Metodi di Ottimizzazione

CAPITOLO 1 - INTRODUZIONE

Modelli matematici: Il modello è una struttura costruita per evidenziare le caratteristiche di oggetti reali. Alcune volte sono concreti, altre volte astratti, come ad esempio i modelli matematici, cioè insiemi di relazioni che descrivono fenomeni reali in modo semplificato.

I modelli matematici possono essere prima di tutto suddivisi in: modelli stocastici (se descrivono problemi influenzati da eventi casuali) e modelli deterministici (se descrivono grandezze esatte).

Si possono però suddividere anche in modelli stabili, se le relazioni tra le grandezze restano invariate nel tempo e modelli dinamici, se ciò non accade.

Osservazione 1: La costruzione del modello matematico consiste nel tradurre una serie di relazioni logiche tra le grandezze reali coinvolte, in termini matematici. È necessario saper applicare leggi fisiche, economiche e di mercato tradotte in equazioni algebriche, disequazioni, funzioni, ecc.

Osservazione 2: L'approccio modellistico di un problema reale viene realizzato attraverso diverse fasi: analisi del problema (si fisso l'obiettivo da raggiungere dopo aver fatto un'analisi della struttura del problema), costruzione del modello (si descrivono matematicamente le principali caratteristiche del problema), analisi del modello (si deducono le proprietà matematiche del modello), soluzione numerica (si definisce un algoritmo per determinare la soluzione del problema), validazione dei risultati (si verifica la congruenza dei risultati numerici rispetto ai dati sperimentali di cui si è in possesso).

CAPITOLO 1 - INTRODUZIONE

Modelli matematici: Il modello è una struttura costruita per evidenziare le caratteristiche di oggetti reali. Alcune volte sono concreti, altre volte astratti, come ad esempio i modelli matematici, cioè insiemi di relazioni che descrivono fenomeni reali in modo semplificato.

I modelli matematici possono essere prima di tutto suddivisi in: modelli stocastici (se descrivono problemi influenzati da eventi casuali) e modelli deterministici (se descrivono grandezze esatte).

Si possono però suddividere anche in modelli stabili, se le relazioni tra le grandezze restano invariate nel tempo e modelli dinamici, se ciò non accade.

Osservazione 1: La costruzione del modello matematico consiste nel tradurre una serie di relazioni logiche tra le grandezze reali coinvolte, in termini matematici. È necessario quindi applicare leggi fisiche, economiche e di mercato tradotte in equazioni (algebriche, disequazioni, funzioni, ecc...).

Osservazione 2: L'approccio modellistico di un problema reale viene realizzato attraverso diverse fasi: analisi del problema (si fissano obiettivi da raggiungere dopo aver fatto un'analisi della struttura del problema) - costruzione del modello (si descrivono matematicamente le principali caratteristiche del problema); analisi del modello (si deducono le proprietà matematiche del modello); soluzione numerica (si definisce un algoritmo per determinare la soluzione del problema); validazione dei risultati (si verifica la congruenza dei risultati numerici rispetto ai dati sperimentali di cui si è in possesso).

Classici Problemi di Ottimizzazione:

Problema di miscelazione:

Una fonderia deve produrre 1000 pezzi del peso di 10 kg ciascuno. Il ferro con cui tali pezzi sono fatti dovrà contenere manganese e silicio nelle seguenti quantità: 0,45% di manganese; 3,25% di silicio e 5,5% di ferro. Sono disponibili tre tipi di materiale ferroso, inoltre si può aggiungere direttamente manganese al costo di 10 €/kg.

Il problema che si vuole modellare è quello di determinare il peso a produrre che minimizzi il costo del materiale utilizzato.

A questo scopo introduciamo le variabili X₁, X₂, X₃, X₄ aventi i seguenti significato:

• X₁ (≥0) = kg di ferro A da utilizzare;
• X₂ (≥0) = kg di ferro B da utilizzare;
• X₃ (≥0) = kg di ferro C da utilizzare;
• X₄ (≥0) = manganese da utilizzare.

Abbiamo imposto il vincolo di non negatività, ma ce ne saranno altri da rispettare.

• X₁ + X₂ + X₃ + X₄ = 1000 → Il numero totale di kg prodotti deve essere pari a 1000.
• 0,04 X₁ + 0,01 X₂ + 0,006 X₃ → Quantità in kg di silicio presente nel prodotto risultante, che deve poi essere compresa nei limiti voluti: 32,5 ≤ 0,04 X₁ + 0,01