifiuta il contratto

!

x = valore monetario di un risultato

e = sforzo impiegato dall’agente nel compiere ciò che viene stabilito dal contratto

w = salario

u = utilità di riserva

! Pagina 1 di 64

Ogni risultato può essere visto come funzione dello sforzo e di una variabile casuale la cui distribuzione supponiamo essere conosciuta a priori allo stesso

modo da entrambe le parti. Si tratta quindi di una scelta in condizioni di incertezza, in cui il risultato della mia azione dipende non solo da ciò che faccio ma

anche da un evento casuale. Le funzioni di utilità del principale e dell’agente sono funzioni di utilità alla Von Neumann-Morgenstern. L’agente accetta il contratto

quando l’utilità che ottiene accettando il contratto è ≥ dell’utilità di riserva.

!

• funzione di utilità del principale: π(x - w)

i

• funzione di utilità dell’agente: U(w, e) = u(w) - v(e)

!

Se guardiamo alle funzioni di utilità risulta immediatamente evidente l’esistenza di un conflitto di interessi tra principale e agente. Il principale si interessa del

risultato economico x che non entra invece in alcun modo nella funzione di utilità dell’agente. Il principale vorrebbe minimizzare w, al contrario l’agente vorrebbe

massimizzare w. L’agente si preoccupa di minimizzare lo sforzo e, che al contrario dovrebbe essere massimizzato dal principale in quanto lo sforzo determina

un aumento del risultato x. É scontato perché nel momento in cui parliamo di contratti stiamo sottintendendo l’esistenza di un conflitto di interessi.

!

1a. INFORMAZIONE SIMMETRICA

!

L’unica cosa da cui potrebbe emergere l’asimmetria informativa è lo sforzo: poiché stiamo considerando un caso di informazione simmetrica stiamo dicendo

che lo sforzo è conosciuto sia dall’agente, com’è ovvio che sia, che dal principale. Il contratto prevederà un certo livello di sforzo ‘e’ e tutta un serie di

remunerazioni w che sono funzione del risultato osservato x . Il principale massimizza la propria funzione di utilità attesa rispetto allo sforzo e rispetto ai salari:

! i

max ∑ p (e) ∙ π(x - w(x ))

i =1, n i i i

!

[e; w(xi) | i = 1, … n]

s.v.

!

PC: ∑ p (e) ∙ u(w(x )) - v(e) ≥ u

! i =1, n i i

É un problema di massimizzazione vincolata, dove il vincolo, detto “vincolo di partecipazione” è costituito dal fatto che l’agente accetti il contratto. Viene svolto

in due stadi, prima il principale sceglie il livello di sforzo, poi massimizza rispetto a w. Terremo poi a mente i w che sono stati calcolati e andremo a

massimizzare rispetto allo sforzo. Quindi:

! →

- il principale massimizza rispetto ad ‘e’ trovo il livello ottimale di sforzo e* da richiedere all’agente

→

- dato e* il principale massimizza rispetto a tutti i vari w quindi rispetto a w(x ) trovo i salari ottimali w*(x ) da dare all’agente

! i i

Da un punto di vista analitico si risolve prima per w e poi si torna indietro. Quindi dato e*, calcoliamo w*(x ). Una volta trovati i w*(x ) torniamo al primo stadio e

i i

calcoliamo ‘e’. Il vincolo di partecipazione in corrispondenza del contratto ottimale dev’essere necessariamente stringente, cioè = u perché se l’utilità attesa

fosse maggiore dell’utilità di riserva il principale potrebbe offrire un salario leggermente più basso tale da indurre comunque l’agente ad accettare il contratto

ma garantendosi profitti più elevati. Per risolvere un problema di massimizzazione vincolata si utilizza la funzione lagrangiana, in cui mettiamo e* perché stiamo

calcolando il lagrangiano assumendo di aver già calcolato il livello ottimale di sforzo (dobbiamo massimizzare questa funzione rispetto ai w):

!! Pagina 2 di 64

2° stadio

!

