Metodi di analisi per l'inegneria sismica, strutture in c.a. e strutture in acciaio in zona sismica - Sismica 2

Settore: ICAR/09 Ingegneria sismica II

Università degli Studi di Modena e Reggio Emilia

Autore degli appunti: Filippo Ribes

Gli appunti sono stati scritti sulla base delle lezioni svolte dal Professor Loris Vincenzi. Per dubbi, chiarimenti o altro, mi trovi su Instagram:

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Richiami di dinamica delle strutture

Dinamica dell'oscillatore semplice: Consideriamo un oscillatore semplice come quello in figura, di massa m che può oscillare a destra e sinistra e viene richiamato nella sua posizione di partenza attraverso una molla di rigidezza K che ne limita lo spostamento orizzontale. Può anche essere rappresentato come un Telaio shart-Type o come un piastra per una massa in Summits. Come visto in Sismica I, per le strutture reali bisogna tenere in conto anche lo smorzamento, indicato qui con un pistoncino c.

Vogliamo scrivere l'equazione del moto ad 1 g.d.e. Questa si ricava attraverso l'equilibrio dinamico del corpo, in cui concorrono sia le forze esterne p(t), che variano nel tempo ed hanno un verso, sia le forze d'inerzia f_I(t), di verso opposto, sia le forze elastiche f_e(t), sia la forza di smorzamento f_c(t).

m¨(t) + cu'(t) + kv(t) = p(t)

• Forza di smorzamento: f_c(t)
• Forze elastiche: f_e(t)
• Forze d'inerzia: f_I(t)

• m = massa
• c = coeff. di smorzamento viscoso
• k = rigidezza

Oscillazioni libere non smorzate

È il caso più semplice. Sono assenti sia la forza che lo smorzamento c: w²u(t) + ku(t) = 0

Risolvendo quest’equazione differenziale, si ottiene: v(t) = v(0).cos(wt) + (v(0)/w).sen(wt). Infatti, se non imponiamo al corpo né spostamento iniziale né velocità, questo rimane fermo ⇒ v(t) = 0; mentre se lo tiriamo (quindi applichiamo uno spostamento) e poi lo molliamo, questo si sposterà con andamento sinusoidale nel tempo, con una pulsazione w.

Ricordiamo infatti che: w² = k/m F = 1/T 1 = 2π/T

La condizione iniziale determina l'inizio della sinusoide (in figura). In questo caso l'oscillatore non è smorzato, quindi prosegue col suo moto perpetuo con la stessa ampiezza e lo stesso periodo fino a quando un altro forzante non altera il suo moto.

In natura, non esiste un tale oscillatore.

Oscillazioni libere smorzate

È un caso realistico: m^¨(t) + c v‹(t) + K v‹(t) = 0 la cui soluzione è: v(t) = [v(0)∙cos(ωₒ,t) + (¨(0) + v(0)‡ξω) / ωₒ ∙ sen(ωₒ,t)] ∙ e^-ξωt

• ξ indice di smorzamento ξ = c / Cc
• Cc = 2 m ω coeff. di smorzamento critico
• ωₒ = ω √1 - ξ² pulsazione naturale smorzata

Si ottiene un andamento come quello a lato perché delle sinusoidi diminuiscono nel tempo fino ad arrivare ad uno spostamento di intensità nulla. Infatti, la soluzione v(t) presenta un primo termine con sen', ' e coseni', che danno luogo alla sinusoide ma poi questo termine governa al secondo momento della soluzione, ovvero la funzione esponenziale smorzato negativo ζ_sω_s.

Per quanto riguarda la pulsazione naturale smorzata ω_d questa è molto prossima a ω. In particolare, nelle strutture, dove si hanno smorzamenti molto limitati, il rapporto ω₀/ω è prossimo a 1 e circa coincidono. All'aumentare dell'indice di smorzamento è aumentato lo smorzamento del moto, come si vede dai grafici a lato. Le strutture hanno tipicamente uno smorzamento del 2 ÷ 5 % e quindi molto bassi → si hanno parecchi cicli prima di raggiungere lo stato di quiete se sollecitate. Poi ζ è piccolo per alcuni cicli.

Risposta alla forzante armonica

Siamo interessati alla risposta dell'oscillatore in seguito ad una forzante esterna (che ancora non è quella sismica). Se questa è sinusoidale, si ha la seguente equazione del moto:

m ¨(t) + c ṡ (t) + k ŝ (t) = p₀ sen (ω t)

La cui soluzione è data da:

ŝ (t) = ŝ_t (t) + ŝ_f (t) combinato tra due oscillazioni: forzante nulla soluzione generale dell'integrale soluzione