Metodi Statistici per la Bioingegneria

Metodi statistici per la bioingegneria

Variabili aleatorie e statistica descrittiva

La probabilità misura la nostra fiducia che un evento si possa verificare:

• Evento certo
• Evento impossibile
• Evento aleatorio/casuale

In generale, per lo studio di un fenomeno che manifesta casualità, è necessaria l'osservazione ripetuta dello stesso fenomeno nelle identiche condizioni; per identiche condizioni si intende appunto che i fattori controllabili che influenzano il fenomeno assumano le stesse caratteristiche; tutti i fattori non controllabili potranno essere differenti e saranno quelli che generano la casualità del fenomeno. Si raccolgono dati da un sottogruppo, la loro analisi porta al calcolo della probabilità per esprimere un’informazione sull’intera popolazione.

Statistica

Dai risultati di un esperimento si determinano alcune caratteristiche della popolazione; dalle caratteristiche note della popolazione si prevede il risultato di un altro esperimento. La statistica ha come scopo lo studio quantitativo di un particolare fenomeno collettivo in condizioni di fenomeno aleatorio ossia di non completa conoscenza di esso o parte di esso.

Statistica descrittiva

La statistica descrittiva è una branca della statistica e ha come scopo quello di sintetizzare i dati attraverso i suoi strumenti grafici e indici che descrivono gli aspetti salienti dei dati osservati, formando così il contenuto statistico.

Le medie

Indici di posizione che permettono di sintetizzare una distribuzione sulla base di un solo valore:

• Medie analitiche: calcolate tramite operazioni algebriche (medie aritmetica, geometrica, troncata);
• Medie di posizione non richiedono operazioni algebriche (mediana/moda/percentili)

Media aritmetica

Per una distribuzione unitaria di carattere quantitativo di n termini è descritta come:

In alcune situazioni si ha una distribuzione ponderata in cui ogni modalità viene associato un peso che ne quantifica l’importanza: media ponderata che si calcola come.

Proprietà della media aritmetica

• La somma algebrica degli scarti dalla media è nulla;
• La media minimizza la distanza al quadrato di ogni modalità da una costante;
• Proprietà di internalità: la media è sempre compresa tra il minimo e il massimo della distribuzione;
• Proprietà di invarianza rispetto a trasformazioni lineari: se a ogni termine della distribuzione viene applicata la trasformazione aX+b, allora la media sarà pari a:

Media geometrica

Per una distribuzione unitaria di carattere quantitativo di n termini, la media geometrica è definita come. Viene usata per sintetizzare dati che ha senso moltiplicare tra loro o per riassumere distribuzioni con andamento geometrico, si applica per determinare un tasso di incremento/decremento medio.

Proprietà della media geometrica

• La media aritmetica è in genere più grande della media geometrica, la media geometrica non è MAI superiore alla media geometrica per qualsiasi distribuzione;
• Proprietà di invarianza rispetto ai cambiamenti di scala: se a ogni termine della distribuzione viene applicata la trasformazione aX, allora la media geometrica sarà pari a;
• Il logaritmo della media geometrica è uguale alla media aritmetica dei logaritmi (formula da ricordare per confronti tra metodi statistici)

Quando non utilizzare la media geometrica

Valori nulli nella distribuzione: la presenza di uno zero nella distribuzione annulla il prodotto tra gli elementi e azzera la media.

Valori negativi nella distribuzione: la presenza dei numeri negativi nella distribuzione potrebbe determinare un prodotto negativo sotto radice.

La mediana

Data una distribuzione secondo un carattere qualitativo ordinato o quantitativo, la mediana (Me) è la modalità del carattere che divide il vettore di n in due gruppi di uguale numerosità.

Per calcolare la mediana di una distribuzione unitaria di un carattere quantitativo di n termini:

• Si ordinano le modalità in modo non decrescente
• Se n è dispari
• Se n è pari

Proprietà della mediana

• La mediana minimizza la distanza di ogni modalità da una costante;
• Proprietà di internalità: la mediana è sempre compresa tra il minimo e il massimo della distribuzione;
• Proprietà di invarianza rispetto a trasformazioni lineari: se a ogni termine della distribuzione viene applicata la trasformazione aX+b, allora la mediana sarà pari a;

Vantaggio nell’uso della mediana: non è influenzata dalle osservazioni aberranti o estreme (outliers).

