Microeconomia

L Q

1 0 4 Rendimento Marginale del Lavoro COSTANTE

2 4 4

3 8 4

4 12 4

5 16

Il Prodotto Marginale del Lavoro è la derivata della funzione di produzione rispetto ad L.

2.

MP = ∂Q / ∂L ; MP = k Q

L L Q BP L

Esempio: 2 1/2

Abbiamo la funzione di produzione Q = K L e K è costante ed è pari a 2.

1/2

La funzione di produzione nel Breve Periodo sarà: Q = 4 L

L Q

0 0 4 Rendimenti Marginali del Lavoro DECRESCENTI nell’aumentare di 1 1

4 1.66 lavoratori, aumenta sempre di meno la quantità prodotta.

2 5.66 1.24

3 6.9 1.10

4 8

Q 2 1/2

Prodotto Marginale del Lavoro : Q = K L Q =

-1/2

2L L

Esempio: 2 2

Abbiamo una funzione di produzione Q = K L doveK è fisso ed è pari a 2.

2

La nostra funzione di produzione nel breve periodo sarà: Q = 4 L

BP

Il nostro Prodotto Marginale del Lavoro sarà: MP = 8L, ciò singifica che la nostra funzione di produzione ha

L

Rendimenti Marginali CRESCENTI. Q

L Q

1 4 4

2 16 12

3 36 20 L

CASO GENERALE DELLA FUNZIONE DI PRODUZIONE BP

La funzione di produzione nel Breve Periodo, nel caso generale, sarà una funzione con rendimenti marginali

crescenti e decrescenti, rispettando la Legge dei Rendimenti Marginali decrescenti.

“La Legge dei Rendimenti Marginali Decrescenti afferma che la funzione tipica di produzione nel Breve

Periodo cresce più che in misura proporzionale poi continua a crescere ma in misura minore. Questo perché

mantanendo fisso un fattore produttivo, l’aggiunta di un’unità in più di un fattore variabile, il prodotto cresce

più che proporzionale rispetto Q

all’input, poi a un certo punto, cresce in

maniera meno proprozionale,

tendendno poi a diminuire f

Q = (K;L

)

all’aumentare del fattore variabile.” Rendimenti

Marginali Re

DECRESCENTI

ndimenti Ma

L

rginali CR

ESCENTI L AP

L

MP

L

Q

Da un input variabile possiamo ottenere il prodotto medio, che è dato dal rapporto tra il prodotto totale e la

quantità del fattore del fattore impiegato. Quindi l’equazione sarà:

AP = Q/L

L

Graficamente, il prodotto medio coincide con la pendenza della retta che unisce l’origine degli assi al punto

corrispondente della curva del prodotto totale. Quindi nel grafico della funzione di produzione a breve

periodo l’AP sarà la retta tangente per la curva, ossia la pendenza, dato un valore di L. Mentre nel grafico

L

del Prodotto totale, i punti nel grafico della funzione di produzione dovranno essere risportate nel grafico del

prodotto totale corrispondenti ai punti dove L è un dato numero generico.

Affianco alla funzione di produzione nel breve periodo data dall’equazione Q = f (L;K) dove ci possiamo

ricavare matematicamente il prodotto totale, marginale, e medio e rappresentarli nel grafico, abbiamo anche

la funzione di costo nel breve periodo. Nel breve periodo, possiamo avere 3 tipi di costi:

- Costo Fisso (FC) = “costo che nel breve periodo, non varia al variare dell’output”

FC = r × k

- Costo Variabile (VC) = “costo che nel breve periodo, varia al livello di produzione”

VC = w × l

- Costo Totale (TC) = “somma del costo variabile e costo fisso”

TC = FC + VC = (r × k ) + (w × l )

Esempio 1 2

Abbiamo una funzione di produzione che è data: Q = 4 L .

Sappiamo che K è costante ed è 2, e chè w e r sono uguali tra loro, con valore 1. Ricavati

le funzioni di costi fisso, costo variabile e totale.

