Metodi decisionali

Un servizio alla clientela avrà successo se la sua domanda sarà alta oppure se i

concorrenti reagiranno lentamente. Supponiamo che la probabilità di domanda

alta sia 0.6 e quella di reazione veloce 0.7. Inoltre, la probabilità di reazione

veloce in caso di domanda alta è pari a 0.9. Qual è la probabilità di successo

del servizio?

Per risolvere questo problema denotiamo gli eventi come:

(H) = probabilit

aˋ di domanda alta

P (L) = probabilit

aˋ di domanda bassa

P (Q) = probabilit

aˋ di reazione veloce

P (R) = probabilit

aˋ di reazione lenta

P (Q∣H) = probabilit

aˋ di domanda alta con reazione veloce

P

Possiamo individuare lʼinsieme come lʼevento in cui il servizio avrà successo,

S

che dal testo dellʼesercizio sarà tale quando si avrà domanda alta ( ) o

H

(S) = (H ∪

concorrenti lenti ( ). Quindi .

R P P R)

Calcoliamo le probabilità reciproche:

(L) = 1 − (H) = 0.4

P P

(R) = 1 − (Q) = 0.3

P P

Per semplificarci il lavoro possiamo costruire una tabella di probabilità, in cui

segniamo quando sappiamo fino ora.

Tutoraggio #02 2

(A ∩ = (B) ∗ (A∣B)

Dalla terza legge della probabilità ( ) possiamo

P B) P P

(Q ∩ = (H) ∗ (Q∣H)

ottenere la probabilità di . Altro non è che

P H) P P

lʼapplicazione espansa sino al secondo fattore della seconda formula riportata

nel formulario, o la prima evidenziata)

(Q ∩ = (H) ∗ (Q∣H) = 0.6 ∗ 0.9 = 0.54

P H) P P

Attraverso le differenze col totale, possiamo finire di riempire la tabella, quindi

Dal momento che:

(H ∩ = (H) − (Q ∩ = 0.6 − 0.54 = 0.06

P R) P P H)

(L ∩ = (Q) − (H ∩ = 0.7 − 0.54 = 0.16

P Q) P P R)

(L ∩ = (R) − (H ∩ = 0.3 − 0.06 = 0.24

P R) P P R)

Tutoraggio #02 3

Adesso possiamo calcolare la probabilità di successo del nuovo servizio:

(S) = (H ∩ + (H ∩ + (L ∩

P P Q) P R) P R)

Dal momento che si tratta di tre eventi mutualmente esclusivi possiamo

(S) = 0.54 + 0.06 + 0.24 = 0.84

sommarli tra di loro, quindi otteniamo: P

Esercizio 2 (ragionamento)

Principio del contare: se posso fare una attività in modalità, unʼaltra attività in

n

1

modalità, … e una k-esima in modi, il numero di modi di eseguire tutte le

n n

2 k

∗ ... ∗

attività è .

n n

1 k

Esempio: se ho 3 pantaloni e 5 camicie, mi posso presentare con 3515

abbinamenti; per ognuno di questi, ho 2 modi di vestirmi, perché posso

indossare prima il pantalone e poi la camicia oppure prima la camicia e poi il

pantalone. Quindi ho 15230 modi ordinati per vestirmi.

≥

Si supponga di voler prendere oggetti distinti da posti in un tavolo

r n r

senza rimetterli sul tavolo (esperimento senza ripetizione). In quanti modi

ordinati posso prendere questi oggetti? − 1 (n − + 1)

Il 1° si può prendere in modi, il 2° in ... e l'r-esimo modi.

n n r

− 1)(n − 2)...(n −

Il numero di modi ordinati per prenderli quindi è: n(n

(n−r)! n!

+ =

1)( ) = (questa notazione indica numero di

r P

(n−r)! (n−r)! n r

permutazioni di oggetti da , quindi di oggetti presi senza ripetizione in

r n

modo ordinato) = =

Se voglio prendere tutti gli oggetti, , Ad esempio, sul tavolo ci

n r P n!

n r

= 3

sono oggetti A, B e C. In quanti modi ordinati posso prenderli? Se

n

vogliamo elencarli allora abbiamo: 1° ABC; 2º ACB; 3º BAC; 4º BCA; 5º CAB;

= 3! = 6

6° CBA cioè li posso prendere in modi ordinati.

n!

Tutoraggio #02 4

Se si ignora lʼordine, i 6 precedenti risultati sono equivalenti e il numero di modi

di prendere i 6 oggetti ignorando l'ordine diventa 1. In generale, se si trascura

l'ordine, in quanti modi posso prendere oggetti da ? Divido il numero di modi

r n

ordinati di prendere a oggetti da per il numero di modi ordinati di prendere

n r

P n

= n! =

= ( )

oggetti: n r C

(n−r)!∗r!

r! r

n r

Quindi indica il numero di combinazioni di oggetti presi da senza

C r n

n r

ripetizione, in modo ordinato.

Esercizio 3 (Da “Probability and statisticsˮ Exercize

1.35 - Probability using combinational analysis, p.

22)

Sia data un'urna di 20 palline: 8 rosse, 3 bianche e 9 azzurre. Si estraggono 3

palline a caso senza rimetterle nell'urna. Si determini la probabilità che siano (a)

tutte rosse, (b) tutte bianche, (c) 2 rosse e 1 bianca, (d) almeno 1 bianca, (e) una

di ciascun colore e (f) nell'ordine rossa, bianca e azzurra.

Ricorda che, definendo con il numero di eventi elementari

n

dello spazio dei campioni e invece il numero di eventi

h

elementari che definiscono , possiamo affermare che

A

(A) =

P h/n

Definiamo per primo il numeratore, base in comune per tutti gli esercizi. Dal

momento che estraiamo senza considerare un ordine possiamo prendere il

numero ordinato di oggetti presi diviso il numero dei modi ordinati di prendere

quel set di oggetti. Rispetto al formulario, adoperiamo quindi la formula del

numero di combinazioni di oggetti presi r a r.

20 20! 20∗19∗18

=

= = = 1140

=

( )

n C 3 17!3! 3∗2

20 3

8

Tutoraggio #02 5