L(w(x ), e*, λ) = ∑ p (e*) ∙ π(x - w(x )) + λ(∑ p (e*) ∙ u(w(x )) - v(e*) - u)

! i i =1, n i i i i =1, n i i

F.O.C.’s:

!

∂L(w*(x ), e*, λ*) / ∂w(x ) = - p (e*) ∙ π’(x - w*(x )) + λ* p (e*) ∙ u’(w*(x )) = 0

i i i i i i i

- π’(x - w*(x )) + λ* ∙ u’(w*(x )) = 0

i i i

λ* = π’(x - w*(x )) / u’(w*(x ))

! i i i

Essendo λ un moltiplicatore, è una costante quindi il rapporto tra le utilità marginali del principale e dell’agente è costante, non dipende da i. Questa condizione

mi dice che i saggi marginali di sostituzione dei vari soggetti che compongono l’economia devono essere identici. Nell’economia del benessere quello che

veniva richiesto come condizione di efficienza dell’economia nel suo complesso era che il saggio marginale di sostituzione di tutti i soggetti fosse identico.

Quindi come prima implicazione viene soddisfatta la condizione di efficienza. Come vedremo, con informazione asimmetrica la soluzione non sarà efficiente.

! →

Seconda implicazione: assumiamo che il principale sia neutrale al rischio. La funzione di utilità del principale diventa lineare: π(x - w) x - w quindi inserita qua

i i

dentro λ* = π’(x - w*(x )) / u’(w*(x )) implica che u’(w*(x )) sia una costante. Il fatto che l’agente sia avverso al rischio vuol dire che la funzione di utilità dell’agente

i i i i

è una funzione concava. L’inclinazione di una funzione concava è la stessa solo se siamo nello stesso punto, quindi u’(w*(x )) è uguale per qualsiasi i. Per

i

⟷

esempio: u’(w*(x )) = u’(w*(x )) w*(x ) = w*(x ) = w*. Questo equivale a dire che il salario dato all’agente dev’essere lo stesso qualunque sia il risultato. É

i j i j

ottimale per il principale offrire un contratto in cui il salario è piatto, perché il suo problema è di massimizzare la sua utilità attesa ma allo stesso tempo

convincere l’agente ad accettare il contratto. Per massimizzare la sua utilità attesa deve pagare il meno possibile l’agente. Se l’agente è avverso al rischio,

dev’essere pagato molto per accettare il rischio, quindi il principale riduce la rischiosità del contratto di fatto rendendolo non rischioso, con salario piatto. Il

principale è disposto ad assumersi tutto il rischio perché è neutrale al rischio. Questo è il risultato estremo di quando assumiamo che il principale sia

perfettamente neutrale al rischio e l’agente avverso al rischio. Le cose non cambierebbero qualora immaginassimo che il principale fosse meno avverso al

rischio dell’agente. In questo caso comunque il principale ha incentivo a sopportare più lui il rischio che non l’agente (naturalmente il quel caso non tutto il

rischio verrebbe sopportato dal principale, ma comunque il principale ha incentivo a sopportare una parte maggiore del rischio piuttosto che l’agente). Come

vedremo, questo risultato non varrà più quando abbandoniamo l’ipotesi di informazione simmetrica. Allora abbiamo visto due risultati con l’informazione

simmetrica:

!

1. il contratto è efficiente (a prescindere dal grado di avversione al rischio)

2. se ipotizziamo che il principale sia neutrale al rischio, non solo il contratto è efficiente ma è fatto in un modo particolare, cioè il principale si assume tutto il

rischio quindi il salario non dipende dal risultato (la remunerazione è uguale qualunque sia il risultato, quindi l’agente non sopporta alcun rischio)

! → → → →

∑ p (e*) ∙ u(w(x )) - v(e*) = u ∑ p (e*) ∙ u(w*) - v(e*) = u u(w*) - v(e*) = u u(w*) = v(e*) + u w* = u (v(e*) + u)

-1

!

i =1, n i i i =1, n i

Poiché il salario non dipende più dal risultato x, possiamo trovare il valore della remunerazione indipendente dal risultato utilizzando il vincolo di partecipazione.