FC (costo fisso) = r × k = 1 × 2 = 2 L Q

VC (costo variab.) = w × l 0 0

2 2

Q = 4 L ; L = Q/4 ; L = √Q/2 1 4

VC = w × l ; VC = 1 × (√Q/2) 2

16 TC = FC + VC = 2 + √Q/2 3

36 Q VC, FC,

TC TC

VC

2 FC

L Q

2

Q = 4 L FC = 2; VC = 1 × (√Q/2) ; TC = 2 + √Q/2

In questo esempio abbiamo Rendimenti Marginali Crescenti, poiché all’aumentare di L aumenterà in misura

proporzionale Q, a tasso crescente .

Esempio 2 ½

Abbiamo una funzione di produzione che è data: Q = 4L

Abbiamo K che è costante, ed è pari a 2, mentre w e r sono uguali, pari a 1. Ricavati

la funzione del costo totale, marginale, e variabile.

FC = 2 L Q

VC = w * l 0 0

1/2 1/2 2

Q = 4L ; L = Q/4; L = Q /16 1 4

2

VC = 1 * Q /16 2 5.66

2

TC = 2 + Q /16 3 6.92

Q TC,

TC VC

VC, CF 2 CF

L L

1/2 2 2

Q = 4 L CF=2; VC= 1 * Q /16 ; TC= 2 + Q /16

CASO GENERALE DELLA FUNZIONE DEI COSTI BREVE PERIODO

Q C Costi

Totali Costi

Variabili Costi

Fissi

L L

Funzione di Produzione Funzione ci sto totale, variabile e fisso Q

= f (L;K)

Dalle funzioni di costo nel breve periodo possiamo ricavare altre funzioni di costo nel breve periodo, che

sono:

- Costo Medio Fisso: (AFC) dato dal rapporto tra il costo fisso e la quantità; Costo fisso/Quantità

- Costo Medio Variabile: (AVC) dato dal rapporto tra il costo variabile e la quantità;Costo Variab/Q

- Costo Medio Totale: (ATC) dato dal rapporto tra il costo totale e la quantità; Costo Totale/Q

- Costo Marginale: (MC) data dalla variazione del costo totale che deriva dalla produzione di un unità

addizionale di output. ∆Costo totale/∆Quantità,

C L

C MC

ATC AVC Q AFC

FUNZIONE DI PRODUZIONE DEL LUNGO PERIODO

Nella funzione di produzione lungo periodo, come abbiamo già detto, gli input, K (capitale) e L (lavoro)

sono variabili. Nel caso del breve periodo, nella funzione di produzione per sapere quanto lavoro (L) devo

impiegare, sapendo che il capitale (K) è fisso, per ottenere un certo livello di output. Mentre, adesso,

dobbiamo sapere quanto capitale e lavoro dobbiamo impiegare per ottenere x quantità. Sapendo Q, una

quantità certa, la rappresenteremo con una curva, che prenderà il nome di Isoquanto (tutte le possibili

combinazioni tra capitale e lavoro per ottenre un livello di output). L’insieme di isoquanti firnisce la Mappa

degli isoquanti. Più ci si sposta verso destra, più cresce il livello di soddisfazione. Caso contrario, se ci si

sposta verso l’origine degli assi, la soddisfazione diminuisce.

Dalla definizione di Saggio Marginale di Sostituzione del Consumatore (quanto il consumatore può

sostituire il bene x con il bene y a certi livelli di prezzi) possiamo ricavarci la definizione di Saggio

Marginale di Sostituzione Tecnica (saggio attraverso il quale un fattore produttivo può essere sostituito

con un altro fattore produttivo, non alterando il livello di putput).

MRTS = ∆K/∆L

Non è altro che la derivata della funzione di produzione rispetto ad L. L’MRTS può essere calcolato anche

come rapporto tra MP e MP :

L K

MRTS = MP /MP

L K

Stessa cosa vale per il Vincolo di Bilancio (nelle preferenze del consumatore). Da questo possiamo ricavarci

l’Isocosto (quali sono le combinazioni di L e K, dati i prezzi di w ed r).