I percentili

I percentili sono quei valori che dividono la distribuzione in 100 parti uguali, i più usati sono il 25° (Q1), i 50° (Me) e il 75°(Q3). La mediana è il dato che delimita il primo 50% dei dati (ordinati) dai rimanenti dati. Se p è un numero tra 0 e 100, il percentile di ordine p (o p° percentile, se p è intero) è il dato che delimita il primo p% dei dati (ordinati) dai rimanenti dati (è usato anche il concetto di quartile: il 1º quartile è il dato che delimita il primo quarto dei dati dai rimanenti, il 2º è quello che ne delimita i primi due quarti, e coincide con la mediana, e il 3º è quello che ne delimita i primi tre quarti).

I box-plot

Una rappresentazione grafica che si basa sulla definizione dei quantili è il box-plot, che permette di descrivere la variabile in maniera sintetica ed è molto utile per confrontare sottogruppi di dati. L’idea è quella di individuare con una “scatola” le osservazioni centrali e con dei “baffi” o code uscenti dalla scatola le osservazioni più estreme.

Per costruirlo si disegna una scatola tra i valori Q1 e Q3. Con una linea verticale si individua la mediana (Q2). Si disegnano poi i baffi che sono lunghi al più una volta e mezza la distanza interquartile e terminano in corrispondenza del dato più lontano dalla scatola inferiore a tale valore. I valori che rimangono al di fuori dei limiti si individuano con asterischi, croci, cerchi.

La moda

Si chiama moda (o moda campionaria) degli n elementi x1, ..., xn l’elemento (o gli elementi) a cui corrisponde la massima frequenza assoluta. La moda campionaria non è influenzata da valori estremi e può essere usata anche per dati non numerici, cioè dati qualitativi. Può non esistere o non essere unica. La moda si considera come il valore tipico dell’insieme di dati poiché è quello che si presenta più spesso, non tiene però conto degli altri valori e spesso in un insieme di dati vi è più di un valore che corrisponde alla definizione di moda.

Istogramma

Detto anche ortogramma, è un diagramma che fornisce una rappresentazione di un insieme di dati statistici mediante un grafico a barre. Gli istogrammi possono essere rappresentati mediante barre orizzontali (istogramma a barre orizzontali) o verticali (istogramma a barre verticali).

Si suddivide l’intervallo in cui variano i dati in classi (preferibilmente di uguale ampiezza) e si assegna ogni osservazione rilevata alla classe corrispondente. La scelta del numero di classi non è indifferente: troppe poche appiattiscono il grafico fino a renderlo insignificante; troppe classi introducono oscillazioni eccessive, che potrebbero distruggere l’eventuale regolarità dell’istogramma. L’istogramma si disegna come diagrammi a barre per le variabili qualitative, ma facendo attenzione che i “rettangoli” verticali devono essere adiacenti ed avere come vertici i punti che separano le classi.

Indici di variabilità

L’utilizzo di una media permette di sintetizzare efficacemente l’informazione contenuta in una distribuzione statistica dal punto di vista dell’intensità del valore misurato. Tuttavia, la sintesi può essere eccessiva, nel senso si possono perdere informazioni su altre caratteristiche fondamentali come la variabilità. Gli indici di variabilità sono:

• Campo di variazione (range)
• Devianza
• Varianza
• Deviazione standard
• Coefficiente di variazione (variabilità relativa)

Range

Il campo di variazione o range corrisponde alla differenza tra la modalità più piccola e la modalità più grande della distribuzione. È troppo influenzato dai valori estremi; tiene conto dei due soli valori estremi, trascurando gli altri.

Occorre allora un indice di dispersione che consideri tutti i dati confrontandoli con il loro valore medio: Dunque, gli indici di variabilità possono essere basati sullo scostamento dalla media (devianza, varianza, deviazione standard, coefficiente di variazione, scostamento semplice medio della mediana) o sulla differenza tra statistiche d’ordine (campo di variazione, differenza interquartilica).