Ora la sommatoria ∑ p (e*) = 1 perché era la somma delle probabilità che si verificassero gli eventi x e ora w non dipende più da x . Il valore del salario

i =1, n i i i

ottimale w* è l’inversa della funzione di utilità u (v(e*) + u).

-1

! Pagina 3 di 64

1° stadio

!

Ora dobbiamo fare un passo indietro. Per trovare w* avevamo ipotizzato di aver già trovato e*, quindi abbiamo tenuto fisso e*. A questo punto dobbiamo trovare

e*. Il primo stadio del problema, trovare e*, lo risolviamo mantenendo l’ipotesi che il principale sia neutrale al rischio (x - w*). Il problema del principale al primo

i

stadio, cioè già conoscendo w*, è massimizzare la sua utilità attesa rispetto allo sforzo. Notate che non è e* perché adesso sto proprio cercando ‘e’. Il vincolo di

partecipazione non è necessario perché c’è w* che è già stato calcolato in modo tale che l’agente accetti il contratto:

! ·

max ∑ p (e) x - w*!

e i =1, n i i

max ∑ p (e) ∙ x - u (v(e) + u)

-1

! e i =1, n i i

F.O.C.:

! →

∑ p’ (e*) ∙ x - (u )’(v(e*) + u) ∙ v’(e*) = 0 ∑ p’ (e*) ∙ x = (u )’(v(e*) + u) ∙ v’(e*)

-1 -1

!

i =1, n i i i =1, n i i

Quando il principale deve decidere quanto sforzo richiedere all’agente, confronta due cose: il beneficio marginale che si attende dal richiedere all’agente uno

sforzo un po’ più alto (lato sinistro) ed il costo marginale di indurre l’agente ad accettare di compiere uno sforzo un po’ più alto (lato destro). Come sempre si fa

un’azione fino al punto in cui il beneficio marginale che mi aspetto da quell’azione coincide con il costo marginale di compiere quell’azione. Calato in questo

specifico modellino, il beneficio marginale è un beneficio in termini di risultati attesi, il costo marginale è un costo in termini di maggior salario che io devo dare

all’agente per indurlo ad accettare di sforzarsi di più.

!

Possiamo riscrivere questa condizione del prim’ordine in modo più semplice ricordando il “teorema della funzione inversa” che dice che: (f )’(y) = 1/f’(f (y)). Nel

-1 -1

→

nostro caso abbiamo u (v(e*) + u) = w* quindi (u )’(v(e*) + u) = 1/u’(w*). Il teorema della funzione inversa mi direbbe che la derivata di u (v(e*) + u) è 1/u’

-1 -1 -1

calcolato nell’inversa ma l’inversa è esattamente w*. Quindi questo mi consente di scrivere la condizione del prim’ordine come:

!

∑ p’ (e*) ∙ x = v’(e*)/u’(w*)

!

i =1, n i i

Da questa condizione posso ricavare implicitamente e*. Uguale a prima ma riscritta senza l’inversa. Dice esattamente la stessa cosa che vi dicevo prima, il lato

sinistro è il beneficio marginale di richiedere un po’ di sforzo in più all’agente, il lato destro è il costo marginale di richiedere un po’ di sforzo in più all’agente. Da

questa massimizzazione trovo che la condizione di ottimo e* è quel valore di e tale per cui beneficio marginale del principale = costo marginale del principale.

!

