Esercitazione Metodi matematici

Esercitazioni Metodi

1. Attraverso i numeri complessi siamo in grado di dare un risultato ad ogni equazione algebrica.

   x² + x + 4 = 0

   x_1,2 = -¹⁄₂ ± ^&sqrt;3⁄₂i

2. z² + 3iz + 1 = 0

   z_1,2 = -3i ± √-9 - 4

   z_1,2 = -3i ± √-13 - 4i

3. Il risultato va però anche semplificato. Se per esempio ho che:

   z_1,2 = -3i ± √-4 - 2

   ⇒ ρ = 4

   Θ = -π⁄8

   z_1,2 = -3i 2e^iπ(1±1)⁄8

   ... 3i = ¹⁄_√2(1 - 1)

4. Però non tutte le equazioni complesse sono così semplici. Se abbiamo per esempio che:

   z² + 2iz + 2z = 0

   Per fare queste equazioni occorre impostare il valore z = a + ib e sostituirlo al testo dell'equazione:

   a² + b² + 2ia + 2ib + 2 ab - 2ib = 0

   (a² - b² + 2(a + b)) + i(a b - b) = 0

   Il valore z di un numero complesso è uguale a 0, se e solo se entrambe le parti, sia quella reale che quella immaginaria, sono nulle:

   • a² - b²+ 2(a + b) = 0
   • → 2ib + 2i(2rb) = 0
   • → b = 0, V₂ = 1
   • a b - b = 0
   • b = 0
   • z² + 2z = 0 → x = 0
   • b = 0, V₂ = -2

   ∫ a = 1

   1 - b² + 2 + 2b = 0 → b = -1

   ∫ a = 1

   1 - 2b - 3 = 0 → b = 3 V_b = -1

   Allora z₁ = 0 + i0, z₂ = -2 + i0, z₃ = 1 + i3, z₄ = 1 - i1.

5. |1⁄z| ≠ -1

   z = a + ib

   ½ ⁄ z = ¹⁄_{a + ib}

   ...

D = 0

b = ± 1/2

b = 1/2

b = -1/2

Il risultato è il cerchio di centro (0, 1/2) e raggio 1/2 esclusa l’origine.

6)

Im (1/z) ≤ 1

b/2z≤ 1

2z² (b - 1/2) ≥ 1

Allora il risultato è la parte di piano complesso esterna al cerchio di centro (0, 1/2) e raggio 1/2 esclusa l’origine.

7)

f(z) = zⁿ

z = z₀ + Re^it

dz = i Re^it

∫_γR f(z) dz = ∫_γR z^-n dz = ∫_γR (z₀ + Re^it) i Re^it dt =>

* Se z₀ = 0

∫_-π^π R^-n e^-(in)t dt = [ e^-(in)t ]_-π^π = R^-n [e^-in e^(in)t ] = 0

∀n ε ℤ con n ≠ 1

* Se z₀ ≠ 0

∫_-π^π (z₀ + Re^it) Re^it dt = [ z₀ + Re^-(in)t  |  n ≠ 1 ]-π^π = 0

∫₀¹ ∂ x dx = ∫₀¹ ∂ x y dy = ∫₀¹ y

x y₀   ∫₀¹

z = e^ix

z₀ = i e^ix = z₀

dx = dz

z = z₀

sin x = ½ (z - z^-1)    ½

∫_-2∫_γ(...) sin x =

-i/2 ∫_γ...

-i/2 z_n = z₁

A = 4 √3

- 4 ∫ √⁴i √35

A = 8π i B = 8√ i B

..._z=3x2 ...f(x) = (z - z^-1)

1/2 √ -8i √7

8 - ∫_-√∫_² y dy = ∫⋅

...

Quindi:

Inoltre scrivere:

E questo già lo sappiamo. Ma se mettessi una divisione ?

Si procede poi dicendo che:

Posso ancora aggiungere i coefficienti che mi servono in questo modo:

Da queste infinite relazioni posso ricavarmi tutti i c_k in quanto conosco tutti gli a_k e b_k

Quindi nel nostro esempio possiamo dire che:

Allora:

L^-1(¹/_5s) = L^-1(¹/_3(s+1)) = L^-1(¹/_3(s+1)) = (χ

Posso ora calcolare (attraverso un prodotto della traslazione) la seguente antitrasformata

L^-1(^e-5/_s(s+3)) = ^{H(t-1) + t/3 e-4 - e-3}

b)

Trovare le soluzioni dell'equazione differenziale

yʺ + 6yʹ + 9y = t, x_[0,1)

Innanzitutto calcoliamo le solute proprietà

L(t + X_[0,1)) = _{∫^∞ e^-stdt}

L(tX_[0,1)) = -^d/_ds[L(f) = ^{se = 1-e-s 1/_s2 - 1/_s2]}

Quindi otteniamo

F(s) = ^s+7/_{(s+3) ^e-5/1/s(s+3) - ^1-([5s)}

Devo ora antitrasformare ogni termine

L^-1(^s+1/_(s+3)) = e^3t + 4 t e^3t

L^-1(¹/_s²(s+3)) = L^-1(^A/_s² + ^B/_s³ + ^C/_s+3) = (A + B (t + C e^-3t + D t - 1) e^-3t) X_{[1, ∞)}

Dove coefficienti si calcolano al solito modo e A = -²/₂₇ B = -¹/₃ C = ¹/₂₇ D = ¹/₉

c)

Sia f(x) = 2(x+1)e^x X_{[0, ∞)} calcolare g(x) = f(x)* f(x)* f(x).

L(g) = L(f)·L(f)·L(f)·L(f)·L(g)³

L[^ex_|s] = ¹/_s-1

L(x e^x)[_{0, ∞}) = ^d/_ds[L(e^x)]_|s = -^d/_ds(¹/_s-1) = ¹/_(s+1)

L(g) = 8(¹/_{(s+1) + ¹/(s+2))³ = 8/(s-4)²(3-s)³(3-1/4) = 8(¹/2 + ¹/3 + ¹/4 + ¹/5)·te^-1}