Devianza e varianza

Per una distribuzione unitaria di carattere quantitativo la devianza è definita come. La varianza è normalmente preferita alla devianza (perché tiene conto della numerosità del data set) e si ottiene come.

Deviazione standard e coefficiente di variazione

La deviazione standard (o scostamento quadratico medio) è l’indice di variabilità più utilizzato in quanto è espresso nella stessa unità di misura del carattere. Si ottiene come radice della varianza.

Nel caso in cui la distribuzione abbia media aritmetica positiva, il coefficiente di variazione si calcola come deviazione standard/qualcosa di riferimento (in questo caso la media):

Proprietà

• Gli indici D, σ e σ² sono sempre non negativi e assumono il valore minimo (0) se e solo se tutte le modalità della distribuzione (tutte le n misure) sono uguali tra loro;
• La devianza può essere calcolata come: che ha vantaggi nel calcolo anche della varianza e della deviazione standard;
• Se a ogni termine della distribuzione viene applicata la trasformazione aX+b, allora gli indici di variabilità cambieranno nel modo seguente:
• Devianza = a²D
• Varianza = a²σ
• Deviazione standard =

Scostamenti semplici medi

Per una distribuzione unitaria di un carattere quantitativo, lo scostamento semplice medio dalla media aritmetica è definito come. Lo scostamento semplice medio dalla mediana si ottiene sostituendo la mediana alla media aritmetica.

Come calcolare la media e la varianza con dati raggruppati

(Non serve imparare queste formule): Se i dati statistici non sono grezzi ma sono raggruppati in una tabella di frequenze, la formula per calcolare la media e la varianza sono:

Errore standard (della media aritmetica)

In generale è impossibile acquisire i valori di ogni singolo individuo (o elemento) di una popolazione. Si ricorre quindi allo studio di un campione di individui (elementi) sperando che il campione sia rappresentativo della popolazione (ad esempio: la media aritmetica del campione è uguale alla media aritmetica della popolazione).

Tutti i metodi statistici almeno in un primo tempo sono costruiti sull’assunto che gli individui testati nel campione rappresentino un campione casuale della popolazione non interamente osservata. La media (aritmetica) e la deviazione standard (ad esempio) calcolate da un campione n scelto con procedura casuale sono pensate essere stime della media e deviazione standard dell’intera popolazione.

Per quantificare l’accuratezza di queste stime, possiamo calcolare i loro errori standard. L’accuratezza indica quanto una misura è vicina al valore accettato. La precisione indica quanto vicini o quanto ripetibili siano i risultati. L’errore standard della media quantifica il grado di certezza con il quale la media, calcolata da un campione casuale, stima la vera media della popolazione.

La formula precisa per il calcolo è: ,dove n è il sottoinsieme da cui derivo l’informazione. La stima migliore di questo valore preciso è:

Variabili aleatorie

Una variabile casuale (o aleatoria, v.a.) X è una funzione che associa ad ogni evento dello spazio Ω campionario uno ed un solo numero reale secondo una funzione di probabilità.

Dunque, una v.a. è una funzione che permette di assegnare un valore numerico ad ogni risultato dell’esperimento. Dalla definizione è evidente che dato uno spazio campionario Ω è possibile costruire infinite v.a.

Variabile aleatoria discreta

Può assumere un numero finito di valori A = [a1 a2 a3 … an] ciascuno associato ad una probabilità P[a1] P[a2] P[a3] P[an] con questo vincolo:

Variabile aleatoria continua

Assume valori appartenenti ad un insieme continuo (non abbiamo un numero definito di valori). La definizione di probabilità nel continuo è più delicata che nel discreto e non si traspone in modo esatto nel continuo. → Cambio di formalismo per passare dal discreto al continuo.

Anziché specificare le singole P[X] si cercherà, ove possibile, di determinare la relazione funzionale che lega queste probabilità, sintetizzata in una funzione f(x). Ciò sarà necessario quando la v.a. X è di tipo continuo o discreto con un numero molto elevato di valori.