Il fattore produttivo L (lavoro) ha un costo, che è w (salario), mentre K (capitale) il suo costo è r (costo del

capitale).

L’Isocosto nella funzione di produzione a lungo periodo sarà:

C = (w*L)+(r*K)

Per calcolare l’inclinazione dell’Isocosto bisogna fare il rapporto di - (w/r). Se w aumenta, allora l’isocosto si

sposta verso l’interno.

Esempio: 1/2

Abbiamo la funzione di produzione lungo periodo Q = 2KL

Ricavati il prodotto marginale del lavoro e il prodotto marginale del capitale, poi l’MRTS, l’isoquanto e

l’isocosto.Infine trovati il punto ottimo.

-1/2 -1/2

MP = ∂Q(L;K)/ ∂L = 2K * ½ L = KL

L 1/2

MP = ∂Q(L;K)/ ∂K = 2L

K K

MRTS = MP /MP = K/2L

L K

RETTA DI ISOCOSTO : w*L + r*K = C; rK=C – w*L;

w*L= C/r – w/r * L 0 L

INCLINAZIONE DELL’ISOCOSTO = - (w/r)

Se aumento tutti i fattori produttivi nella stessa proporzione, che cosa accade alla quantità prodotta?

Avrò i Rendimenti di Scala, che possono essere Costanti, Crescenti e Decrescenti:

1/2 1/2

Abbiamo una funzione di produzione data: Q = L K .

L K Q In questo caso abbiamo i Rendimenti di Scala Costanti dove aumentando tutti i fattori

0 0 0 nella stessa proporzione, la quantità prodotta aumenta in misura proporzionale.

2 2 2

4 4 4 Se α > 0, allora f (α L; α K) = α Q;

1/2 1/2

Q = L K =

1/2 1/2

(α L) (α K) =

1/2 1/2 1/2 1/2

(α) L (α) K

1/2 1/2

(α) L K

Abbiamo una funzione di produzione data: Q = 4LK

L K Q In questo caso abbiamo i Rendimenti di Scala Crescenti dove aumentando tutti i

0 0 0 fattori produttivi nella stessa proporzione, la quantità prodotta aumenta in via più

2 2 16 che proporzionale. Ma non è destinata la produttività a crescere sempre. Ci sarà un

4 4 64 punto dove arriva alla massima capacità per poi decrescere sempre all’aumentare

dei fattori produttivi. Se f (α L; α K) = > α Q

4* (α L) * (α K)

2

(α) * 4 LK

Dal Rendimenti di Scala Crescenti, come abbiamo detto, un impresa non potrà sempre aumentare la sua

produttività aumentando i fattori costantemente. Dai rendimenti di scala crescenti, si avrà poi dei rendimenti

di scala decrescenti.

Nel lungo periodo abbiamo tre funzioni di costo:

- LTC(Q), costo totale: mi indica qual è il costo minimo in funzione della quantità;

- LAC(Q), costo medio, dato dal rapporto tra

LTC(Q)/Q

- LMC, costo marginale, dato dal rappporto

LTC (costo totale)

∂LTC(Q)/∂Q

TC (Costo

tot.) q C 3

LMC

Q

C 2

c 1 c LAC

In una funzione di produzione caratterizzata da rendimenti di scala costanti, e dove i prezzi dei fattori non

variano al variare dell’output, raddoppiare l’output farà che raddoppiare i costi. Quindi nei rendimenti di

scala costanti, i costi totali di lungo periodo sono proporzionali all’output.

LTC

LAC=LMC

Pendenza = LMC =LAC

Nel caso dei Rendimenti di scala crescenti, invece, abbiamo l’output che cresce più che proporzionale

all’aumentare dell’input. Di conseguenza il Costo totale del lungo periodo cresce ma meno che proporzionale

rispetto all’aumento dell’output. (Le imprese di maggiori dimensioni hanno minor costo rispetto alle altre

imprese piccole).

TC C

LTC LAC

LMC

Q Q

Nel caso dei Rendimenti di scala decrescenti un dato incremento dell’output richiede un incremento più

che proporzionale di tutti i fattori e di