Metodi di analisi per l'inegneria sismica, strutture in c.a. e strutture in acciaio in zona sismica - Sismica 2

Settore: ICAR/09

INGEGNERIA SISMICA II

Teoria

UNIMOREUniversità degli Studi di Modena e Reggio Emilia

Filippo RibesNOTEWAVE_RF

Autore degli appunti: Filippo Ribes

Gli appunti sono stati scritti sulla base delle lezioni svolte dal Professor Loris Vincenzi.

Per dubbi, chiarimenti o altro, mi trovi su Instagram:ig: NoteWave_RFig: fil_ribes

smorzate negative (t1,t2,t3)

Per quanto riguarda la pulsazione limite smorzata ωd, questa coincide prossima a ω. In particolare, nelle strutture, dove si hanno smorzamenti molto limitati, il rapporto ωd/ω è prossimo a 1 e circa coincidente.

Alte aumentate dell'indice di smorzamento ζ aumenta lo smorzamento del moto, come si vede dai grafici a lato.

Le strutture hanno tipicamente un smorzamento del 2÷5% quindi molto bassi ⇒ si hanno parecchi cicli prima di raggiungere lo stato di quiete se sollecitate.

Più ζ è piccolo più avranno cicli.

Risposta alle forzanti armoniche

Siamo interessati alla risposta dell'oscillatore in seguito ad una forzante esterna (che ancora non è quella sismica). Se questa è sinusoidale, si ha la seguente eq. del moto:

m ü(t) + c ṡ(t) + k u(t) = p₀ sen (ω t)

la cui soluzione è data da:

u(t) = u_T (t) + u_P (t)

Si immagini una forza applicata come una martellata e trasformata come un segnale verso l'una all'altra. Tantemartellate che possono trasformare gli effetti nel tempo.

Si affiancano all'altra che mettono in moto la struttura) e la soluzione generale è all'interno del seguente integrale:

v(t) = ∫₀^t p(τ) sin[ω(t-τ)] dτ

L'integrale può anche essere scritto come:

v(t) = ∫₀^t p(τ) h₁(t-τ) dτ

E' alla base della risoluzione del moto generico di un corpo.Tale integrale non può essere risolto in maniera analitica esatta e deve essere risolto per via numerica (attraverso unprogramma di calcolo).

Equazione del moto o movimento del supporto.

Guardiamo la figura a lato.Inizialmente il piedistallo si trovanella posizione identitica della linea indicata. A seguito di un motodel suolo nel tempo, questo si sposta di una quantità ψ(t).Anche la struttura si sposta (per ipotesi) e lo suo movimentoè una quantità v(t).

SPETTRI ELASTICI

Definizione di spettro di risposta:

Come visto in Seismica I, lo spettro di risposta di una grandezza detta anche spettro dell'accelerazione, allo scuotimento sismico è il grafico del valore massimo della grandezza in funzione del periodo naturale dell'oscillatore armonico unitario.

Consideriamo 3 spettri:

• spettro di risposta in spostamento;
• spettro di risposta in velocità;
• spettro di risposta in accelerazione.

In realtà, come accennato prima esistono interessanti relazioni degli spettri in pseudo velocità e in pseudo accelerazione, ma possono essere confrontati in valori reali in quanto molto simili fra loro.

Preso un oscillatore semplice (ad esempio un telaio) esiste allora l'equazione del moto per tante strutture aventi periodo proprio diverso. La procedura per la costruzione dello spettro di risposta è già stata illustrata in Seismica I a partire da pag. 16 fino a pag. 19.

Lo spettro di risposta è tanto più basso quanto più è alto il valore di smorzamento _ξ.

Infatti, per periodi molto rapidi, poi si hanno a che fare con accelerogrammi (quindi _{&overline;ƒ3}(t)) più bassi, poi si termina e soffice, puoi si hanno a che fare con accelerogrammi grandi _⇒ la tipologia di terreno influenze la costruzione dello spettro, come visto in Seismica I.

DINAMICA DELLE STRUTTURE NELLO SPAZIO 3D

Equazione del moto e modi di vibrazione

mü(t) + cū(t) + ku(t) = ρ(t)

m, c, k sono in forma matriciale ü, ū, u, ρ sono in forma vettoriale.

Tale eq. sono "tanto più grande quanto più saranno grandi gli spostamenti delle strutture".

Essendo Tale eq. espressa come equilibrio in forma dinamica, i termini dipendenti da t possono numericamente cambiare su cambia l'istante di tempo t.

Nel caso di oscillazioni libere non smorzate (quindi cū(t)=0 e ρ(t)=0), la soluzione dell’ eq. è data da:

u(t) = \_{0 sin (ωt + Θ)}

\_{0 vettore delle ampiezze dei vari g.d.l.}

Si ottiene una eq. simile all’ eq. sinusoidale. Per ottenere le vari soluzioni occorre risolvere il problema agli autovalori:

[k - ω²m]\_{0 = 0}

occorre cercare determinare i valori di ω e di \_{0 che intendano nulla l' eq. del problema agli autovalori. Tale eq. é nulla quando det|k - ω²m| =0.}

Risulta che, quando prendiamo il vettore φ_n che moltiplica un numero, andiamo a selezionare il modo di vibrare numero n.

Amalgameti accadono per il termine φ_mk F. Lo stesso procedimento viene applicato anche per il termine quadrato (φ_m F), anche se in vetta sono tutt'ora presenti studi al riguardo.

In questo modo, i tre termini citati diventano dei numeri e otteniamo un eq. scalare. In particolare, definiamo i due termini come segue:

• M_m = φ^T m φ_m massa generalizzata;
• K_m φ_mk φ_m rigidezza generalizzata;
• C_m φ_mk φ_m coeff. di smorzamento generalizzato;

Anche il termine a destra dell'eguaglianza è un numero (un vettore trasposto che moltiplica un numero ci dà ovviamente un numero) definiamo anche:

P_m(t) = φ^T m p(t) forzante generalizzata.

Dunque l'eq. diventa:

M_m y_m(t) + C_m ȳ_m(t) + K_m ym(t) = P_m(t)

Ora, ricordando che

• K_m = ω²_m M_m
• ξ_m = C_m / 2 ω_m M_m

Lo spostamento di un punto qualsiasi è dato da:

_Vpx = V_camx - Θ (Y_p - Y_cam)

_Vpy = V_camy + Θ (X_p - X_cam)

In maniera analoga lo spostamento di un punto qualsiasi risp. al baricentro della massa è dato da:

_Vpx = V_gramx - Θ (Y_p - Y_gram)

_Vpy = V_gramy + Θ (X_p - X_gram)

Il piano rigido in esame vede 3 movimenti possibili (3 gr.d.l.). Questi sono:

• V_x: spostamento lungo x
• V_y: spostamento lungo y
• Θ: rotazione del piano

Ognuno di essi può essere scritto come equ. del moto. Per semplicità, tralasciamo il termine di spostamento rispetto al baricentro delle masse G_m. Tali eq. sono:

• per V_x:

m_max = ∑_i k_xi (V_camx - Θ y_i) = p_x (t)

• per V_y:

m_ΔVy_gramy + ∑_i k_yi (V_gramx + Θ x_i) = -p_y (t)

• per Θ :

I_tot/m_xi + ∑_i k_xi (V_camx - Θ y_i) _xi + ∑_i k_yi (V_gramy + Θ x_i) x_c = -p_x (t) x_c - p_y (t) y_c