Posto che nel caso discreto P[X=x]=f(x), diamo la seguente definizione di v.a. discreta: X è una v.a. discreta se assume un numero finito o un’infinità di valori x1, x2, xn,…, dove f(x) è detta con probabilità rispettivamente f(x1), f(x2), f(xn), funzione di probabilità (fp) e soddisfa le seguenti proprietà.

In alcuni casi, sarà necessario calcolare la probabilità che X assuma un valore minore o uguale a x, cioè k. Questa funzione è detta funzione di ripartizione (f.r.) ed è uguale a:

Proprietà della funzione di ripartizione F(.)

Parte da zero, man mano accumula valore fino ad arrivare ad 1. La funzione di ripartizione F(x) è una funzione reale non-decrescente tale che la rappresentazione di F(x) è una “funzione a gradini”.

Trasposizione nel continuo

Una v.a. è continua se i valori che essa assume sono contenuti in un intervallo reale. In tale contesto, non è possibile elencare i valori che la v.a. X assume con le rispettive probabilità come nel caso discreto, i valori sono contenuti in un intervallo reale e non discretizzato. Il problema viene superato associando a ciascun punto dell’intervallo in cui è definita X una funzione matematica, f(x), che non è la probabilità, ma è proporzionale (a meno di un infinitesimo) alla probabilità di un intervallo «sufficientemente piccolo», detta funzione di densità. f(x) soddisfa le seguenti proprietà: ossia è sempre non negativa e l’integrale sul campo del reale (non si può più usare la sommatoria perché siamo nel continuo) è sempre pari a 1.

Def. Una v.a. viene detta continua se esiste una funzione f(.) tale che dove F(.) e f(.) sono, rispettivamente, la funzione di ripartizione e la funzione di densità della variabile aleatoria X. Si osservi che data una funzione di ripartizione F(x), la funzione di densità è uguale a:

Differenza tra probabilità e densità di probabilità

Mentre la probabilità di una v.a. discreta in un certo valore a1 rappresenta la probabilità che essa assuma il valore a, la densità di probabilità di una v.a. continua NON è una probabilità ma una densità di probabilità, ovvero solo il suo integrale su un intervallo ha il significato di probabilità.

Momenti semplici di ordine r

Se X è una v.a. il momento di ordine r, con r naturale, è definito dalla seguente:, r dove X è definito aspettazione. Si osserva che per r=1 si ottiene il valore atteso (aspettativa = media) di X.

Momenti centrali di ordine r

Se X è una v.a. il momento centrale di ordine r, con r naturale, è definito dalla seguente (è centrato rispetto al momento semplice di ordine 1): Si osserva che per r=2 si ottiene la varianza di X.

Operatori E(.) e Var(.)

Data una v.a. X l’operatore E(.) non è altro che l’aspettativa (=aspettazione) di X.

Proprietà

• L’operatore Var(.) definisce la varianza della v.a. X
• È il momento centrale di ordine 2. Si può scrivere come differenza tra il momento secondo e il momento primo al quadrato, cioè
• V(C) = 0 se C è costante
• V[C₁ + C₂X] = C₂²V(X) se C₁ e C₂ sono costanti

Variabile casuale scarto

Data una v.a. X con momento primo E[X] e V(X) entrambe finite, la variabile aleatoria scarto è definita dalla seguente trasformazione: Y = X - E[X] (scarto = x aspettazione(x)).

È immediato verificare che:

• E[Y] = E{X-E[X]}= E[X]-E[X]= 0
• V[Y]=V{X-E[X]}=V[X]

Variabile casuale standardizzata

Data una v.a. X con momento primo E[X] e V(X) entrambe finite, la variabile aleatoria standardizzata è definita dalla seguente trasformazione:

È immediato verificare che:

Alcune tra le più note funzioni di probabilità (=v.a. discrete) e di densità (=v.a. continue)

Funzione di densità normale o gaussiana

Si dice che la v.a. X ha distribuzione Normale se la funzione densità di X è data da:

Verrà indicata con N(µ,σ²). Vale che E[X] = µ V[X]= σ²

La funzione di densità di probabilità gaussiana possiede le seguenti caratteristiche:

• È simmetrica rispetto alla media, intorno a µ
• È unimodale, quindi ha un solo massimo
• Presenta due flessi