Microeconomia - Prof. Colombo Stefano

Due salari ottimali

Il salario ottimale quando lo sforzo scelto dal principale è e e il salario ottimale quando lo sforzo scelto dal principale è e'.

Consideriamo il caso in cui il principale vuole che l'agente scelga e. Lo sforzo è scelto dall'agente perché siamo in un contesto di informazione asimmetrica, mentre nel caso di informazione simmetrica il principale avrebbe potuto imporre (scegliere) e'. Ciò non toglie che il principale abbia delle preferenze relative ai livelli di sforzo, che però sono scelti dall'agente. e è lo sforzo più basso tra quelli esistenti.

Nel caso in cui il principale vuole che l'agente scelga e', non si pone alcun problema di incentivo, ovvero il principale non deve dare alcun incentivo all'agente affinché quest'ultimo scelga e', in quanto è ovvio che l'agente normalmente preferisce e' perché si sforza meno. Se non si pone

alcun problema di incentivo, è chiaro che questo caso coincide esattamente con il caso di informazione simmetrica; non si ha il problema di offrire incentiviall’agente, esattamente come non vi erano nel caso di informazione simmetrica. Di conseguenza, essendo che questo caso coincide con quello di informazione simmetrica, sappiamo già come è fatta la scheda di salari ottimali: se P è neutrale al rischio e A è avverso al rischio, il salario ottimale è un salario piatto, cioè il salario indipendente dal risultato (x). Es.: se P dà 1000 euro al mese ad A, siamo sicuri che A sceglierà lo sforzo basso; inoltre, se P vuole che A scelga lo sforzo basso, è ottimale dargli un salario piatto, perché il salario piatto è quello che consente a P di assorbire tutto il rischio e quindi di minimizzare l’esborso necessario per convincere l’agente ad accettare il contratto.

E• Consideriamo il caso in cui

Il principale vuole che l'agente scelga. - In questo caso, il principale non può offrire all'agente il salario piatto, ovvero il salario indipendente dal risultato (x), altrimenti l'agente sceglie lo sforzo basso (1). Bisogna quindi definire una serie di salari che dipende dal risultato (x). 21

Il vincolo di compatibilità degli incentivi (ICC), nell'ipotesi in cui il principale voglia che l'agente scelga C C C, è tale per cui l'agente sceglie se e solo se la sua utilità attesa scegliendo è maggiore della sua utilità attesa scegliendo :1# #%C %BC B)R ) )R )7 0 HQE(" - F(1 ≥ 7 0 HQE(" - F(1% %%&! %&!

Questo è esattamente lo stesso ICC che avevamo scritto prima, solo che questo è il caso più semplice con due soli livelli di sforzo. Questo ICC può essere riscritto come segue: F E D E D)R7(8 - 8 )CQ>(+ ≥ sQ- R - sQ- R$$ $$&0 C

Questa scrittura mostra in base a che cosa l'agente sceglie piuttosto che . Nella scelta del livello1 1C B Cdi sforzo tra ed , l'agente confronta il beneficio che deriva dalla scelta di rispetto al beneficio1 1 1Bche deriva dalla scelta di . In questo caso, avendo solo due livelli di sforzo, quindi una variabile1discreta, non ha senso parlare di variazioni marginali, ovvero di beneficio/costo marginale. CIl lato destro della precedente disequazione rappresenta il costo derivante dalla scelta di 1B Cpiuttosto che di , perché scegliere comporta una maggiore "fatica" per l'agente rispetto a1 1B C B) )scegliere . Infatti, è strettamente positivo.1 F(1 − F(1Il lato sinistro della precedente disequazione rappresenta, invece, il beneficio atteso per l'agenteC Bderivante dalla scelta di piuttosto che di . Il beneficio consiste nel fatto che se l'agente sceglie1 1C Bpiuttosto che , quindi se si sforza di più, avrà una

probabilità maggiore che il suo risultato sia alto piuttosto che basso, cioè che le cose vadano bene piuttosto che male. Se questo si traduce in un maggior salario, allora questo è il beneficio che l'agente si aspetta sforzandosi di più piuttosto che sforzandosi meno. Questo è un beneficio atteso e non un beneficio certo, perché l'agente può anche sforzarsi tanto, ma ci sarà sempre una probabilità non nulla che le cose vadano male. Inoltre, questo vincolo di compatibilità degli incentivi mostra che il salario non può essere piatto, altrimenti il vincolo non sarebbe soddisfatto. Questo perché un salario piatto comporterebbe che sia una costante, quindi il salario non dipenderebbe più da x, per cui sarebbe pari a 0; pertanto, se non dipendesse da x, il lato sinistro della precedente disequazione sarebbe pari a 0, e 0 non può essere.

“e” ({E(" questo perché si tratta di una massimizzazione nell’ipotesi in cui il principale vuole)|∀% %Cche l’agente scelga ; è come se fossimo al secondo stadio, quindi è come se il principale avesse già stabilito1 Cche lui vuole che l’agente scelga , per cui tra le variabili rispetto a cui si massimizza non si inserisce più la1“e”. Questa è anche la ragione per cui sia nella funzione obiettivo che nei vincoli compare la “H”.

Risolviamo questo problema di massimizzazione vincolata utilizzando il lagrangiano:

# #%C %C C)R )R )_= 7 0 Q" − E(" + S X7 0 HQE(" − F(1 − HY% % %%&! %&!# %C %B C B)R ) )â+ á − 0 RHQE(" − F(1 + F(1à7Q0 %%&!Risolviamo il lagrangiano guardando alle F.O.C. e alle S.O.C.

F.O.C.: t _ %C %C %C %B∗ ) ∗ ∗ ) ∗(" )R (" )R= −0 + S 0 H QE +

Anche il lato destro dell'equazione, cioè H QE S 0 + á Q0 - 0 R, è strettamente positivo. Il lato destro dell'equazione delle F.O.C., cioè è esattamente S 0 + á Q0 - 0 R, è uguale al primo termine del lato destro dell'equazione della S.O.C., cioè se sono S0 + áQ0 - 0 R, soddisfatte le F.O.C. Per cui, inserisco l'asterisco a e aS á:))t _ Pertanto, in corrispondenza ai punti che soddisfano le F.O.C. il termine è strettamente S 0 + á Q0 - 0 R maggiore di 0. 23 Dato che, il primo termine di sinistra dell'equazione della S.O.C. è strettamente positivo e il secondo termine di sinistra dell'equazione della S.O.C. è strettamente negativo, la S.O.C. sarà

strettamente negativa:))t _ %C %C %B∗ ∗ )) )R= äS 0 + á Q0 − 0 RãH QE(" < :%))tE(" )% %CLe F.O.C. possono essere riscritte dividendo entrambi i termini dell’equazione per , ovvero:0%B1 0∗ ∗= S + á ~1 −  , ∀%C0(" )R) ∗H QE % %Le F.O.C. riscritte in questo modo mettono in luce un’importante relazione.-J• è noto come likelihood ratio (LR), ossia rapporto di verosimiglianza. Questo è il rapporto tra la,.J ,probabilità di ottenere il risultato x quando lo sforzo è basso e la probabilità di ottenere il risultatoix quando lo sforzo è alto.i /G %B %CSi supponga che per cui , questo vuol dire che sia che lo sforzo sia alto sia che lo= 1, 0 = 0(+G(sforzo sia basso, la probabilità di ottenere quel risultato x è identica. Quindi se il likelihood ratio èipari a 1, vuol dire che lo sforzo non è importante per

determinare quel risultato x , è del tuttoiirrilevante. /G %C %B

Si supponga che sia molto basso, per cui è molto più grande di