La condizione di salario ottimale e di sforzo ottimale in condizioni di informazione simmetrica è facilmente rappresentabile su un grafico a due dimensioni in cui

ci mettiamo il salario sull’asse delle x e lo sforzo sull’asse delle y. Il vincolo di partecipazione u(w) - v(e) = u è inclinato positivamente perché se richiedo

all’agente uno sforzo in più, il salario deve aumentare. Per quanto riguarda il principale abbiamo le varie curve di isoprofitto, il profitto dipende da e meno la

remunerazione π(e) - w = k dove k > k > k. La scelta ottima sarà nel punto di tangenza tra il vincolo di bilancio e la curva di isoprofitto (SMS agente = SMS

2 1

principale).

!!

!! Pagina 4 di 64

1b. INFORMAZIONE ASIMMETRICA POST-CONTRATTUALE

!

Emerge informazione asimmetrica post-contrattuale con riferimento allo sforzo, il principale non potendo conoscere lo sforzo dell’agente non può includerlo nel

contratto. Diventa quindi un gioco a tre stadi, da risolvere procedendo a ritroso:

!

1. P propone un contratto

2. A accetta o rifiuta il contratto

3. A, se accetta, sceglie lo sforzo

! nel 3° stadio l’agente sceglie il livello di sforzo ‘e’ in modo da massimizzare la sua utilità attesa. Il “vincolo di compatibilità degli incentivi” mi dice che una

• volta che il contratto è stato firmato, l’agente fa quello che è nel suo interesse fare:

!

max ∑ p (ê) ∙ u(w(x )) - v(ê)

! ê i =1, n i i

nel 2° stadio l’agente accetta il contratto se l’utilità attesa derivante dall’accettare il contratto è ≥ dell’utilità di riserva. La decisione circa l’accettare o meno il

• contratto è descritta dal “vincolo di partecipazione”:

!

∑ p (e) ∙ u(w(x )) - v(e) ≥ u

!

i =1, n i i

nel 1° stadio tocca al principale scegliere che cosa deve scrivere nel contratto. Deve scegliere il contratto anticipando le risposte dell’agente sia nel 2° che nel

• 3° stadio, quindi non deve più solo preoccuparsi del fatto che l’agente accetti il contratto (vincolo di partecipazione) ma deve anche preoccuparsi del fatto

che l’agente poi sceglierà il livello di sforzo per lui ottimale (vincolo di compatibilità degli incentivi). Ora i vincoli sono due:

!

max ∑ p (e) ∙ π(x - w(x ))

i =1, n i i i

[e; w(x ) | ]

! i i=1,…n

s.v.

!

∑ p (e) ∙ u(w(x )) - v(e) ≥ u

i =1, n i i

max ∑ p (ê) ∙ u(w(x )) - v(ê)

! ê i =1, n i i

Ho scritto che il principale massimizza rispetto ad ‘e’ e rispetto ai w , ma se stiamo parlando di informazione asimmetrica perché il principale massimizza anche

i

rispetto ad ‘e’ che non può essere inserito nel contratto? Perché il principale in realtà massimizza anche rispetto ad ‘e’ nel senso che disegna un contratto in

modo tale da indurre uno sforzo piuttosto che un altro. E questa è proprio la logica retrostante ai contratti incentivanti: sono contratti che incentivano a sforzarsi

ad un certo livello. Allora nel momento in cui il principale disegna un certo contratto piuttosto che un altro, sta implicitamente anche scegliendo il livello di

sforzo. Risolveremo questo problema nella forma più semplice, cioè quella in cui gli sforzi possibili sono solo due (sforzo alto e sforzo basso).

!

1ª ipotesi: P neutrale al rischio

2ª ipotesi: ci sono solo due livelli di sforzo e , e dove e > e

H L H L

con riferimento alla disutilità dello sforzo v(e ) > v(e )

H L Pagina 5 di 64

per semplificare la notazione scriveremo p = p (e ) ; p = p (e )

iH H iL L

! i i

L’agente deve decidere se scegliere e o e . Saltiamo un attimo al 1° stadio quando il principale deve